Twierdzenie Liego

W matematyce, a konkretnie w teorii algebr Liego , twierdzenie Liego stwierdza, że ​​​​na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera, jeśli ${\ Displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ do { \mathfrak {gl}}(V)}$ jest skończenie wymiarową reprezentacją rozwiązywalnej algebry Liego , wtedy jest flaga $supset V_ {1} \ supset \ cdots \ supset V_ {n} = 0}$${\ Displaystyle \ pi ({\ mathfrak {g} })}$ niezmiennych podprzestrzeni π z ${\ Displaystyle \ operatorname {codim} V_ {i} = i}$ , co oznacza, że ${\ Displaystyle \ pi (X) (V_ { i})\subseteq V_{i}}$ dla każdego ${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}}}$ i ja .

Innymi słowy, twierdzenie mówi, że istnieje podstawa dla $,$ że ​​wszystkie przekształcenia liniowe w reprezentowane przez górne trójkątne macierze Jest to uogólnienie wyniku Frobeniusa, że ​​macierze komutujące są jednocześnie triangularyzowalne w górę , ponieważ macierze komutujące generują abelową algebrę Liego , która jest a fortiori rozwiązywalna.

Konsekwencją twierdzenia Liego jest to, że każda skończenie wymiarowa rozwiązywalna algebra Liego na polu o charakterystyce 0 ma algebrę pochodną nilpotentną (patrz #Consequences ). Ponadto każdej flagi w skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej V odpowiada podalgebra Borela (składająca się z przekształceń liniowych stabilizujących flagę); zatem twierdzenie mówi, że zawarte w jakiejś podalgebrze Borela ${\ Displaystyle \ pi ({\ mathfrak {g}})$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ .

Kontrprzykład

Dla ciał algebraicznie domkniętych o charakterystyce p > 0 twierdzenie Liego obowiązuje pod warunkiem, że wymiar reprezentacji jest mniejszy niż p (patrz dowód poniżej), ale może zawieść dla reprezentacji o wymiarze p . Przykład podaje trójwymiarowa nilpotentna algebra Liego rozpięta na 1, x i d / dx działająca na p -wymiarową przestrzeń wektorową k [ x ]/( x ^p ), który nie ma wektorów własnych. Biorąc półprosty iloczyn tej trójwymiarowej algebry Liego przez p -wymiarową (uważaną za abelową algebrę Liego) otrzymujemy rozwiązywalną algebrę Liego, której pochodna algebra nie jest nilpotentna.

Dowód

Dowód odbywa się przez indukcję względem wymiaru $i$ się z kilku kroków. (Uwaga: struktura dowodu jest bardzo podobna do tej dla $twierdzenia$ Engela ). Podstawowy przypadek jest trywialny i zakładamy, że wymiar dodatni. Zakładamy również, że V nie jest zerem. Dla uproszczenia piszemy ${\ Displaystyle X \ cdot v = \ pi (X) (v)}$ .

Krok 1 : Zauważ, że twierdzenie jest równoważne ze stwierdzeniem:

• Istnieje wektor w V , który jest wektorem własnym dla każdej transformacji liniowej w ${\ Displaystyle \ pi ({\ mathfrak {g}})}$ .

Rzeczywiście, twierdzenie mówi w szczególności, że niezerowy wektor obejmujący $)$ wektorem własnym dla wszystkich przekształceń liniowych w $g}})}$$\ Displaystyle \ pi ({\ mathfrak$ . I odwrotnie, jeśli v jest wspólnym wektorem własnym, weź $mathfrak {g}})}$ rozpiętość, a następnie $π$ dopuszcza wspólny wektor własny w ilorazie ${\ Displaystyle V / V_ {n-1}}$ ; powtórz argumentację.

Krok 2 : Znajdź idealny o kowymiarze jeden w $}$$}$ .

Niech re ${\ Displaystyle D {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ algebrą pochodną . Ponieważ $i$$rozwiązywalny$ wymiar dodatni ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / D {\ mathfrak {g}}}$ zatem jest niezerową abelową algebrą Liego, która z pewnością zawiera ideał współwymiaru jeden i przez idealną zgodność odpowiada ideałowi współwymiaru jeden w ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ .

