Podalgebra Cartana

W matematyce podalgebra Cartana , często określana skrótem CSA , jest nilpotentną podalgebrą algebry $}}$ , która jest samonormalizująca się ( $}}$ jeśli ${\ Displaystyle [X, Y] \ in {\ mathfrak {h}}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {h}}}$ , to ${\ Displaystyle Y \ w {\ mathfrak {h}}})$ . Zostały one wprowadzone przez Élie Cartana w jego pracy doktorskiej. Kontroluje teorię reprezentacji półprostej algebry Liego $.$ polem charakterystycznym ${\ displaystyle 0$ }

W półprostej algebrze Liego o skończonych wymiarach na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera (np. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ), podalgebra Cartana jest tym samym, co maksymalna podalgebra abelowa składająca się z elementów x takich, że endomorfizm sprzężony ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} (x): {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}}} jest półprosty$ ( tj . diagonalizowalny ). Czasami ta charakterystyka jest po prostu traktowana jako definicja podalgebry Cartana. ^{strona 231}

Ogólnie rzecz biorąc, podalgebra nazywana jest toralną , jeśli składa się z półprostych elementów. W polu algebraicznie zamkniętym podalgebra toralna jest automatycznie abelowa. Zatem na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera podalgebrę Cartana można również zdefiniować jako maksymalną podalgebrę toralną.

Algebry Kaca – Moody'ego i uogólnione algebry Kaca – Moody'ego mają również podalgebry, które odgrywają tę samą rolę, co podalgebry Cartana półprostych algebr Liego (na polu charakterystycznego zera).

Istnienie i wyjątkowość

Podalgebry Cartana istnieją dla skończenie wymiarowych algebr Liego, ilekroć pole podstawowe jest nieskończone. Jednym ze sposobów konstruowania podalgebry Cartana jest użycie elementu regularnego . W skończonym polu kwestia istnienia jest wciąż otwarta. ^{[ potrzebne źródło ]}

W przypadku półprostej algebry Lie o skończonych wymiarach $toralna$ algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera istnieje prostsze podejście: z definicji podalgebra jest podalgebrą ${\ displaystyle { \mathfrak {g}}}$ , który składa się z elementów półprostych (element jest półprosty, jeśli wywołany przez niego endomorfizm sprzężony jest diagonalizowalny ). Podalgebra Cartana $.$ więc tym samym, co maksymalna podalgebra toralna, a istnienie maksymalnej podalgebry toralnej jest łatwe do zauważenia

W skończenie wymiarowej algebrze Liego na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera wszystkie podalgebry Cartana są sprzężone pod automorfizmami algebry, aw szczególności wszystkie są izomorficzne . Wspólny wymiar podalgebry Cartana jest wtedy nazywany rzędem algebry .

W przypadku skończenie wymiarowej złożonej półprostej algebry Liego istnienie podalgebry Cartana jest znacznie prostsze do ustalenia, zakładając istnienie zwartej postaci rzeczywistej. W $.$ przypadku można przyjąć jako złożoność algebry Liego maksymalnego torusa grupy zwartej

Jeśli jest liniową algebrą Liego (podalgebrą Liego algebry Liego endomorfizmów skończonej wymiarowej przestrzeni wektorowej V ) na algebraicznie zamkniętym polu, to dowolna podalgebra Cartana g {\ displaystyle {\ mathfrak { $}$ $displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ $}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest centralizatorem maksymalnej podalgebry toralnej sol . ^{[ potrzebne źródło ]} Jeśli $półproste$ , a pole ma charakterystyczne zero, to maksymalna podalgebra tora jest samonormalizująca się, a więc jest równa powiązanej podalgebrze Cartana. $displaystyle {$ dodatkowo jest półprosta, to sprzężona reprezentacja przedstawia jako liniową algebrę Liego, tak że podalgebra sol { ${\mathfrak {g}}}$ $\$ $displaystyle$ jest Cartanem wtedy i tylko wtedy, gdy jest maksymalną podalgebrą toralną.

