Półprosta algebra Liego

W matematyce algebra Liego jest półprosta , jeśli jest bezpośrednią sumą prostych algebr Liego. ( Prosta algebra Liego to nieabelowa algebra Liego bez żadnych niezerowych ideałów właściwych ).

W całym artykule, o ile nie zaznaczono inaczej, algebra Liego jest skończenie wymiarową algebrą Liego na polu o charakterystyce 0. Dla takiej algebry Liego $jest$ różna od zera, następujące warunki są równowartość:

• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest półprosty;
• forma zabijania , κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y )), jest niezdegenerowana ;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ nie ma niezerowych ideałów abelowych;
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ nie ma niezerowych rozwiązywalnych ideałów;
• radykał $($ rozwiązywalny ideał) wynosi zero.

Znaczenie

Znaczenie półprostoty wynika przede wszystkim z rozkładu Leviego , który stwierdza, że ​​każda skończenie wymiarowa algebra Liego jest półprostym iloczynem rozwiązywalnego ideału (jego pierwiastka) i algebry półprostej. W szczególności nie ma niezerowej algebry Liego, która byłaby zarówno rozwiązywalna, jak i półprosta.

Półproste algebry Liego mają bardzo elegancką klasyfikację, w przeciwieństwie do rozwiązywalnych algebr Liego . Półproste algebry Liego na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera są całkowicie klasyfikowane według ich systemu korzeniowego , który z kolei jest klasyfikowany za pomocą diagramów Dynkina . Półproste algebry na polach niealgebraicznie domkniętych można rozumieć w kategoriach algebr nad domknięciem algebraicznym, chociaż klasyfikacja jest nieco bardziej skomplikowana; patrz postać rzeczywista dla przypadku rzeczywistych półprostych algebr Liego, które zostały sklasyfikowane przez Élie Cartana .

Co więcej, teoria reprezentacji półprostych algebr Liego jest znacznie czystsza niż w przypadku ogólnych algebr Liego. Na przykład rozkład Jordana w półprostej algebrze Liego pokrywa się z rozkładem Jordana w jego reprezentacji; tak nie jest w przypadku algebr Liego w ogóle.

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest półprosty, to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g$ . W szczególności każda liniowa $półprosta$ jest podalgebrą , specjalnej liniowej algebry Liego . $.$ struktury stanowi ważną część teorii reprezentacji dla półprostych algebr

Historia

Półproste algebry Liego na liczbach zespolonych zostały po raz pierwszy sklasyfikowane przez Wilhelma Killinga (1888–1890), chociaż jego dowodowi brakowało rygoru. Jego dowód został rygorystyczny przez Élie Cartana (1894) w jego doktoracie. tezę, który również sklasyfikował półproste algebry Liego rzeczywistego. Zostało to następnie udoskonalone, a obecna klasyfikacja za pomocą diagramów Dynkina została podana przez ówczesnego 22-letniego Eugene'a Dynkina w 1947 r. Dokonano pewnych drobnych modyfikacji (zwłaszcza JP Serre), ale dowód pozostaje niezmieniony w swojej istocie i może być można znaleźć w dowolnym standardowym piśmiennictwie, takim jak ( Humphreys 1972 ).

Podstawowe właściwości

• Każdy ideał, iloraz i iloczyn półprostych algebr Liego jest znów półprosty.
• Środek półprostej algebry Liego $trywialny$ (ponieważ środek jest ideałem abelowym). Innymi słowy, sprzężona reprezentacja $iniekcyjna$ . Co więcej, obraz okazuje się być $\ mathfrak {g}})}$ { wyprowadzeń na $) {\ displaystyle \ operatorname {g}}}$ . Stąd $_$ _ . (Jest to szczególny przypadek lematu Whiteheada ).
• Ponieważ sprzężona reprezentacja jest iniekcyjna, półprosta algebra Liego jest liniową algebrą Liego pod reprezentacją sprzężoną. Może to prowadzić do pewnych niejasności, ponieważ każda algebra Liego jest już liniowa względem innej przestrzeni wektorowej ( twierdzenie Ado ), chociaż niekoniecznie poprzez reprezentację sprzężoną. Ale w praktyce taka niejednoznaczność zdarza się rzadko.
• sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest półprostą algebrą Liego, to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\$$}}$ ponieważ )
• Skończenie-wymiarowa algebra Lie $k$ polem charakterystycznego zera jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie podstawy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {k} F}$ jest półproste dla każdego rozszerzenia pola ${\ Displaystyle F \ supset k}$ . Tak więc, na przykład, rzeczywista algebra Liego o skończonych wymiarach jest półprosta wtedy i tylko wtedy, gdy jej złożoność jest półprosta.