Krok 3 : Istnieje pewien funkcjonał liniowy $\$ , że w $Displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ Displaystyle V _ {\ lambda} = \ {v \ w V | X \ cdot v = \ lambda (X) v, X \ w {\ mathfrak {h }}\}}$

jest różny od zera. Wynika to z hipotezy indukcyjnej (łatwo sprawdzić, że wartości własne wyznaczają funkcjonał liniowy).

Krok 4 : ${\ Displaystyle V _ {\ lambda}}$ jest niezmienną podprzestrzenią ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . (Zauważ, że ten krok dowodzi ogólnego faktu i nie obejmuje możliwości rozwiązania).

Niech ${\ Displaystyle Y \ in {\ mathfrak {g}}}$ , ${\ Displaystyle v \ in V _ {\ lambda}}$ , to musimy udowodnić ${\ Displaystyle Y\cdot v\in V_{\lambda }}$ . Jeśli ${\ displaystyle v = 0},$ to jest to oczywiste, więc załóżmy, że ${\ displaystyle v \ neq 0}$ i ustaw rekurencyjnie ${\ Displaystyle v_ {0} = v, \, v_ {i + 1} = Y \ cdot v_ {i}}$ . Niech ${\ Displaystyle U = \ nazwa operatora {rozpiętość} \ {v_ {i} | i \ geq 0 \}}$ i być ${\ Displaystyle \ ell \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ największy taki, że ${\ Displaystyle v_ {0}, \ ldots, v _ {\ ell}}$ są liniowo niezależne. $_$ udowodnimy U a _ _ _ Rzeczywiście, załóżmy przez sprzeczność, $że$ nie jest i niech najmniejszym takim, ${\ Displaystyle v_ {m} \ notin \ langle v_ {0}, \ ldots, v_ {\ ell} \ rangle}, to$ oczywiście ${\ Displaystyle m \ geq \ ell +1}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle v_ {0}, \ ldots, v _ {\ ell + 1}} są$ liniowo zależne, ${\ Displaystyle v_ {\ ell + 1}}$ kombinacja ${\ Displaystyle v_ {0}, \ ldots, v _ {\ ell}}$ . $-$ mapę wynika, że ​​jest to liniowa kombinacja $Displaystyle Y ^ {m-\ ell$${\ Displaystyle v_ {m- \ ell -1}, \ ldots, v_ {m-1}}$ . Ponieważ przez minimalność m każdy z tych wektorów jest kombinacją liniową ${\ displaystyle v_ {0}, \ ldots, v_ {\ ell}}$$więc$ jest otrzymujemy pożądaną sprzeczność. Udowodnimy przez indukcję $że$$dla$ i istnieją ${\ Displaystyle a_ {0, n, X}, \ ldots, a_ {n, n, X}}$ pola podstawowego tak, że za ${\ Displaystyle a_ {n, n, X} = \ lambda (X)$ i

${\ Displaystyle X \ cdot v_ {n} = \ suma _ {i = 0} ^ {n} a_ {i, n, X} v_ {i}.}$

Przypadek ${\ displaystyle n = 0}$ jest prosty, ponieważ ${\ Displaystyle X \ cdot v_ {0} = \ lambda (X) v_ {0}}$ . Załóżmy teraz, że udowodniliśmy twierdzenie dla niektórych $\ Displaystyle$ elementów ${\ mathfrak {h}}}$ niech ${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {h}}}$ . od ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ jest ideałem, to jest ${\ Displaystyle [X, Y] \ in {\ mathfrak {h}}}$ , a zatem

