Mapa wykładnicza (teoria kłamstw)

Aby zapoznać się z mapą wykładniczą z podzbioru przestrzeni stycznej rozmaitości riemannowskiej do rozmaitości, zobacz Mapa wykładnicza (geometria riemannowska) .

W teorii grup Liego mapa wykładnicza jest mapą z ${\ mathfrak {g}}}$ Liego grupy Liego ${\ displaystyle$ grupy, która pozwala na odzyskanie lokalnego sol struktura grupowa z algebry Liego. Istnienie mapy wykładniczej jest jednym z głównych powodów, dla których algebry Liego są użytecznym narzędziem do badania grup Liego.

Zwykła funkcja wykładnicza analizy matematycznej jest szczególnym przypadkiem mapy wykładniczej, gdy jest multiplikatywną grupą dodatnich liczb rzeczywistych (których algebra $Liego jest$ addytywną wszystkich liczb rzeczywistych). Wykładnicza mapa grupy Liego spełnia wiele właściwości analogicznych do zwykłej funkcji wykładniczej, jednak różni się również pod wieloma ważnymi względami.

Definicje

Niech będzie grupą Liego $i$ będzie $jej$ algebrą Liego traktowaną jako przestrzeń styczna do elementu tożsamości $displaystyle G}$ ). Mapa wykładnicza jest mapą

${\ Displaystyle \ exp \ dwukropek {\ mathfrak {g}} \ do G$

które można zdefiniować na kilka różnych sposobów. Typowa współczesna definicja jest następująca:

Definicja : Wykładniczy z ${\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}}}$ jest określony przez ${\ Displaystyle \ exp (X) = \ gamma (1)}$ gdzie

${\ Displaystyle \ gamma \ okrężnica \ mathbb {R} \ do G}$

jest unikalną jednoparametrową podgrupą $Displaystyle$ której wektor styczny przy tożsamości jest równy $X } }$ .

reguły łańcuchowej łatwo wynika , że ${\ Displaystyle \ exp (tX) = \ gamma (t)}$ . Mapę można skonstruować jako integralną krzywą pola wektorowego niezmiennego w prawo lub w lewo, $związanego$ z $\ displaystyle X}$ . To, że krzywa całkowa istnieje dla wszystkich parametrów rzeczywistych, wynika z przesunięcia rozwiązania w prawo lub w lewo w pobliżu zera.

Bardziej konkretną definicję mamy w przypadku macierzowej grupy Liego . Mapa wykładnicza pokrywa się z macierzą wykładniczą i jest dana przez rozwinięcie szeregu zwykłego:

${\ Displaystyle \ exp (X) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {X ^ {k}}} {k !}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$ ,

gdzie $tożsamości$ macierzą . _ Tak więc, przy ustawianiu grup ${\ displaystyle G$ macierzy, mapa wykładnicza jest ograniczeniem macierzy wykładniczej do algebry Liego z sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ sol }

Porównanie z mapą wykładniczą Riemanna

Jeśli G jest zwarty, ma niezmiennik metryki riemannowskiej przy translacjach w lewo i w prawo, a wykładnicza mapa teorii kłamstw dla G pokrywa się z wykładniczą mapą tej metryki riemannowskiej .

Dla ogólnego G nie będzie istniał niezmiennik metryczny Riemanna zarówno przy translacji lewej, jak i prawej. Chociaż zawsze istnieje niezmiennik metryki Riemanna pod, powiedzmy, lewostronnymi translacjami, mapa wykładnicza w sensie geometrii Riemanna dla metryki niezmiennej w lewo na ogół nie będzie zgadzać się z mapą wykładniczą w sensie grupy Liego. To znaczy, jeśli G jest grupą Liego wyposażoną w metrykę niezmienną w lewo, ale nie w prawo, geodezja poprzez tożsamość nie będzie jednoparametrowymi podgrupami G .

Inne definicje

Inne równoważne definicje wykładniczej grupy Liego są następujące:

• Jest to wykładnicza mapa kanonicznego lewostronnie niezmiennego połączenia afinicznego na G , tak że transport równoległy jest zapewniony przez translację w lewo. To znaczy ${\ Displaystyle \ exp (X) = \ gamma (1)}$$gdzie$ jest unikalnym z punktem początkowym na elemencie tożsamości i prędkość początkowa X (traktowana jako wektor styczny).
• Jest to wykładnicza mapa kanonicznego prawostronnie niezmiennego połączenia afinicznego na G . Zwykle różni się to od kanonicznego połączenia niezmienniczego w lewo, ale oba połączenia mają tę samą geodezję (orbity podgrup 1-parametrowych działających przez mnożenie w lewo lub w prawo), więc dają tę samą mapę wykładniczą.
• Korespondencja grupa $}$ - Liego definicję: dla w jest $}$ unikalny homomorfizm grupy Liego odpowiadający homomorfizmowi algebry Liego ${\ Displaystyle t \ mapsto tX.}$ (uwaga: ${\ Displaystyle \ operatorname {Kłamstwo} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {R}}$ .)