rozkład Jordana

Każdy endomorfizm x skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej nad polem charakterystycznym zero można jednoznacznie rozłożyć na część półprostą (tj. diagonalizowalną po domknięciu algebraicznym) i część nilpotentną

${\ Displaystyle x = s + n \}$

takie, że s i n dojeżdżają do pracy ze sobą. Co więcej, każdy z s i n jest wielomianem w x . To jest rozkład Jordana x .

Powyższe dotyczy $sol$ reprezentacji półprostej algebry Liego $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . $, że$ element x z jest półprosty (odp. Nilpotent), $półprosty$ odp operator nilpotentny). Jeśli ${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ , to abstrakcyjna dekompozycja Jordana stwierdza, że ​​x można zapisać jednoznacznie jako:

${\ displaystyle x = s + n}$

gdzie jest $półprosty$ , $= 0}$$,$ { . Co więcej, jeśli $z x$ to dojeżdża również z obydwoma $displaystyle s, n}$ { .

Abstrakcyjne czynniki rozkładu Jordana poprzez dowolną reprezentację w tym sensie, że biorąc pod uwagę dowolną reprezentację ρ, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ rho (x) = \ rho (s) + \ rho (n) \,}$

jest rozkładem Jordana ρ ( x ) w algebrze endomorfizmu przestrzeni reprezentacji. (Jest to udowodnione jako konsekwencja twierdzenia Weyla o całkowitej redukowalności ; patrz twierdzenie Weyla o całkowitej redukowalności # Zastosowanie: zachowanie rozkładu Jordana ).

Struktura

Niech będzie ( $skończenie$ wymiarową) półprostą algebrą Liego nad algebraicznie zamkniętym polem charakterystycznego zera Strukturę można opisać przez sprzężone działanie na nią pewnej wyróżnionej podalgebry $podalgebry$ Cartana . Z definicji podalgebra Cartana (zwana także maksymalną podalgebrą toralną ) $h}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ sol $jest$ maksymalną $_$ , _ _ _ $.$ się okazuje, $operatory$ , więc są diagonalizowalny . Dla każdego liniowego funkcjonału ${\ Displaystyle \ alfa}$ z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ , niech

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa} = \ {x \ w {\ mathfrak {g}} | [h, x ]=\alpha (h)x\,{\text{dla wszystkich}}h\in {\mathfrak {h}}\}}$ .

(Zauważ, że ${\ mathfrak {h}}$ { \ $)$ } .

${\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {h}}}$ przestrzeni korzeniowej - biorąc podalgebrę Cartana , utrzymuje, że $Displaystyle$ i następuje rozkład (jako moduł - ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ):

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa \ w \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ { \alfa }}$

gdzie jest ${$ wszystkich niezerowych funkcjonałów liniowych h { $\ Displaystyle$$\ mathfrak {h}}}$ taki, że $\ mathfrak { g}}_{\alpha}\neq \{0\}}$ . Co więcej, dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ Phi}$ ,

• ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}, {\ mathfrak {g}} _ {\ beta}] \ subseteq {\ mathfrak {g} } _ {\ alfa + \ beta}}$ , co jest równością, jeśli ${\ Displaystyle \ alpha + \ beta \ neq 0}$ .
• ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alfa}] \oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha}\oplus {\mathfrak {g}}_{\alpha}\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}} jako algebrę Liego$ .
• ${\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa} = 1}$ ; w szczególności ${\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} = \ dim {\ mathfrak {h}} + \ # \ Phi}$ .
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2 \ alfa} = \ {0 \}}$ ; innymi słowy, ${\ Displaystyle 2 \ alfa \ nie \ w \ Phi}$ .
• $W$${\ Displaystyle \ alfa + \ beta \ neq 0}$ do formy do , jeśli ; ograniczenie do nie $zdegenerowane$ .