${\ Displaystyle X \ cdot v_ {n + 1} = Y \ cdot (X \ cdot v_ {n}) + [X, Y] \ cdot v_ {n} = Y \ cdot \ suma _ {i = 0} ^ {n}a_{i,n,X}v_{i}+\suma_{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n ,[X,Y]}v_{0}+\suma _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_ {i}+\lambda (X)v_{n+1},}$

i następuje krok indukcyjny. Oznacza to , że dla każdej $U$ niezmienną podprzestrzenią X i mapy ograniczonej $_ {U}}$$pi (X$$\ Displaystyle \$ w podstawie jest elementami równymi , stąd ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ pi (X) | _ {U}) = \ ciemny (U) \ lambda (X)}$ . Zastosowanie tego z ${\ Displaystyle [X, Y] \ in {\ mathfrak {h}}}$ zamiast X daje ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ pi ([X, Y]) | _ {U}) = \ słaby (U) \ lambda ([ X, Y])}$ . Z drugiej strony, U jest również oczywiście niezmienną podprzestrzenią Y i tak dalej

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tr} (\ pi ([X, Y])|_ {U}) = \ nazwa operatora {tr} ([\ pi (X), \ pi (Y)] | _ {U} ])=\nazwa operatora {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}$

ponieważ komutatory mają zerowy ślad, a zatem ${\ Displaystyle \ dim (U) \ lambda ([X, Y]) = 0}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle \ dim (U)> 0}$ jest odwracalne (ze względu na założenie dotyczące charakterystyki pola podstawowego), ${\ Displaystyle \ lambda ([ X,Y])=0}$ I

$\ Displaystyle X \ cdot (Y \ cdot v) = Y \ cdot (X \ cdot v) + [X, Y] \ cdot v = Y \ cdot (\ lambda (X) v) + \ lambda ([X ,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}$

i tak ${\ Displaystyle Y \ cdot v \ w V _ {\ lambda}}$ .

Krok 5 : Zakończ dowód, znajdując wspólny wektor własny.

Napisz ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} + L}$ gdzie L jest jednowymiarową podprzestrzenią wektorową. Ponieważ pole $.$ algebraicznie domknięte, istnieje wektor własny dla jakiegoś (a więc każdego) niezerowego elementu L $Ponieważ ten wektor jest również wektorem własnym dla$ elementu , dowód jest zakończony. ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Konsekwencje

Twierdzenie odnosi się w szczególności do sprzężonej reprezentacji $)}$${\ Displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}$$}$ (skończenie wymiarowej) rozwiązywalnej algebry Lie algebraicznie zamkniętym polem charakterystycznego zera; można wybrać podstawę na podstawie której $}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {g}})}$ składa się z górnych trójkątnych macierzy. Wynika z tego łatwo, że dla każdego ${\ Displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ , ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} ([x, y]) = [\ nazwa operatora {reklama} (x), \ nazwa operatora {reklama} (y)]}$ ma przekątną składającą się z zer; tj. ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} ([x, y])}$ jest ściśle górną macierzą trójkątną. Oznacza to, że jest nilpotentną algebrą kłamstwa ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ . Co więcej, jeśli pole podstawowe nie jest algebraicznie domknięte, to rozszerzenie pola podstawowego do jego domknięcia algebraicznego nie ma wpływu na rozwiązywalność i nilpotencję algebry Liego. Stąd kończy się stwierdzenie (inna implikacja jest oczywista):

Skończenie-wymiarowa algebra $re$ na polu charakterystycznego zera jest rozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy algebra pochodna $\ Displaystyle D {\ mathfrak {g }}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ jest zerowa.

Twierdzenie Liego ustanawia również jeden kierunek w kryterium rozwiązywalności Cartana :

Jeśli V jest skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad polem charakterystycznym zero i a ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ subseteq {\ mathfrak {gl}} (V)}$ subalgebra, sol sol ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ jest rozwiązywalny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle X \ w {\mathfrak {g}}}$$\ Displaystyle \ operatorname {tr} (XY) = 0}$ dla każdego i ${\ Displaystyle Y \ w [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ .

$Rzeczywiście$ jak powyżej, po rozszerzeniu pola podstawowego, implikacja jest łatwo widoczna. (Odwrotność jest trudniejsza do udowodnienia).