Przykłady

• Okrąg jednostkowy wyśrodkowany w 0 na płaszczyźnie zespolonej to grupa Liego (zwana grupą kołową ), której przestrzeń styczną w 1 można utożsamić z wyimaginowaną linią na płaszczyźnie zespolonej ${\ Displaystyle \ {it: t \ in \ mathbb {R} \}.}$ Mapa wykładnicza dla tej grupy kłamstw jest dana przez

${\ Displaystyle to \ mapsto \ exp (it) = e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t), \,} to znaczy ta sama formuła, co$

zwykły złożony wykładniczy .

• Bardziej ogólnie, dla złożonego torusa ^{pg 8} ${\ Displaystyle X = \ mathbb {C} ^ {n} / \ Lambda}$ dla pewnej sieci całkowej ${\ Displaystyle \ Lambda}$ rangi ${\ Displaystyle n }$ (tak izomorficzny $)$ torus jest wyposażony w uniwersalną mapę pokrycia

${\ Displaystyle \ pi: \ mathbb {C} ^ {$

z ilorazu przez kratę. Ponieważ jest lokalnie izomorficzny z $\$ { \ displaystyle $T_$$X} , do X$ X i mapa

${\ Displaystyle \ pi: T_ {0} X \ do X}$

odpowiada mapie wykładniczej dla złożonej grupy Lie ${\ displaystyle X}$ .

• W kwaternionach zbiór kwaternionów o jednostkowej długości tworzy grupę Liego (izomorficzną ze specjalną jednostkową grupą SU (2) ), której przestrzeń styczną w 1 można utożsamiać z przestrzenią czysto H {\ displaystyle \ mathbb {H $}$ urojone czwartorzędy, ${\ Displaystyle \ {it + ju + kv: t, u, v \ in \ mathbb {R} \}.} Mapa$ wykładnicza dla tej grupy Lie jest dana przez

${\ Displaystyle \ mathbf {w}: = (it + ju + kv) \ mapsto \ exp (it + ju + kv) = \ cos (|\ mathbf {w} |) 1 + \ sin (|\ mathbf {w } |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Ta mapa przenosi 2-sferę o promieniu R wewnątrz czysto urojonych kwaternionów do ${\ Displaystyle \ {s \ w S ^ {3} \ podzbiór \ mathbf {H}: \ operatorname {Re} (s) = \ cos (R) \} }$ , 2-kula o promieniu ${\ Displaystyle \ sin (R)}$ (por. Wykładniczy wektora Pauliego ). Porównaj to z pierwszym przykładem powyżej.

• Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową o skończonych wymiarach i potraktuj ją jako grupę Liego działającą na zasadzie dodawania wektorów. Następnie ${\ Displaystyle \ operatorname {Lie} (V) = V}$ poprzez identyfikację V z jego przestrzenią styczną w 0 i mapę wykładniczą

${ \ displaystyle \ operatorname {exp}: \ operatorname {Lie} (V) = V \ do V}$

to mapa tożsamości, to znaczy ${\ Displaystyle \ exp (v) = v}$ .

• W płaszczyźnie liczb zespolonych podzielonego z $\ Displaystyle z = x + y \ jmath, \ quad \ jmath ^ {2} = + 1,}$ wyimaginowana linia ${\ Displaystyle \ lbrace \ jmath t: t \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$ tworzy algebrę Lie grupy hiperboli jednostkowej ${\ displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ponieważ odwzorowanie wykładnicze jest określone wzorem

${\ Displaystyle \ jmath t \ mapsto \ exp (\ jmath t) = \ cosh t + \ jmath \ \ sinh t.}$

Nieruchomości

Elementarne własności potęgi wykładniczej

${$ sol {\ Displaystyle X \ w {\ mathfrak {g}}} mapa jest $\$ Displaystyle unikalna jednoparametrowa podgrupa $}$ której wektor styczny przy tożsamości wynosi ${\ displaystyle X$ . Wynika, że:

• ${\ Displaystyle \ exp ((t + s) X) = \ exp (tX) \ exp (sX) \,}$
• ${\ Displaystyle \ exp (-X) = \ exp (X) ^ {- 1}. \,}$

Bardziej ogólnie:

• ${\ Displaystyle \ exp (X + Y) = \ exp (X) \ exp (Y), \ quad {\text{jeśli}}[X,Y]=0}$ .

Ważne jest, aby podkreślić, że poprzednia tożsamość nie obowiązuje w ogólności; założenie, że $dojazdy$ dojazdy $ważne$ .

Obraz mapy wykładniczej zawsze leży w składniku tożsamości sol. $\ displaystyle G}$ .