(Najtrudniejszym elementem do pokazania jest ${\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa} = 1}$ . Wszystkie standardowe dowody wykorzystują pewne fakty z teorii reprezentacji ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$ ; np. Serre wykorzystuje fakt, że -moduł z prymitywnym elementem ujemnym ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$ waga jest nieskończenie wymiarowa, sprzeczna z ${\ Displaystyle \ dim {\ mathfrak {g} <\ infty}$ .)

Niech ${\ Displaystyle h _ {\ alfa} \ w {\ mathfrak {h}}, e_ {\ alfa} \ w {\ mathfrak {g}} _{\alpha},f_{\alpha}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha}}$ z relacjami komutacyjnymi ${\ Displaystyle [e_ {\ alfa}, f_ {\ alfa}] = h_ {\ alfa}, [h_ {\ alfa}, e_ {\ alfa}] =2e_{\alfa},[h_{\alfa},f_{\alfa}]=-2f_{\alfa}}$ ; tj. ${\ Displaystyle h _ {\ alfa}, e _ {\ alfa}, f_ {\ alfa}}$ odpowiadają standardowej podstawie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl} }_{2}}$ .

Funkcjonały liniowe w $}$$}$ pierwiastkami względem sol { $\ displaystyle {\ mathfrak {g$ . Korzenie obejmują ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ (ponieważ jeśli ${\ Displaystyle \ alfa (h) = 0, \ alfa \ in \ Phi}$ , potem ${\ displaystyle \ operatorname {reklama} (h)}$ to operator zera; tj. $się$$\ displaystyle h} znajduje$ w środku, czyli zero.) Ponadto z teorii reprezentacji następującą symetrię i integralne właściwości ${\ Displaystyle \ Phi}$ : dla każdego ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ in \ Phi}$ ,

• Endomorfizm

  ${\ Displaystyle s_ {\ alfa}: {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ do {\ mathfrak {h}} ^ {*}, \, \ gamma \ mapsto \ gamma - \ gamma (h _ {\ alfa}) \ alfa}$

  pozostawia ${\ Displaystyle \ Phi}$ niezmiennik (tj. ${\ Displaystyle s_ { \alpha }(\Phi )\podzbiór \Phi }$ ).
• ${\ Displaystyle \ beta (h _ {\ alfa})}$ jest liczbą całkowitą.

Zauważ, że ma właściwości (1) $α$$Displaystyle s_ {\ alfa} (\ alfa) = - \ alfa}$ ) ustalona zbiór -punktowy to ${\ Displaystyle \ {\ gamma \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ gamma (h _ {\ alfa}) = 0 \}}, co oznacza, że$ ​​s $\ styl wyświetlania s_ {\ alfa }}$ jest odbiciem w odniesieniu do hiperpłaszczyzny odpowiadającej ${\ displaystyle \ alpha}$ . Powyższe mówi następnie, że $główny$ to system .

$}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ systemu korzeniowego wynika, że ​​zawiera Φ $displaystyle$ tak, że każdy pierwiastek jest kombinacją liniową ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}, \ kropki, \ alpha _ {l }}$ ze współczynnikami całkowitymi tego samego znaku; korzenie ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ nazywane są pierwiastkami prostymi . Niech ${\ Displaystyle e_ {i} = e _ {\ alfa _ {i}}}$ itd. Następnie elementy ${\ Displaystyle 3l}$$}, f_ {i}, h_ {i}}$${\ displaystyle e_ {$$)$ (zwane generatorami Chevalleya generują jako algebrę Liego. Ponadto spełniają relacje (tzw Serre relacje ): z za ${\ Displaystyle a_ {ij} = \ alfa _ {j} (h_ {i}$ }

${\ Displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

$e_ {i}, f_ {j}] = 0, i \ neq jot,} [$

${\ Displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i},$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} (e_ {i}) ^ {-a_ {ij} + 1} (e_ {j}) = \ nazwa operatora {reklama} (f_ {i} )^{-a_{ij}+1}(f_{j})=0,i\neq j}$ .

