Toda teoria pola

W matematyce i fizyce , w szczególności w badaniach teorii pola i równań różniczkowych cząstkowych , teoria pola Toda , nazwana na cześć Morikazu Toda , jest określona przez wybór algebry Kaca-Moody'ego i określonego Lagrange'a .

Naprawiając algebrę Kaca – Moody'ego tak, aby miała rangę $,$ znaczy podalgebra Cartana algebry ma wymiar , Lagrange'a można zapisać ${\ displaystyle r}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo \ langle \ częściowe _ {\ mu} \ phi, \ częściowe ^ {\ mu} \ phi \ prawo \ rangle - { \frac {m^{2}}{\beta ^{2}}}\sum _{i=1}^{r}n_{i}\exp(\beta \langle \alpha _{i},\phi \rangle ).}$$

Czasoprzestrzeń tła to dwuwymiarowa przestrzeń Minkowskiego , ze współrzędną przestrzenną $displaystyle$ współrzędną czasopodobną $t}$ . Indeksy greckie wskazują współrzędne czasoprzestrzenne.

Dla $.$$wyboru$ podstawy pierwiastkiem prostym _ Stanowi to podstawę dla podalgebry Cartana, umożliwiając jej identyfikację z ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {r}}$ .

$jest$ zbiorem pól skalarnych , które są $skalarne$ sensie, że przekształcają się trywialnie pod wpływem transformacji Lorentza bazowej czasoprzestrzeni.

Iloczynem wewnętrznym $.$ ograniczenie do

Są $całkowite$ , znane jako etykiety Kac lub etykiety Dynkin .

$Stałe$ fizyczne to $.$ i sprzężenia

Klasyfikacja teorii pola Toda

Teorie pola Toda są klasyfikowane zgodnie z powiązaną z nimi algebrą Kaca-Moody'ego.

Teorie pola Toda zwykle odnoszą się do teorii ze skończoną algebrą Kaca-Moody'ego. Jeśli algebra Kaca – Moody'ego jest afiniczna, nazywana jest afiniczną teorią pola Toda (po usunięciu składnika φ, który się rozprzęga). Jeśli jest hiperboliczny , nazywa się to hiperboliczną teorią pola Toda.

Teorie pola Toda są modelami całkowalnymi , a ich rozwiązania opisują solitony .

Przykłady

Teoria pola Liouville'a $z macierzą$ A ₁ Cartana , która odpowiada algebrze Liego algebr Liego według macierzy Cartana Algebra $_$ jeden

Sinha -Gordona jest afiniczną teorią pola Tody z uogólnioną macierzą Cartana

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i -2 \\ - 2 i 2 \ koniec {pmatrix}}}$

i dodatnią wartość β po rzutowaniu składnika φ, który się rozprzęga.

sinus -Gordona to model z tą samą macierzą Cartana, ale urojoną β. Ta macierz Cartana odpowiada algebrze Liego ${\ Displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$ . $prosty$$jest$ jeden ale dla : istnieje również pierwiastek afiniczny ${\ Displaystyle \ alfa _ {0} = -1}$ i etykieta Coxeter ${\ Displaystyle n_ {0} = 1}$ . Ze względu na pojedynczy pierwiastek istnieje jedno pole, $mu$ ⟨ $} \ phi \ rangle }$$\ Displaystyle \ langle \ częściowe _ {\ mu} \ phi, \ częściowe ^ {\$ to po prostu ${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} \ phi \ częściowe ^ {\ mu} \ phi}$ .

Suma to $.}$${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {1} n_ {i} \ exp (\ beta \ alfa _ {i} \ phi) = \ exp (\ beta \ phi) + \ exp (- \ beta \ phi$ Wtedy, jeśli jest czysto $urojone$ , ${\ Displaystyle \ beta = ib}$$z$ rzeczywistą bez utraty ogólności dodatnią, to jest to ${\ Displaystyle 2 \ cos (b \ phi)}$ . Lagrange'a jest wtedy

$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ Frac {1} {2}} \ częściowe _ {\ mu }\phi \partial ^{\mu }\phi +{\frac {2m^{2}}{b^{2}}}\cos(b\phi ),}$$

który jest Lagrange'em Sine-Gordona.

•   Mussardo, Giuseppe (2009), Statystyczna teoria pola: wprowadzenie do dokładnie rozwiązanych modeli w fizyce statystycznej , Oxford University Press, ISBN 978-0-199-54758-6