Wykładniczy w pobliżu tożsamości

Wykładnicza mapa ${\ displaystyle \ exp \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ do G}$ jest gładką mapą . Jego różniczka na zero, ${\ Displaystyle \ exp _ {*} \ okrężnica {\ mathfrak {g}} \ do {\ mathfrak {g}}}$ , to mapa tożsamości (ze zwykłymi identyfikacjami) .

Z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika, że ​​mapa wykładnicza ogranicza się zatem do dyfeomorfizmu od pewnego sąsiedztwa do sąsiedztwa 1 w $}$$displaystyle {\ mathfrak {$ }

Nie jest więc trudno pokazać, że jeśli G jest spójny, każdy element g z G jest iloczynem wykładników elementów z ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ : ${\ Displaystyle g = \ exp (X_ {1}) \ exp (X_ {2}) \ cdots \ exp (X_ {n}), \ quad X_ {j}\w {\mathfrak {g}}}$ .

Globalnie mapa wykładnicza niekoniecznie jest suriektywna. Ponadto mapa wykładnicza może nie być lokalnym dyfeomorfizmem we wszystkich punktach. Na przykład mapa wykładnicza od $;$ ) do SO (3) nie jest lokalnym dyfeomorfizmem zobacz także miejsce cięcia w przypadku tego niepowodzenia. Zobacz pochodną mapy wykładniczej, aby uzyskać więcej informacji.

Suriektywność wykładnicza

W tych ważnych szczególnych przypadkach wiadomo, że mapa wykładnicza jest zawsze suriektywna:

• G jest spójny i zwarty,
• G jest spójny i nilpotentny (na przykład G spójny i abelowy) oraz
• ${\ Displaystyle G = GL_ {n} (\ mathbb {C})}$ .

W przypadku grup niespełniających żadnego z powyższych warunków mapa wykładnicza może być suriektywna lub nie.

Obraz mapy wykładniczej połączonej, ale niezwartej grupy SL ₂ ( R ) nie przedstawia całej grupy. Jego obraz składa się z C -diagonalizowalnych macierzy o wartościach własnych dodatnich lub z modułem 1 oraz macierzy niediagonalizowalnych o powtarzającej się wartości własnej $macierzy$ . (Zatem obraz wyklucza macierze z rzeczywistymi, ujemnymi wartościami własnymi, innymi niż ${\ displaystyle -I}$ .)

Mapa wykładnicza i homomorfizmy

Niech $Liego$ homomorfizmem $_$ i pochodną przy Następnie następujący diagram komutuje :

W szczególności, po zastosowaniu do połączonego działania grupy kłamstw $}$ ponieważ ${\ displaystyle \ operatorname {reklama} _ {*} = \ operatorname {reklama}}$ , mamy użyteczną tożsamość sol {\ displaystyle G :

${\ Displaystyle \ operatorname {Reklama} _ {\ exp X} (Y) = \ exp (\ operatorname {reklama} _ {X}) (Y) = Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y] ]]+\cdots}$ .

Współrzędne logarytmiczne

Biorąc pod uwagę grupę kłamstw z algebrą kłamstw sol $\ displaystyle$${\ mathfrak {g}}}$ , każdy wybór podstawy ${n}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ kropki,$ of określa układ współrzędnych w pobliżu elementu tożsamości $e$ G w następujący sposób. Zgodnie z twierdzeniem o funkcji odwrotnej mapa wykładnicza ${\ Displaystyle \ operatorname {exp}: N {\ overset {\ sim} {\ do}} U}$ jest dyfeomorfizmem z pewnego sąsiedztwa $} ^ {n}}$${\ Displaystyle e \ w G}$ pochodzenia do sąsiedztwa ${\ Displaystyle U}$ mi . Jego odwrotność:

${\ Displaystyle \ log: U {\ overset {\ sim} {\ do}} N \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$

jest wtedy układem współrzędnych na U . Nazywa się to różnymi nazwami, takimi jak współrzędne logarytmiczne, współrzędne wykładnicze lub współrzędne normalne. Zobacz twierdzenie o zamkniętej podgrupie, aby zobaczyć przykład, w jaki sposób są one używane w aplikacjach.

Uwaga : Otwarta okładka $g \ in G \}}$ | daje strukturę rozmaitości realnie analitycznej G taką, że operacja grupowa ${\ Displaystyle (g, h)\mapsto gh^{-1}}$ jest analizą rzeczywistą.

Zobacz też

• Lista tematów wykładniczych
• Pochodna mapy wykładniczej
• Wykładnicza macierz

Prace cytowane

•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666 .
•    Helgason, Sigurdur (2001), Geometria różniczkowa, grupy Liego i przestrzenie symetryczne , Graduate Studies in Mathematics , tom. 34, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2848-9 , MR 1834454 .
•   Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Podstawy geometrii różniczkowej , tom. 1 (nowe wydanie), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 .
• „Mapowanie wykładnicze” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]