Odwrotność tego jest również prawdziwa: tj. algebra Liego generowana przez generatory i relacje podobne do powyższych jest (skończenie wymiarową) półprostą algebrą Liego, która ma rozkład przestrzeni pierwiastków jak powyżej (pod warunkiem, że ${\ Displaystyle [a_ {ij}] _ {1 \ równoważnik ja, j \ równoważnik l}}$ jest macierzą Cartana ). To jest twierdzenie Serre'a . W szczególności dwie półproste algebry Liego są izomorficzne, jeśli mają ten sam system korzeni.

Implikacją aksjomatycznej natury systemu korzeniowego i twierdzenia Serre'a jest to, że można wyliczyć wszystkie możliwe systemy korzeniowe; stąd „wszystkie możliwe” półproste algebry Liego (skończenie wymiarowe na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera).

Grupa Weyla to grupa liniowych przekształceń generowanych przez $alfa }}$$\$ 's. Grupa Weyla jest ważną symetrią problemu; $skończenie$ wymiarowej reprezentacji są niezmienne w grupie Weyla.

Przykład rozkładu przestrzeni głównej w sl _n (C)

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ podalgebra Cartana ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ macierzy diagonalnych zdefiniuj przez ${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {i} (d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = a_ {i}}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$ oznacza macierz diagonalną z za $\ Displaystyle a_ {1}, \ldots ,a_{n}}$ na przekątnej. Wtedy rozkład jest dany przez

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ lewo (\ bigoplus _ {i \ neq j} {\ mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\right)}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} = {\ tekst {zakres}} _ { \mathbb {C} }(e_{ij})}$

$\ Displaystyle e_ {ij}}$ { w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ standardową (macierzową) podstawą mi $e_ {ij}}$$kolumnie$ reprezentuje wektor bazowy w $i$ -tej . Ten rozkład ma powiązany system główny: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}: i \ neq j \}}$

sl ₂ (C)

Na przykład w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$ rozkład jest

${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}}$

a powiązany system główny to

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}, \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \}}$

sl ₃ (C)

w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbb {C})}$ rozkład jest

${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}}$

a powiązany system główny jest podany przez

${\ Displaystyle \ Phi = \ {\ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _{2}-\lambda _{3})\}}$

Przykłady

Jak zauważono w #Structure , półproste algebry Liego nad (lub bardziej ogólnie algebraicznie zamkniętym polem charakterystycznego zera) są klasyfikowane według systemu korzeniowego powiązanego z ich podalgebrami Cartana oraz systemów korzeniowych $,$ z kolei są klasyfikowane według diagramów Dynkina. Przykładami półprostych algebr Liego, klasycznych algebr Liego , z notacją pochodzącą z ich diagramów Dynkina , są:

• ${\ Displaystyle A_ {n}:}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ , specjalna liniowa algebra Liego .
• ${\ Displaystyle B_ {n}:}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} _ {2n + 1}}$ , nieparzystowymiarowa specjalna ortogonalna algebra Liego .
• ${\ Displaystyle C_ {n}:}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ symplektyczna algebra Liego .
• ${\ Displaystyle D_ {n}:}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} _ {2n}}$ , parzystowymiarowa specjalna ortogonalna algebra Liego ( ${\ displaystyle n> 1 }$ ).

Ograniczenie w $\ Displaystyle {$ jest potrzebne, ponieważ $s$ jednowymiarowe $} _ {2}}$ i przemienne, a zatem nie półproste.

Te algebry Liego są ponumerowane tak, że n jest rangą . Prawie wszystkie z tych półprostych algebr Liego są w rzeczywistości proste, a członkowie tych rodzin są prawie wszyscy różni, z wyjątkiem niektórych kolizji w małym stopniu. Na przykład ${\ Displaystyle {\ mathfrak {tak}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {tak}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {tak}} _ {3}}$ i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2} \ cong {\ mathfrak {tak}} _ {5}}$ . Te cztery rodziny, wraz z pięcioma wyjątkami ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ i G ₂ ), są w rzeczywistości jedynymi prostymi algebrami Liego na liczbach zespolonych.

Klasyfikacja

Zobacz też: System root

Proste algebry Liego są klasyfikowane za pomocą połączonych diagramów Dynkina .

Każda półprosta algebra Liego na algebraicznie zamkniętym ciele o charakterystyce 0 jest bezpośrednią sumą prostych algebr Liego (z definicji ₎ , a skończenie wymiarowe proste algebry Liego dzielą się na cztery rodziny – An _, Bn , _Cn i _Dn – z pięcioma wyjątkami E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ i G ₂ . Proste algebry Liego są klasyfikowane według połączonych diagramów Dynkina , pokazany po prawej stronie, podczas gdy półproste algebry Liego odpowiadają niekoniecznie połączonym diagramom Dynkina, gdzie każdy składnik diagramu odpowiada sumie rozkładu półprostej algebry Liego na proste algebry Liego.

Klasyfikacja przebiega poprzez rozważenie podalgebry Cartana (patrz poniżej) i jej sprzężonego działania na algebrę Liego. System korzeniowy działania określa wówczas zarówno pierwotną algebrę Liego, jak i musi mieć bardzo ograniczoną postać, którą można sklasyfikować za pomocą diagramów Dynkina. Zobacz sekcję poniżej opisującą podalgebry Cartana i systemy korzeniowe, aby uzyskać więcej informacji.

Klasyfikacja jest powszechnie uważana za jeden z najbardziej eleganckich wyników w matematyce – krótka lista aksjomatów daje, poprzez stosunkowo krótki dowód, pełną, ale nietrywialną klasyfikację o zaskakującej strukturze. Należy to porównać do klasyfikacji skończonych grup prostych , która jest znacznie bardziej skomplikowana.

Wyliczenie czterech rodzin nie jest $n$$się$ z $}$ _, dla B _n , ₃ dla do _n i dla re n $\ displaystyle n \ geq 4$ } Jeśli zaczniesz numerować niżej, wyliczenie jest zbędne i masz wyjątkowe izomorfizmy między prostymi algebrami Liego, które znajdują odzwierciedlenie w izomorfizmach diagramów Dynkina ; E _n można również rozszerzyć w dół, ale poniżej E ₆ są izomorficzne z innymi, nie wyjątkowymi algebrami.

W przypadku ciała niealgebraicznie domkniętego klasyfikacja jest bardziej skomplikowana – klasyfikuje się proste algebry Liego nad domknięciem algebraicznym, następnie dla każdego z nich klasyfikuje się proste algebry Liego nad ciałem pierwotnym, które mają tę postać (nad domknięciem). Na przykład, aby sklasyfikować proste algebry Liego rzeczywistego, klasyfikuje się algebry Liego rzeczywistego o danym złożoności, które są znane jako formy rzeczywiste złożonej algebry Liego; można to zrobić za pomocą diagramów Satake , które są diagramami Dynkina z dodatkowymi danymi („dekoracje”).

Teoria reprezentacji półprostych algebr Liego

Główny artykuł: Teoria reprezentacji półprostych algebr Liego

Niech będzie ( $skończenie$ wymiarową) półprostą algebrą Liego nad algebraicznie zamkniętym polem charakterystycznego zera Następnie, jak w #Structure , $}}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa \ w \ Phi} }{\ mathfrak {g}}$$alfa$ gdzie jest systemem korzeniowym. Wybierz proste pierwiastki w ${\ displaystyle \ Phi}$ ; pierwiastek ${\ displaystyle \ alpha}$ z ${\ displaystyle \ Phi}$ jest wtedy nazywany dodatnim i oznaczany przez ${\ displaystyle \ alpha > 0},$ jeśli jest to liniowa kombinacja pierwiastków prostych z nieujemnymi współczynnikami całkowitymi. Niech ${\ textstyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa > 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alfa }}$ , która jest maksymalną rozwiązywalną podalgebrą ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ , podalgebrę Borela .

