Algebra Nilpotentnego Liego

W matematyce algebra Liego jest nilpotentna $, jeśli jej dolny szereg środkowy kończy się$ zerowej podalgebrze. Dolny szereg środkowy to ciąg podalgebr

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ geq [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}] \ geq [{\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ \mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq . ..}$

Piszemy ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {g}}}$ i ${\ displaystyle {\ mathfrak {g} } _ {n} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}} _ {n-1}]}$ dla wszystkich ${\ displaystyle n> 0}$ . Jeśli dolny szereg centralny ostatecznie dotrze do zerowej podalgebry, wówczas algebrę Liego nazywa się nilpotentną. Dolny szereg centralny w algebrach Liego jest analogiczny do dolnego szeregu centralnego w teoria grup i nilpotentne algebry Liego są analogami grup nilpotentnych .

Nilpotentne algebry Liego to dokładnie te, które można otrzymać z abelowych algebr Liego poprzez kolejne rozszerzenia centralne .

Należy zauważyć, że definicja oznacza, że ​​postrzegana jako nieasocjacyjna, niejednostkowa algebra, algebra Liego $,$ jeśli jest nilpotentna jako ideał.

Definicja

Niech $będzie$ algebrą Liego . $szereg$ mówi, że jest nilpotentny , jeśli dolny centralny kończy się, tj. jeśli dla pewnego ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {n} = 0}$

Wyraźnie to oznacza

$\ displaystyle [X_ {1}, [X_ {2}, [\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_ {n}}Y=0}$

${\ Displaystyle \ forall X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, Y \ in {\ mathfrak {g}}, \ qquad (1 )}$

więc reklama _{X 1} reklama _{X 2} ⋅⋅⋅ reklama _{X n} = 0 .

Równoważne warunki

Bardzo szczególną konsekwencją (1) jest to, że

${\ Displaystyle [X, [X, [\ cdots [X, Y] \ cdots ] = {\ operatorname {ad} _ {X}} ^ {n} Y \ in {\ mathfrak {g}} _ {n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)}$

for all Zatem ( _X ) ⁿ = 0 ad $X\in {\mathfrak {g}}$ad_X is a nilpotent endomorphism in the usual sense of linear endomorphisms (rather than of Lie algebras). We call such an element x in ${\mathfrak {g}}$ ad-nilpotent.

Co ciekawe, jeśli $displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ skończony wymiarowo, pozornie znacznie słabszy warunek (2) jest w rzeczywistości równoważny (1), jak stwierdzono przez sol {\

Twierdzenie Engela : Skończenie wymiarowa algebra Liego $}$ nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy są ad-nilpotentne, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}$

czego nie będziemy tutaj udowadniać.

Nieco łatwiejszy równoważny warunek nilpotencji jest nilpotentny wtedy i tylko wtedy, gdy za $\ displaystyle {\ mathfrak {$${\ displaystyle$${\ mathfrak {g}}}:$ sol jest nilpotentny (jako algebra Liego). Aby to zobaczyć, najpierw zauważ, że (1) implikuje, że jest nilpotentny, ponieważ rozwinięcie an ( n - 1) za $}}$ -fold zagnieżdżony nawias będzie składał się z terminów w postaci (1). Odwrotnie, można pisać

${\ Displaystyle [[\ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], \ cdots, X_ {2}], X_ {1}] = \ operatorname {ad} [\ cdots [X_ {n}, X_{n-1}],\cdots,X_{2}](X_{1}),}$

a ponieważ ad jest homomorfizmem algebry Liego,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {ad} [\ cdots [X_ {n}, X_ {n-1}], \ cdots, X_ {2}] i = [\ operatorname {ad} [\ cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad } _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}}$

Jeśli $,$ nilpotentny ostatnie wyrażenie wynosi zero dla wystarczająco dużego odpowiednio pierwsze. Ale to implikuje (1), więc $nilpotentny$ .

Ponadto skończenie wymiarowa algebra Liego jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zstępujący łańcuch ideałów. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g} }_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ tak, że ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}} _ {i}] \ podzbiór {\ mathfrak {g}} _ {i + 1}}$ .