Przykłady

Każda nilpotentna algebra Liego jest swoją własną podalgebrą Cartana.
Podalgebra Cartana gl _n , algebra Liego macierzy n × n nad ciałem, jest algebrą wszystkich macierzy diagonalnych. ^{[ potrzebne źródło ]}
$\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C$ przypadku specjalnej algebry Liego bezśladowych $do$ s ) podalgebrę Cartana ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} = \ lewo \ {d (a_ {1}, \ldots ,a_{n})\mid a_{i}\in \mathbb {C} {\text{i }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\} }$ Gdzie ${\ Displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) = {\ rozpocząć {pmatrix} a_ {1}&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}}$ Na przykład w podalgebrze Cartana jest podalgebrą macierzy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} = \ lewo \ {{\ początek {pmatrix} a & 0 \\ 0 i - a \ koniec {pmatrix}}: a \ w \mathbb {C} \right\}}$ z nawiasem Liego podanym przez komutator macierzowy.
Algebra Liego sl ₂ ( R ) macierzy 2 na 2 o śladzie 0 ma dwie niesprzężone podalgebry Cartana. ^{[ potrzebne źródło ]}
Wymiar podalgebry Cartana na ogół nie jest maksymalnym wymiarem podalgebry abelowej, nawet w przypadku złożonych prostych algebr Liego. Na przykład algebra Liego sl _{2 n} ( C ) z 2 n na 2 n macierzy śladu 0 ma podalgebrę Cartana rzędu 2 n -1, ale ma maksymalną podalgebrę abelową o wymiarze n ² składającą się ze wszystkich macierzy postaci ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i A \\ 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$ z A dowolną macierzą n na n . Można bezpośrednio zobaczyć, że ta podalgebra abelowa nie jest podalgebrą Cartana, ponieważ jest zawarta w algebrze nilpotentnej ściśle górnych macierzy trójkątnych (lub ponieważ jest znormalizowana przez macierze diagonalne).

Podalgebry Cartana półprostych algebr Liego

Dla półprostej algebry Lie o skończonych $}$ na algebraicznie zamkniętym polu o charakterystyce 0, podalgebra Cartana ma następujące właściwości: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ jest abelowy ,
${\ Displaystyle \ operatorname {reklama}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})$ sprzężonej } ${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} ({\ mathfrak {h}})}$ obrazkowa składa się z półprostych operatorów (tj. macierzy diagonalizowalnych).

(Jak wspomniano wcześniej, podalgebrę Cartana można w rzeczywistości scharakteryzować jako podalgebrę, która jest maksymalna spośród tych, które mają powyższe dwie właściwości).

Te dwie właściwości mówią, że operatory w $}$ jednocześnie diagonalizowalne i że istnieje bezpośredni rozkład sumy ${g}}}$ $displaystyle {\ mathfrak {$ jako

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ bigoplus _ {\ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda }}

Gdzie

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda} = \ {x \ w {\ mathfrak { g}}:{\text{reklama}}(h)x=\lambda (h)x,{\text{ for }}h\in {\mathfrak {h}}\}}

.

Niech ${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ setminus \ {0 \} | {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda} \ neq \{0\}\}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ Phi}$ jest systemem korzeniowym , a ponadto ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {h}}}$ ; tj. centralizator pokrywa się z $}}$ $\ displaystyle {\ mathfrak {h}$ . Powyższy rozkład można zatem zapisać jako:

{\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ lewo (\ bigoplus _ {\ lambda \ w \ Phi} {\ mathfrak { g}}_{\lambda}\prawo)}

Jak się okazuje, dla każdego wymiaru jeden ma wymiar jeden i tak: $lambda \ in \$ Displaystyle $}$

{\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} = \ dim {\ mathfrak {h}} + \ # \ Phi}

.

Zobacz także Semisimple_Lie algebra#Structure, aby uzyskać więcej informacji.

Dekompozycja reprezentacji za pomocą podwójnej podalgebry Cartana

Biorąc pod uwagę algebrę Liego $,$ polu charakterystycznym ${\ displaystyle 0}$ [ ^{wymagane wyjaśnienie ]} i reprezentację algebry Liego sol {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} }

{\ Displaystyle \ sigma: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} (V)}

istnieje dekompozycja związana z dekompozycją algebry Liego z jej podalgebry Cartana. Jeśli ustalimy

{\ Displaystyle V _ {\ lambda} = \ {v \ w V: (\ sigma (h) )(v)=\lambda (h)v{\text{dla}}h\in {\mathfrak {h}}\}}

λ

{\ Displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}

zwanej

przestrzenią dla wagi , następuje rozkład reprezentacji pod względem tych przestrzenie wagowe

{\ Displaystyle V = \ bigoplus _ {\ lambda \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}} V_ {\ lambda}}

Ponadto, ilekroć nazywamy wagę sol λ

V _ {\ lambda} \ neq \ {

Displaystyle

of the

{\mathfrak {g}}

-representation

V

.

Klasyfikacja reprezentacji nieredukowalnych za pomocą wag

Okazuje się jednak, że wagi te można wykorzystać do sklasyfikowania nieredukowalnych reprezentacji $algebry$ . Dla skończonej wymiarowej nieredukowalnej $Displaystyle$ reprezentacji $}} }$ unikalna waga $\ mathfrak {$ do częściowego uporządkowania { na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ . Ponadto, biorąc pod uwagę $\ rangle \ in \ mathbb {N$ ${$ \ Displaystyle ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Phi ^ {+}}$ , istnieje unikalna nieredukowalna reprezentacja ${\ Displaystyle L ^ {+} (\ lambda)}$ . Oznacza to, że system główny zawiera wszystkie informacje o teorii reprezentacji . $\$ ${\ mathfrak {g}}}$ . ^{strona 240}

Dzielenie podalgebry Cartana

W ciałach niealgebraicznie zamkniętych nie wszystkie podalgebry Cartana są sprzężone. Ważną klasą są rozdzielające podalgebry Cartana ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {\ mathfrak} {g}},{\mathfrak {h}})}$ jeśli algebra Liego dopuszcza rozdzielającą podalgebrę Cartana, $)$ nazywa się to podzielną, a para nazywa się rozdzieloną algebrą Liego ; na algebraicznie zamkniętym ciele każda półprosta algebra Liego jest podzielna. Dowolne dwie dzielące algebry Cartana są sprzężone i spełniają podobną funkcję do algebr Cartana w półprostych algebrach Liego na algebraicznie zamkniętych ciałach, więc podzielone półproste algebry Liego (w rzeczywistości podzielone redukujące algebry Liego) mają wiele wspólnych właściwości z półprostymi algebrami Liego na algebraicznie zamkniętych ciałach .

Jednak na niealgebraicznie zamkniętym ciele nie każda półprosta algebra Liego jest podzielna.

Podgrupa Cartana

Podgrupa Cartana grupy Liego jest jedną z podgrup, których algebra Liego jest podalgebrą Cartana. Składnik tożsamości podgrupy ma tę samą algebrę Liego. Nie ma standardowej konwencji, dla której jedna z podgrup o tej własności nazywana jest podgrupą Cartana, zwłaszcza w przypadku grup rozłączonych. Podgrupa Cartana zwartej połączonej grupy Liego jest maksymalnie spójną podgrupą abelową ( maksymalny torus ). Jego algebra Liego jest podalgebrą Cartana.

Dla rozłączonych zwartych grup Liego istnieje kilka nierównoważnych definicji podgrupy Cartana. Najbardziej powszechna wydaje się być ta podana przez Davida Vogana , który definiuje podgrupę Cartana jako grupę elementów, które normalizują ustalony maksymalny torus i ustalają podstawową komorę Weyla . Nazywa się to czasem dużą podgrupą Cartana . Istnieje również mała podgrupa Cartana , zdefiniowana jako centralizator maksymalnego torusa. Te podgrupy Cartana nie muszą być ogólnie abelowe.

Przykłady podgrup Cartana

Podgrupa w GL ₂ ( R ) składająca się z macierzy diagonalnych.

^ ^a ^b Hotta, R. (Ryoshi) (2008). D-moduły, przewrotne snopy i teoria reprezentacji . Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (red. Angielski). Boston: Birkäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8 . OCLC 316693861 .
^ Sala 2015 Rozdział 7

Notatki

Odniesienie

Borel, Armand (1991), Liniowe grupy algebraiczne , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 126 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8 , MR 1102012
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
Jacobson, Nathan (1979), algebry Liego , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63832-4 , MR 0559927
Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
Popov, VL (2001) [1994], "Cartan subalgebra" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Anthony'ego Williama Knappa; Davida A. Vogana (1995). Indukcja kohomologiczna i reprezentacje unitarne . ISBN 978-0-691-03756-1 .

[:0-1] Hotta, R. (Ryoshi) (2008). D-moduły, przewrotne snopy i teoria reprezentacji . Takeuchi, Kiyoshi, 1967-, Tanisaki, Toshiyuki, 1955- (red. Angielski). Boston: Birkäuser. ISBN 978-0-8176-4363-8 . OCLC 316693861 .

[2] Sala 2015 Rozdział 7