Kryterium Cartana

W matematyce kryterium Cartana daje warunki, aby algebra Liego o charakterystyce 0 była rozwiązywalna , co implikuje pokrewne kryterium , aby algebra Liego była półprosta . Opiera się na pojęciu formy zabijania , symetrycznej postaci dwuliniowej zdefiniowanej wzorem ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle B (u, v) = \ nazwa operatora {TR} (\ nazwa operatora {reklama} (u) \ nazwa operatora {reklama } (v)),}$

gdzie tr oznacza ślad operatora liniowego . Kryterium to wprowadził Élie Cartan ( 1894 ).

Kryterium rozwiązalności Cartana

Kryterium Cartana dla stanów rozstrzygalności:

A Lie subalgebra ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ endomorfizmów skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej nad polem charakterystycznym zero jest rozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ operatorname {tr } (ab)=0}$ ilekroć ${\ Displaystyle a \ w {\ mathfrak {g}}, b \ w [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}].}$

Fakt, że $= {\ Displaystyle \ operatorname {tr} (ab) = 0}$ rozwiązywalnym przypadku wynika z twierdzenia Liego , które umieszcza ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ w górnym trójkącie nad algebraicznym domknięciem pola podłoża (ślad można obliczyć po rozszerzeniu pola podłoża). Odwrotność można wywnioskować z kryterium nilpotencji opartego na rozkładzie Jordana-Chevalleya (dla dowodu kliknij link).

Zastosowanie kryterium Cartana do reprezentacji sprzężonej daje:

Skończenie-wymiarowa algebra Lie $jest$ polu charakterystycznego zera rozwiązywalna wtedy i tylko wtedy, gdy K. $\ Displaystyle K ({\ mathfrak { g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0}$ (gdzie K to forma zabijania).

Kryterium Cartana dla półprostoty

Kryterium Cartana dla stanów półprostoty:

Skończenie-wymiarowa algebra Liego $,$ polu charakterystycznego zera jest półprosta wtedy i tylko wtedy gdy forma zabijania nie jest zdegenerowana .

Jean Dieudonné ( 1953 ) dał bardzo krótki dowód na to, że jeśli skończenie wymiarowa algebra Liego (w dowolnej charakterystyce) ma niezdegenerowaną, niezmienną postać dwuliniową i nie ma niezerowych ideałów abelowych, a w szczególności, jeśli jej forma Killinga jest niezdegenerowana , to jest sumą prostych algebr Liego.

I odwrotnie, z kryterium rozwiązywalności Cartana łatwo wynika, że ​​algebra półprosta (o charakterystyce 0) ma niezdegenerowaną formę Killinga.

Przykłady

Kryteria Cartana zawodzą w charakterystycznych cechach ${\ displaystyle p> 0}$ ; Na przykład:

• p ${\ Displaystyle \ operatorname {SL} _ {p} (k)} jest prosta$ jeśli k ma charakterystykę inną niż 2 i znikającą postać zabijania, chociaż ma niezerową niezmienną postać dwuliniową określoną przez ${\ Displaystyle (a, b) = \ operatorname {tr} (ab)}$ .
• algebra Liego z podstawą ${$$\ Displaystyle n \ w \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ i [ a _ja , a _j ] $ale nie$ ( ja - jot ) za _{ja + jot} jest prosty dla , niezerowej niezmiennej postaci dwuliniowej
• Jeśli k ma cechę 2, to iloczyn półprosty gl ₂ ( k ). k ² jest rozwiązywalną algebrą Liego, ale postać Killinga nie jest identycznie zerem w jej pochodnej algebrze sl ₂ ( k ). k ² .

Jeśli skończenie wymiarowa algebra Liego jest nilpotentna, to forma Killinga jest identycznie zerowa (a bardziej ogólnie forma Killinga znika na każdym ideale nilpotentnym). Odwrotność jest fałszywa: istnieją algebry Liego, które nie są nilpotentne, których forma Killinga znika. Przykładem jest półprosty iloczyn abelowej algebry Liego V z jednowymiarową algebrą Liego działającą na ^V jako endomorfizm b taki, że b nie jest nilpotentne i Tr( b2 )=0.

W charakterystyce 0 każda redukcyjna algebra Liego (taka, która jest sumą abelowych i prostych algebr Liego) ma niezdegenerowaną niezmienną symetryczną postać dwuliniową. Jednak odwrotność jest fałszywa: algebra Liego z niezmienną niezmienną symetryczną postacią dwuliniową nie musi być sumą prostych i abelowych algebr Liego. Typowym kontrprzykładem jest G = L [ t ]/ t ⁿ L [ t ], gdzie n > 1, L jest prostą zespoloną algebrą Liego o postaci dwuliniowej (,), a postać dwuliniowa na G jest dana przez przyjęcie współczynnika t ^{n −1} postaci dwuliniowej o wartości C [ t ] na G indukowanej przez postać na L . Forma dwuliniowa jest niezdegenerowana, ale algebra Liego nie jest sumą prostych i abelowych algebr Liego.

Notatki

• Cartan, Élie (1894), Sur la structure des groupes de transforms finis et continus , Thesis, Nony
•     Dieudonné, Jean (1953), „O półprostych algebrach Liego”, Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (6): 931–932, doi : 10.2307/2031832 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031832 , MR 0059262
•    Serre, Jean-Pierre (2006) [1964], Algebry Liego i grupy Liego , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1500, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70634-2 , ISBN 978-3-540-55008-2 , MR 2179691

Zobacz też

• Modułowa algebra Liego