Przykłady

Ściśle górne macierze trójkątne

Jeśli jest zbiorem macierzy k × k z wpisami w , ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (k,$$mathbb {R})$ } wówczas podalgebra składająca się z macierzy ściśle górnych trójkątnych jest nilpotentną algebrą Liego.

Algebry Heisenberga

Algebra Heisenberga jest nilpotentna. Na przykład w wymiarze 3 komutator dwóch macierzy

${\ Displaystyle \ lewo [{\ początek {bmatrix} 0 i a i b \\ 0 i 0 i c \\ 0 i 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}, {\ początek {bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

gdzie za $\ displaystyle a''=ac'-a'c$ }

Podalgebry Cartana

Podalgebra Cartana $algebry$$jest$ i samonormalizująca się strona ⁸⁰ . Warunek samonormalizujący jest równoważny byciu normalizatorem algebry Liego. Oznacza to ${\ Displaystyle {\ mathfrak {c}} = N _ {\ mathfrak {l}} ({\ mathfrak {c}}) = \ {x \ in {\ mathfrak {l}}: [x, c] \ podzbiór {\mathfrak {c}}{\text{for }}c\in {\mathfrak {c}}\}}$ . Obejmuje to górne macierze trójkątne $( n )$ wszystkie macierze diagonalne w ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n)}$$mathfrak {t}} (n$ .

Inne przykłady

0 Jeśli algebra Liego ma automorfizm $okresu$ pierwszego bez stałych punktów z wyjątkiem to $nilpotentna$ .

Nieruchomości

Nilpotentne algebry Liego są rozwiązywalne

Każda nilpotentna algebra Liego jest rozwiązywalna . Jest to przydatne w udowadnianiu rozwiązywalności algebry Liego , ponieważ w praktyce zwykle łatwiej jest udowodnić nilpotencję (jeśli jest spełniona!) niż rozwiązywalność. Jednak ogólnie rzecz biorąc, odwrotność tej właściwości jest fałszywa. Na przykład podalgebra z górnych macierzy trójkątnych, mathbb b $( k , R ) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}}$ \ ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} (k, \ mathbb {R})}$ jest rozwiązywalny, ale nie ma mocy.

Podalgebry i obrazy

Jeśli algebra Liego $nilpotentna$ , wówczas wszystkie podalgebry i obrazy homomorficzne są nilpotentne.

Nilpotencja ilorazu przez środek

Jeśli algebra ilorazowa $}$ gdzie $displaystyle Z ({\ mathfrak$ jest środkiem , jest $nilpotentny$ , to też jest $\ mathfrak {g}}}$ \ displaystyle Oznacza to, że centralne przedłużenie nilpotentnej algebry Liego przez nilpotentną algebrę Liego jest nilpotentne.

Twierdzenie Engela

Twierdzenie Engela : Skończenie wymiarowa algebra Liego $, gdy$$wszystkie$ elementy są ad-nilpotentne.

Forma Zero Killingu

0 Zabójcza forma nilpotentnej algebry Liego to .

Mają zewnętrzne automorfizmy

Nilpotentna algebra Liego ma automorfizm zewnętrzny , to znaczy automorfizm, który nie jest podobny do Ad.

Pochodne podalgebry rozwiązywalnych algebr Liego

Wyprowadzona podalgebra skończonej wymiarowo rozwiązywalnej algebry Liego na polu o charakterystyce 0 jest nilpotentna.

Zobacz też

• Rozwiązywalna algebra Liego

Notatki

•    Fulton, W .; Harris, J. (1991). Teoria reprezentacji. Pierwszy kurs . Teksty magisterskie z matematyki . Tom. 129. Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6 . MR 1153249 .
•   Humphreys, James E. (1972). Wprowadzenie do algebr Liego i teorii reprezentacji . Teksty magisterskie z matematyki. Tom. 9. Nowy Jork: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 .
•   Knapp, AW (2002). Grupy kłamstw wykraczające poza wprowadzenie . Postęp w matematyce. Tom. 120 (wyd. 2). Boston·Bazylea·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5 .
•   Serre, Jean-Pierre (2000), Algèbres de Lie semi-simples complexes [ Złożone półsimple Lie Algebras ], przetłumaczone przez Jones, GA, Springer, ISBN 978-3-540-67827-4 .