Niech V będzie ( prawdopodobnie nieskończenie wymiarowym) prostym $.$ Jeśli zdarza się, że V dopuszcza $,$ -weight ${\ displaystyle v_ {0}}$ to jest unikalny w skali i jest nazywany wektorem o najwyższej wadze V . Jest to również wektor wagi i ${\ Displaystyle {\ mathfrak$$h}}}$ -waga { $\ displaystyle v_ {0}}$ funkcjonał liniowy $nazywany$ jest najwyższą wagą V . Podstawowe, ale nietrywialne fakty to (1) dla każdego liniowego funkcjonału ${\ Displaystyle \ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ istnieje prosty ${\ displaystyle {\ mathfrak {\ mathfrak { g}}}$ -moduł ${\ Displaystyle V ^ {\ mu}}$ mając ${\ Displaystyle \ mu}$ jak jego największa waga i (2) dwa proste moduły o tej samej największej masie są równoważne. Krótko mówiąc, istnieje bijekcja między a zbiorem klas równoważności prostych ${h}} ^ {*}}$ dopuszczających $Displaystyle {\ mathfrak$ Wektor ciężaru Borela.

W przypadku zastosowań często interesuje się prostym modułem o skończonych wymiarach $nieredukowalna$ reprezentacja o skończonych wymiarach). Dzieje się tak zwłaszcza w przypadku, gdy jest algebrą Liego $korespondencję$ Liego (lub jej złożonością), ponieważ poprzez Liego reprezentację algebry Liego można zintegrować z Lie sol {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} reprezentacja grupowa po pokonaniu przeszkód. Następne kryterium odpowiada zatem na tę potrzebę: przez dodatnią komorę Weyla ${\ Displaystyle C \ podzbiór {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$ mamy na myśli wypukły stożek ${\ Displaystyle C = \ {\ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ mu (h_ {\ alfa}) \ geq 0, \ alfa \in \Phi >0\}}$ gdzie ${\ Displaystyle h _ {\ alfa} \ w [{\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alfa}]} jest unikalnym wektorem takim,$ że ${\ Displaystyle \ alfa (h _ {\ alfa}) = 2}$ . Kryterium brzmi zatem:

• ${\ Displaystyle \ dim V ^ {\ mu }<\ infty}$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego dodatniego pierwiastka ${\ Displaystyle \ alpha > 0}$ , (1) ${ \ displaystyle \ mu (h _ {\ alfa})}$ jest liczbą całkowitą i (2) $displaystyle$ w do $C}$ .

Funkcjonał liniowy $.$ powyższy warunek równoważny nazywany jest dominującą wagą całkową Podsumowując, istnieje bijekcja między dominującymi wagami całkowymi a klasami równoważności skończenie wymiarowych prostych $,$ wynik znany jako twierdzenie o największej wadze . Charakter skończenie wymiarowego prostego modułu po kolei jest obliczany za pomocą wzoru Weyla .

Twierdzenie Weyla mówi $,$ że na polu charakterystycznym zero każdy skończony wymiarowy moduł półprostej algebry Liego całkowicie redukowalny ; tj $.$ jest to bezpośrednia suma prostych . Stąd powyższe wyniki odnoszą się następnie do skończonych wymiarowych reprezentacji półprostej algebry Liego.

Prawdziwa półprosta algebra Liego

W przypadku półprostej algebry Liego na polu, które ma charakterystyczne zero, ale nie jest algebraicznie domknięte, nie ma ogólnej teorii struktury, takiej jak ta dla algebraicznie domkniętego ciała o charakterystycznym zero. Ale w dziedzinie liczb rzeczywistych nadal istnieją wyniki struktury.

Niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ będzie skończenie wymiarową prawdziwą półprostą algebrą Liego i ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = { \mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ jego złożoność (która znowu jest półprosta). Prawdziwa algebra Liego $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}$ jest prawdziwą formą ${\ mathbb {C}}}$ do { . Forma rzeczywista nazywana jest formą zwartą, jeśli znajdująca się na niej forma Killing jest ujemnie określona; jest to z konieczności algebra Liego zwartej grupy Liego (stąd nazwa).

