Podalgebra borelowska

W matematyce, szczególnie w teorii reprezentacji $jest$ podalgebra borelowska algebry Liego maksymalną rozwiązywalną podalgebrą. Pojęcie to zostało nazwane na cześć Armanda Borela .

Jeśli algebra Liego $podgrupy$ algebrą Liego złożonej grupy Liego , to podalgebra Borela jest algebrą Liego Borela .

Podalgebra borelowska powiązana z flagą

Niech $.$ wymiarowej przestrzeni wektorowej V Następnie , aby określić podalgebrę borelowską równa się określeniu flagi V ; ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}$ } biorąc pod uwagę flagę ${\ Displaystyle V = V_ {0} \ supset V_ {1} \ supset \ cdots \ supset V_ {n} = 0}$ , podprzestrzeń ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = \ {x \ w {\ mathfrak {g}} \ mid x (V_ {i}) \subset V_{i},1\leq i\leq n\}}$ jest podalgebrą borelowską i odwrotnie, każda podalgebra borelowska ma taką postać na mocy twierdzenia Liego . Stąd podalgebry Borela są klasyfikowane według odmiany flagowej V .

Podalgebra borelowska względem podstawy systemu korzeniowego

Niech będzie $nimi$ półprostą algebrą Liego , $podalgebrą$ Cartana i R powiązanym systemem głównym . Wybór podstawy R daje pojęcie dodatnich pierwiastków. Wtedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ma rozkład sol $\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {n}} ^ {-} \ oplus { \ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {n}} ^ {+}}$ gdzie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}} ^ {\ pm} = \ suma _ { \alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\pm \alpha}}$ . Wtedy ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {n}} ^ {+}} jest$ podalgebrą Borela względem powyższej konfiguracji. (Jest rozwiązywalny, ponieważ algebra pochodna $jest zerowa$ przez twierdzenie Borela koniugacja rozwiązywalnych podalgebr).

Biorąc pod $-moduł$ V , prymitywny element V jest (niezerowym) wektorem, który ( 1) jest wektorem wagi dla $\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ { i że (2) zostaje unicestwione przez ${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} ^ {+}}$ . Jest to to samo, co ${$ -waga (Dowód: jeśli i $\ Displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$ i ${\ displaystyle e \ in {\ mathfrak {n}} ^ {+}}$ z ${\ Displaystyle [h, e] = 2e}$ i jeśli ${\ Displaystyle {\ mathfrak {b} } \ cdot v}$ jest linią, a następnie ${\ Displaystyle 0 = [h, e] \ cdot v = 2e \ cdot v}$ .)

Zobacz też

Chriss, Neil; Ginzburg, Victor (2009) [1997], Teoria reprezentacji i złożona geometria , Springer, ISBN 978-0-8176-4938-8 .
Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Complex Semisimple Lie Algebras ], przekład Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .