Wektor styczny

Aby zapoznać się z bardziej ogólnym, ale bardziej technicznym podejściem do wektorów stycznych, zobacz Przestrzeń styczna .

W matematyce wektor styczny jest wektorem stycznym do krzywej lub powierzchni w danym punkcie . Wektory styczne są opisane w geometrii różniczkowej krzywych w kontekście krzywych w R ⁿ . Mówiąc bardziej ogólnie, wektory styczne są elementami przestrzeni stycznej rozmaitości różniczkowalnej . Wektory styczne można również opisać za pomocą zarazków . Formalnie wektor styczny w punkcie jest liniowym wyprowadzeniem algebry zdefiniowanej przez zbiór zarazków w $x}$$displaystyle$ .

Motywacja

Zanim przejdziemy do ogólnej definicji wektora stycznego, omówimy jego zastosowanie w rachunku różniczkowym i jego właściwości tensorowe .

Rachunek różniczkowy

Niech będzie parametryczną gładką krzywą ${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ . Wektor styczny jest określony przez $aby$ gdzie użyliśmy liczby pierwszej zamiast zwykłej kropki, t . Jednostkowy wektor styczny jest określony przez

$${\ Displaystyle \ mathbf {T} (t) = {\ Frac {\ mathbf {r} '(t)}} {|\ mathbf {r} '(t) |}} \,.}$$

Przykład

Biorąc pod uwagę krzywą

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ lewo \ {\ lewo (1 + t ^ {2 },e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}$$

w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ jednostkowy wektor styczny w ${\ displaystyle t = 0}$ jest określony przez R 3 {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

$${\ Displaystyle \ mathbf {T} (0) = {\ Frac {\ mathbf {r} '(0)} {\|\ mathbf {r} '(0) \|}} = \ lewo. {\ frac { (2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{ t=0}=(0,1,0)\,.}$$

Kontrawariancja

Jeśli $x$ podane parametrycznie w n -wymiarowym układzie współrzędnych ja ^przez użyliśmy indeksów górnych jako indeksu zamiast zwykłego indeksu dolnego { $n} (t))}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = x ^ {i} = x ^ {i} (t), \ quad a \ równoważnik t \ równoważnik b \,,}$$

wtedy styczne pole wektorowe jest określone przez ${\ Displaystyle \ mathbf {T} = T ^ {i}}$

$${\ Displaystyle T ^ {i} = {\ Frac {dx ^ {i}} {dt}} \,.}$$

Pod zmianą współrzędnych

$${\ Displaystyle u ^ {i} = u ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, \ldots ,x^{n}),\quad 1\równik i\równik n}$$

wektor styczny w układzie współrzędnych u ja ^jest określony przez ${\ Displaystyle {\ bar {\ mathbf {T}}} = {\ bar {T}} ^ {i}}$

$${\ Displaystyle {\ bar {T}} ^ {i} = {\ Frac {du ^{i}}{dt}}={\frac {\częściowe u^{i}}{\częściowe x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{ s} {\ frac {\ częściowe u ^ {i}}{\ częściowe x ^ {s}}}}$$

gdzie zastosowaliśmy konwencję sumowania Einsteina . Dlatego wektor styczny gładkiej krzywej przekształci się jako kontrawariantny tensor rzędu jeden przy zmianie współrzędnych.

Definicja

Niech $}$$}$ będzie funkcją różniczkowalną i niech wektorem w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Definiujemy pochodną kierunkową w kierunku w punkcie przez $n$${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {$ }

$${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} f (\ mathbf {x}) = \ lewo. {\ Frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}) \right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\częściowe f}{\częściowe x_{i}}}(\mathbf {x} ) \,.}$$

Wektor styczny w punkcie można zatem zdefiniować jako ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {v} (f (\ mathbf {x}}) \ równoważnik (\ nabla _ {\ mathbf {v}} (f)} (\ mathbf {x}) \,.}$$

Nieruchomości

Niech ${\ Displaystyle f, g: \ mathbb {R} ^ {n} \ do \ mathbb {R}}$ będą funkcjami różniczkowalnymi, niech ${\ Displaystyle \ mathbf {v} , \mathbf {w}}$ być wektorami stycznymi w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ w ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ i niech ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ . Następnie

1. ${\ Displaystyle (a \ mathbf {v} + b \ mathbf {w}) (f) = a \ mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)}$
2. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (af + bg) = a \ mathbf {v} (f) + b \ mathbf {v} (G)}$
3. ${\ Displaystyle \ mathbf {v} (fg) = f (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (g) + g (\ mathbf {x}) \ mathbf {v} (f) \,.}$

Wektor styczny na rozmaitościach

Niech będzie $wartościach$$rozmaitością$ i niech rzeczywistych na $M}$ . Wtedy wektor styczny do $M) \ strzałka w prawo \mathbb {R} }$ w rozmaitości jest dany przez R $($$:$ który będzie liniowy - tj. dla dowolnego ${\ Displaystyle f, g \ w A (M)}$ i ${\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb {R}}$ mamy

${\ Displaystyle D_ {v} (af + bg) = aD_ {v} (f) + bD_ {v} (g) \,.}$

Zauważ, że wyprowadzenie będzie z definicji miało właściwość Leibniza

${\ Displaystyle D_ {v} (f \ cdot g) (x) = D_ {v} (f) (x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot D_ {v} (g) (x) \,.}$

Zobacz też

• Krzywa różniczkowalna § Wektor styczny
• Powierzchnia różniczkowalna § Płaszczyzna styczna i wektor normalny

Bibliografia

• Gray, Alfred (1993), Nowoczesna geometria różniczkowa krzywych i powierzchni , Boca Raton: CRC Press .
• Stewart, James (2001), Rachunek różniczkowy: koncepcje i konteksty , Australia: Thomson/Brooks/Cole .
• Kay, David (1988), Schaums Zarys teorii i problemów rachunku tensorowego , Nowy Jork: McGraw-Hill .