Kompaktowa obudowa

Załóżmy $abelową$$jest$ formą zwartą i podprzestrzenią Można pokazać (na przykład z faktu, $ad$ jest algebrą Liego zwartej grupy Liego), że $\ Displaystyle \ operatorname {reklama} ({\ mathfrak {h}})}$ składa się z macierzy skośno-hermitowskich, diagonalizowalnych na do {\ Displaystyle \ mathbb { $}}$ z wyimaginowanymi wartościami własnymi. Stąd ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$ jest podalgebrą Cartana sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}$ { i powoduje dekompozycję przestrzeni korzeniowej (por. #Structure )

$\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha}}$

gdzie każdy $Displaystyle i$ wartość rzeczywistą na $\ mathfrak {h}}$ ; w ten sposób można go utożsamiać z rzeczywistą funkcjonałem liniowym w rzeczywistej przestrzeni wektorowej ${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$ .

Na przykład niech ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {su}} (n)}$ i weź ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ podzbiór {\mathfrak {g}}}$ podprzestrzeń wszystkich macierzy diagonalnych. Uwaga sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$ . Niech ${\ Displaystyle e_ {i}}$ będzie funkcjonałem liniowym na ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$ podane przez ${\ Displaystyle e_ {i} (H) = h_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle H = \ nazwa operatora {diag} (h_ {1}, \ kropki, h_ {n})}$ . Następnie dla każdego ${\ Displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}$ }

${\ Displaystyle [H, E_ {ij}] = (e_ {i} (H) -e_ {j}$

gdzie $jest$ macierzą, która $na$ miejscu Stąd każdy pierwiastek $\ alpha = e_ {i} -e_ {j}, i \ neq j$ postać $≠$ Displaystyle rozkład przestrzenny to rozkład macierzy:

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {i \ neq j} \ mathbb {C} E_{ij}.}$

Niekompaktowa obudowa

Załóżmy $, że$ jest to forma zwarta (tj. podpis formy zabijania nie jest w całości ujemny). $Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}} }$ ponadto, że ma inwolucję Cartana i niech sol $\$ będzie rozkładem przestrzeni własnej $Displaystyle$ gdzie ${\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}}$ są przestrzeniami własnymi odpowiednio dla 1 i -1. Na przykład, jeśli i ujemna transpozycja $sol$$mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {R}$ \ $tak}} (n)}$ { .

Niech $podprzestrzenią$ . Teraz ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {p}})}$ składa się z symetrycznych macierzy (w odniesieniu do odpowiedniego iloczynu wewnętrznego), a zatem operatorów w ${\ styl wyświetlania \ nazwa operatora {reklama} ({\ mathfrak {a}})}$ są jednocześnie diagonalizowalne, z rzeczywistymi wartościami własnymi. Powtarzając argumenty dla algebraicznie domkniętego ciała podstawowego, otrzymuje się rozkład (nazywany rozkładem ograniczonej przestrzeni korzeniowej ):

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus \ bigoplus _ {\ alfa \ w \ Phi} {\ mathfrak {g }}_{\alfa}}$

Gdzie

• elementy w ${\ displaystyle \ Phi}$ nazywane są ograniczonymi pierwiastkami, Φ {\ displaystyle \ Phi}
• ${\ Displaystyle \ theta ({\ mathfrak {g}} _ {\ alfa}) = {\ mathfrak {g}} _ {- \ alfa}} dla dowolnej funkcji liniowej$ α $\ styl wyświetlania \alpha}$ ; w szczególności ${\ Displaystyle - \ Phi \ podzbiór \ Phi}$ ,
• ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {a}} \ oplus Z _ {\ mathfrak {k}} ({\ mathfrak {a}}) }$ .

Co więcej, jest systemem korzeniowym $,$$że$ zredukowanym (tj. może się zdarzyć są korzeniami)

Przypadek sl(n,C)

sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ operatorname {sl} (n, \ mathbb {C})}$ to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ można uznać za ukośną podalgebrę $.$ składającą się z ukośnych macierzy, których przekątne wpisy sumują się do zera Ponieważ ma wymiar $\ Displaystyle n-1}$$że$ , widzimy, ${\ Displaystyle \ operatorname {sl} (n; \ mathbb {C})}$ ma rangę ${\ Displaystyle n-1}$ .

Wektory korzeniowe $≠$$}$ przypadku mogą być traktowane $}}$ macierze z , $gdzie$ ja $miejscu$ macierzą z 1 w i zerami w innych miejscach Jeśli $jest$ macierzą diagonalną z ukośnymi ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ , wtedy mamy

${\ Displaystyle [H, E_ {i, j}] = (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j})$ .