Twierdzenie Liego (dla różnych V ) jest równoważne ze stwierdzeniem:

Dla rozwiązywalnej algebry Liego $zera$ , każdy skończenie wymiarowy prosty ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ (tj. nieredukowalny jako sol reprezentacja) ma wymiar pierwszy.

Rzeczywiście, twierdzenie Liego wyraźnie implikuje to stwierdzenie. Odwrotnie, załóżmy, że stwierdzenie jest prawdziwe. Biorąc pod uwagę skończenie wymiarowy $($ V , niech ${\ Displaystyle$ maksymalnym -submodule $mathfrak {g}}}$ { -submodule ( który istnieje dzięki skończoności wymiaru). $,$ , przez proste jest zatem jednowymiarowy. Indukcja kończy teraz dowód.

Stwierdzenie mówi w szczególności, że skończenie wymiarowy prosty moduł nad abelową algebrą Liego jest jednowymiarowy; fakt ten pozostaje prawdziwy na dowolnym polu bazowym, ponieważ w tym przypadku każda podprzestrzeń wektorowa jest podalgebrą Liego.

Oto kolejna całkiem przydatna aplikacja:

Niech będzie $skończenie$ wymiarową algebrą Liego nad algebraicznie zamkniętym polem charakterystycznego zera z rad $\ Displaystyle \ operatorname {rad} ({\ mathfrak {g} })}$ . Wtedy każda skończenie-wymiarowa prosta reprezentacja jest iloczynem tensorowym prostej reprezentacji ${\ Displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {gl}} (V)}$ z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / \ operatorname {rad} ({\ mathfrak {g}})}$ z jednowymiarową reprezentacją ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} }$ (tj. funkcjonał liniowy znikający w nawiasach Liego).

Z twierdzenia Liego możemy znaleźć funkcjonał liniowy $\ Displaystyle \ operatorname {rad$ ⁡ $({\ mathfrak {g}})},$${\ Displaystyle V _ {\ lambda}}$ aby istniała przestrzeń wagowa rad ${\ Displaystyle \ operatorname {rad} ({\ mathfrak {g}})$ . W kroku 4 dowodu twierdzenia Liego ${\ Displaystyle V _ {\ lambda}}$ jest również ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ - moduł; więc ${\ Displaystyle V = V _ {\ lambda}}$ . ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ pi (X)) = \ dim (V) \ lambda (X)}$ szczególności $)$ , . λ $, {\ mathfrak {g$$\ Displaystyle \ lambda}$ do liniowego funkcjonału na , który znika na $] {\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}$ ; ${\ Displaystyle \ lambda}$ jest zatem jednowymiarową reprezentacją ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ . Teraz ${\ Displaystyle (\ pi, V) \ simeq (\ pi, V) \ otimes (- \ lambda) \ otimes \ lambda}$ . Ponieważ ${\ Displaystyle \ pi}$ zbiega się z ${\ Displaystyle \ lambda}$ na ${\ Displaystyle \ operatorname {rad} ({\ mathfrak {g}})}$ , mamy to ${\ Displaystyle V \ otimes (- \ lambda)}$ jest trywialne na ${\ Displaystyle \ operatorname {rad} ({\ mathfrak {g}})},$ a zatem jest ograniczeniem (prostej) reprezentacji ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / \ operatorname {rad} ({\mathfrak {g}})}$ . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Zobacz też

• Twierdzenie Engela , które dotyczy nilpotentnej algebry Liego .
• Twierdzenie Lie-Kolchina , które dotyczy (połączonej) rozwiązywalnej liniowej grupy algebraicznej.

Źródła

•     Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Podyplomowe teksty z matematyki , Lektury z matematyki. Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . MR 1153249 . OCLC 246650103 .
•   Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
•   Jacobson, Nathan , algebry Liego , republikacja oryginału z 1962 roku. Dover Publications, Inc., Nowy Jork, 1979. ISBN 0-486-63832-4
•   Jean-Pierre Serre: Złożone półproste algebry kłamstw , Springer, Berlin, 2001. ISBN 3-5406-7827-1