Regularny element algebry Liego

W matematyce regularnym elementem algebry Liego lub grupy Liego jest element, którego centralizator ma jak najmniejszy wymiar. Na przykład w złożonej półprostej algebrze Liego element ${\ mathfrak {g}}}$ regularny, jeśli jego centralizator w ma wymiar równy ${\ Displaystyle X \ in$ do rangi $jest$ równe wymiarowi jakiejś podalgebry Cartana ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ (zauważ, że we wcześniejszych artykułach element złożonej półprostej algebry Liego był określany jako regularny, jeśli jest półprosty, a jądro jego sprzężonej reprezentacji jest podalgebrą Cartana). Element $in G }$ jest regularna, jeśli jej centralizator ma wymiar równy randze sol ${\ displaystyle g \$ .

Podstawowy przypadek

$n$ przypadku , algebry Lie macierzy $}$ \ nad algebraicznie zamkniętym polem $)$ takim jak liczby zespolone , element regularny to element, którego normalna postać Jordana jest ${\ displaystyle \ mathbb {k}}$ zawiera pojedynczy blok Jordana dla każdej wartości własnej (innymi słowy, krotność geometryczna każdej wartości własnej wynosi 1). Centralizatorem regularnego elementu jest zbiór wielomianów stopnia mniejszego niż oceniany na macierzy $,$ a zatem centralizator ma wymiar (który jest równy randze $M}$$displaystyle$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$ , ale niekoniecznie jest torusem algebraicznym).

Jeśli macierz jest $diagonalizowalna$ , to jest regularna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją $wartości$ . Aby to zobaczyć, zauważ, że będzie komutować z dowolną macierzą $która stabilizuje$$każdą z$ przestrzeni własnych. Jeśli istnieją $je$$\ displaystyle M}$ , dzieje się tak tylko wtedy, gdy można diagonalizować na tej samej podstawie, co ${$ ; w rzeczywistości jest liniową kombinacją pierwszych $}$ , a centralizator jest $torusem$ algebraicznym o $)$ wymiarze rzeczywisty wymiar ${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle P$ ); ponieważ jest to najmniejszy możliwy wymiar centralizatora, macierz ${\ displaystyle M}$ jest regularny. Jeśli jednak istnieją równe wartości $nie$ , to centralizator jest iloczynem ogólnych grup liniowych przestrzeni własnych $i$ ściśle większy wymiar, tak że jest regularny.

Dla połączonej zwartej grupy Liego $,$ elementy tworzą otwarty, gęsty podzbiór, składający się z $elementów$ klas koniugacji w maksymalnym torusie które są regularne $displaystyle T}$ \ w ${\ Displaystyle G}$ . Regularne elementy $same$ są wyraźnie podane jako dopełnienie zbioru w , zbiorze codimension-one subtori odpowiadającym $\ displaystyle T}$ system korzeniowy $\ Displaystyle G}$ { . Podobnie w algebrze Lie $połączone$ elementy tworzą otwarty, gęsty podzbiór, który można wyraźnie opisać jako $displaystyle$ sol { $G}$ regularne elementy algebry Liego $.$ elementy poza hiperpłaszczyznami odpowiadające systemowi korzeni

Definicja

Niech $będzie skończenie$ algebrą Liego na nieskończonym polu. Dla każdego ${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}$ }

${\ Displaystyle p_ {x} (t) = \ det (t- \ operatorname {reklama } (x))=\sum _{i=0}^{\dim {\mathfrak {g}}}a_{i}(x)t^{i}}$

być charakterystycznym wielomianem połączonego endomorfizmu ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} (x): y \ mapsto [x, y]}$$\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ { . $Wtedy$ , z definicji, ranga jest najmniejszą liczbą $taką$ , ${\ Displaystyle a_ {r} (x) \ neq 0}$ dla pewnego ${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ i jest oznaczony przez ${\ Displaystyle \ operatorname { rk} ({\mathfrak {g}})}$ . Na przykład za $= 1}$ dla każdego x , ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest nilpotent (czyli każdy ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ jest nilpotentny przez twierdzenie Engela ) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ operatorname {rk} ({\ mathfrak {g }})=\dim {\mathfrak {g}}}$ .

Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ tekst {reg}} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} | a _ {\ operatorname {rk} ({\mathfrak {g}})}(x)\neq 0\}}$ . Z definicji regularny element jest elementem zbioru sol ${reg}}}$$\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\$ . Od ${\ Displaystyle a _ {\ operatorname {rk} ({\ mathfrak {g}})}}$ jest funkcją wielomianową na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ w odniesieniu do topologii Zariskiego , sol $\ text {reg}}}$ jest otwartym podzbiorem ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Ponad jest połączonym zbiorem (w odniesieniu do zwykłej topologii), ale nad $displaystyle \ mathbb {C}} sol$$\displaystyle \mathbb {R}}$$\$ reg $displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ text {reg}}}$ , to tylko skończona suma połączonych zbiorów otwartych.

Podalgebra Cartana i element regularny

W nieskończonym polu regularny element może być użyty do skonstruowania podalgebry Cartana , samonormalizującej się nilpotentnej podalgebry. Na polu charakterystycznego zera podejście to konstruuje wszystkie podalgebry Cartana.

pod uwagę element, niech ${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {0} (x) = \ bigcup _ {n \ geq 0} \ ker(\operatorname {ad} (x)^{n}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}})}$

być uogólnioną przestrzenią własną ad $\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$ dla wartości własnej zero. Jest to podalgebra ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Zauważ, że ${\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ jest tym samym, co (algebraiczna) krotność zera jako wartość własna ${\ styl wyświetlania \nazwa_operatora {reklama} (x)}$ ; tj. najmniejsza liczba całkowita m takie, że za $\ Displaystyle a_ {m} (x) \ neq 0}$ w notacji w § Definicja . Zatem ${\ Displaystyle \ operatorname {rk} ({\ mathfrak {g}}) \ równoważnik \ dim {\ mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$ a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $.$ elementem regularnym

Stwierdzenie jest zatem takie, że jeśli $regularnym$ to $jest$ podalgebrą Zatem ${\ Displaystyle \ operatorname {rk} ({\ mathfrak {g}})}$ jest wymiarem przynajmniej pewnej podalgebry Cartana; w rzeczywistości ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {rk} ({\ mathfrak {g}})}$ jest minimalnym wymiarem podalgebry Cartana. Silniej, na polu charakterystycznego zera (np. $lub ),$ do ${\ displaystyle \ mathbb {$ }

• każda podalgebra Cartana z ma ten sam wymiar; ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ zatem ${\ Displaystyle \ operatorname {rk} ({\ mathfrak {g}})}$ jest wymiarem dowolnej podalgebry Cartana,
• element x z jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy $sol$ podalgebrą Cartana i $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {0} (x)}$
• $}$ Cartana ma postać dla jakiegoś regularnego elementu ${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {$ .

Regularny element w podalgebrze Cartana złożonej półprostej algebry Liego

Dla podalgebry Cartana $}}$ półprostej algebry Lie sol $}$ z systemem korzeniowym ${\ Displaystyle \ Phi}$ , element ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ jest regularny wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sumą hiperpłaszczyzn ${\textstyle \bigcup _ {\alpha \in \Phi}\{h\in {\mathfrak {h}}\mid \alpha (h)=0\}}$ . Dzieje się tak , ponieważ: dla ${\ Displaystyle r = \ dim {\ mathfrak {h}}}$

• Dla każdego $)$ charakterystyczny ${\ Displaystyle \ operatorname {reklama} ($${\ textstyle t ^ {r} \ lewo (t ^ {\ dim {\ mathfrak {g}} -r} - \ suma _ {\ alfa \ w \ Phi} \ alfa (h) t ^ {\dim {\mathfrak {g}}-r-1}+\cdots \pm \prod _ {\alpha \in \Phi}\alpha (h)\right)}$ . to

Ta charakterystyka jest czasami traktowana jako definicja elementu regularnego (zwłaszcza gdy interesujące są tylko elementy regularne w podalgebrach Cartana).

Notatki

• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie , Elements de Mathématique, Hermann
•    Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoria reprezentacji, pierwszy kurs , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 129, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8 , MR 1153249
•   Procesi, Claudio (2007), Lie Groups: podejście poprzez niezmienniki i reprezentację , Springer, ISBN 9780387260402
•   Serre, Jean-Pierre (2001), Złożone półproste algebry kłamstw , Springer, ISBN 3-5406-7827-1