Zatem pierwiastki dla $alpha _ {$ liniowymi $}$ podane przez

${\ Displaystyle \ alfa _ {i, j} (H) = \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}}$ .

Po zidentyfikowaniu z jego $liczbą$ podwójną pierwiastki stają się wektorami $e_ {i } -e_ {j}}$ w przestrzeni $krotek$ , które sumują się do zera. To jest system główny znany jako ${\ Displaystyle A_ {n-1}}$ w konwencjonalnym etykietowaniu.

Odbicie związane z rdzeniem ${\ Displaystyle$ na ${\ mathfrak {h}}}$ transpozycję $displaystyle$ ja $} j}$ wpisy ukośne. Grupa Weyla jest wtedy po prostu grupą permutacji $elementów$ permutację ukośnych wpisów macierzy $.$

Uogólnienia

Główne artykuły: redukcyjna algebra Liego i rozszczepiona algebra Liego

Półproste algebry Liego dopuszczają pewne uogólnienia. Po pierwsze, wiele stwierdzeń, które są prawdziwe dla półprostych algebr Liego, jest prawdziwych bardziej ogólnie dla redukcyjnych algebr Liego . Abstrakcyjnie, redukcyjna algebra Liego to taka, której sprzężona reprezentacja jest całkowicie redukowalna , podczas gdy konkretnie redukcyjna algebra Liego jest bezpośrednią sumą półprostej algebry Liego i abelowej algebry Liego ; $mathfrak {gl}} _ {n}}$ przykład jest i $Displaystyle {$ jest redukujący. Wiele właściwości półprostych algebr Liego zależy tylko od redukowalności.

Wiele właściwości złożonych półprostych/redukcyjnych algebr Liego jest prawdziwych nie tylko dla półprostych/redukcyjnych algebr Liego na polach algebraicznie domkniętych, ale bardziej ogólnie dla rozszczepionych algebr Liego półprostych/redukcyjnych na innych polach: półproste/redukujące algebry Liego na polach algebraicznie domkniętych są zawsze podzielone , ale w przypadku innych dziedzin nie zawsze tak jest. Podzielone algebry Liego mają zasadniczo tę samą teorię reprezentacji, co półproste algebry Liego na algebraicznie zamkniętych polach, na przykład rozdzielająca podalgebra Cartana odgrywająca tę samą rolę, co podalgebra Cartana gra na algebraicznie zamkniętych polach. Jest to podejście zastosowane na przykład w ( Bourbaki 2005 ), które klasyfikuje reprezentacje podzielonych półprostych/redukujących algebr Liego.

Grupy półproste i redukujące

Spójną grupę Liego nazywamy półprostą, jeśli jej algebra Liego jest półprostą algebrą Liego, tj. bezpośrednią sumą prostych algebr Liego. Nazywa się to redukcją , jeśli jej algebra Liego jest bezpośrednią sumą prostych i trywialnych (jednowymiarowych) algebr Liego. Grupy redukcyjne występują naturalnie jako symetrie wielu obiektów matematycznych w algebrze, geometrii i fizyce. Na przykład grupa symetrii $n} (\ mathbb {R}}}$ ( R ) (równoważnie grupa macierzy odwracalnych) jest redukcyjna.

Zobacz też

• Algebra kłamstw
• System korzeniowy
• Reprezentacja algebry kłamstw
• Kompaktowa grupa
• Grupa prostego kłamstwa
• Podalgebra borelowska
• Twierdzenie Jacobsona-Morozowa

• Bourbaki, Nicolas (2005), „VIII: Split Semi-simple Lie Algebras” , Elementy matematyki: grupy kłamstw i algebry kłamstw: rozdziały 7–9
•   Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Wprowadzenie do algebr kłamstw (wyd. 1), Springer, ISBN 1-84628-040-0 .
•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
•   Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
•   Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Algebry kłamstwa . Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63832-4 .
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupy kłamstw poza wprowadzeniem (wyd. 2), Birkäuser
•   Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], przekład Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .
•   Varadarajan, VS (2004), Grupy kłamstw, algebry kłamstwa i ich reprezentacje (wyd. 1), Springer, ISBN 0-387-90969-9 .