Grupa konformalna

W matematyce grupa konforemna wewnętrznej przestrzeni iloczynu to grupa przekształceń z przestrzeni do siebie, które zachowują kąty. Bardziej formalnie jest to grupa przekształceń, które zachowują konforemną geometrię przestrzeni.

Szczególnie ważnych jest kilka określonych grup konforemnych:

• Konforemna grupa ortogonalna . Jeśli V jest przestrzenią wektorową o postaci kwadratowej Q , to konforemna grupa ortogonalna CO( V , Q ) jest grupą przekształceń liniowych T z V , dla których istnieje skalar λ taki, że dla wszystkich x w V

  ${\ Displaystyle Q (Tx) = \ lambda ^ {2} Q (x)}$

Dla określonej postaci kwadratowej konforemna grupa ortogonalna jest równa grupie ortogonalnej pomnożonej przez grupę dylatacji .

• Grupa konforemna sfery jest generowana przez inwersje w okręgach . Ta grupa jest również znana jako grupa Möbiusa .
• W przestrzeni euklidesowej E ⁿ , n > 2 grupa konforemna jest generowana przez inwersje w hipersferach .
• W przestrzeni pseudoeuklidesowej E ^{p , q} , grupą konforemną jest Conf( p , q ) ≃ O( p + 1, q + 1) / Z ₂ .

Wszystkie grupy konforemne są grupami Liego .

Analiza kąta

W geometrii euklidesowej można oczekiwać, że charakterystyczny będzie standardowy kąt kołowy, ale w przestrzeni pseudoeuklidesowej występuje również kąt hiperboliczny . W badaniu szczególnej teorii względności różne układy odniesienia, dla różnych prędkości w stosunku do układu spoczynkowego, są powiązane przez prędkość , kąt hiperboliczny. Jednym ze sposobów opisania przyspieszenia Lorentza jest obrót hiperboliczny , który zachowuje kąt różnicowy między prędkościami. Są to zatem przekształcenia konforemne względem kąta hiperbolicznego.

Metodą generowania odpowiedniej grupy konforemnej jest naśladowanie kroków grupy Möbiusa jako grupy konforemnej zwykłej płaszczyzny zespolonej . Geometria pseudoeuklidesowa jest obsługiwana przez alternatywne płaszczyzny zespolone, w których punkty są liczbami zespolonymi podzielonymi lub liczbami podwójnymi . Tak jak grupa Möbiusa wymaga sfery Riemanna , zwartej przestrzeni , do pełnego opisu, tak alternatywne płaszczyzny zespolone wymagają zagęszczenia do pełnego opisu odwzorowania konforemnego. Niemniej jednak grupa konforemna w każdym przypadku jest dana przez liniowe przekształcenia ułamkowe na odpowiedniej płaszczyźnie.

Definicja matematyczna

Biorąc pod uwagę a ( Pseudo -) rozmaitość Riemanna $\ Displaystyle$ klasą konforemną $[g]}$ , grupa konforemna ${\ Displaystyle {\ tekst {Conf}} (M)}$ jest grupa map konforemnych od $siebie$ .

Mówiąc dokładniej, jest to grupa gładkich map zachowujących kąt od $do$ siebie. Jednakże, gdy podpis nie jest określony, „kąt” jest $,$ -kątem który jest potencjalnie

W przypadku przestrzeni pseudoeuklidesowej definicja jest nieco inna. ${\ Displaystyle {\ tekst {Conf}} (p, q)}$ jest konforemną grupą rozmaitości wynikającą z konforemnego zagęszczenia przestrzeni pseudoeuklidesowej ${\ displaystyle \ mathbf {E } ^ {p, q}}$ (czasami identyfikowane z ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$ po wyborze podstawy ortonormalnej ). To konforemne zagęszczenie można zdefiniować za pomocą ${R} ^ {p + 1, q + 1}}$$jako podrozmaitość$ zerowych w $\$ przez włączenie $mathbf {t})}$${\ Displaystyle (\ mathbf {x}, \ mathbf {t}) \ mapsto X = (\ mathbf {x},$$.$ (gdzie jest uważany za pojedynczy wektor czasoprzestrzenny) Zwartość konforemna jest wtedy $„$ antypodalnymi Dzieje się to poprzez rzutowanie przestrzeni ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p + 1, q + 1}}$ . ${\ Displaystyle N ^ {p, q}}$ jest zwartością konforemną, to Conf ${\ Displaystyle {\ tekst {Conf}} (p, q):={\text{Konferencja}}(N^{p,q})}$ . $q}}$ szczególności ta grupa obejmuje q { Displaystyle ${$$} ^ {$ do siebie, ponieważ odwzorowuje początek na nieskończoność i odwzorowuje nieskończoność na początek.

Konforemna grupa czasoprzestrzeni

W 1908 roku Harry Bateman i Ebenezer Cunningham , dwaj młodzi badacze z Uniwersytetu w Liverpoolu , wpadli na pomysł konforemnej grupy czasoprzestrzeni . Argumentowali oni, że grupy kinematyczne są z konieczności konforemne, ponieważ zachowują kwadratową postać czasoprzestrzeni i są podobne do transformacji ortogonalnych . chociaż w odniesieniu do izotropowej postaci kwadratowej . Wolności pola elektromagnetycznego nie ograniczają się do ruchów kinematycznych, ale raczej muszą być lokalnie proporcjonalne do transformacji zachowującej formę kwadratową. Artykuł Harry'ego Batemana z 1910 roku badał jakobianową macierz transformacji, która zachowuje stożek światła i wykazał, że ma ona właściwość konforemną (proporcjonalną do zachowania formy). Bateman i Cunningham wykazali, że ta grupa konformalna jest „największą grupą przekształceń pozostawiających równania Maxwella strukturalnie niezmienne”. Konforemną grupę czasoprzestrzeni oznaczono jako C(1,3)

Isaak Yaglom wniósł wkład w matematykę konforemnych transformacji czasoprzestrzeni w liczbach zespolonych i liczbach podwójnych . Ponieważ rozdzielone liczby zespolone i liczby podwójne tworzą pierścienie , a nie pola , liniowe przekształcenia ułamkowe wymagają rzutowej linii na pierścieniu, aby były odwzorowaniami bijektywnymi.

Od prac Ludwika Silbersteina w 1914 roku tradycyjnie używa się pierścienia biquaternions do reprezentowania grupy Lorentza. Dla konforemnej grupy czasoprzestrzennej wystarczy rozważyć liniowe przekształcenia ułamkowe na linii rzutowej na tym pierścieniu. Elementy grupy konforemnej czasoprzestrzeni Bateman nazwał transformacjami fali sferycznej . Szczegóły badania kwadratowej formy czasoprzestrzeni zostały wchłonięte przez geometrię kuli Liego .

Komentując ciągłe zainteresowanie naukami fizycznymi, AO Barut napisał w 1985 r.: „Jednym z głównych powodów zainteresowania grupą konforemną jest to, że jest to prawdopodobnie najważniejsza z większych grup zawierających grupę Poincaré ”.

Zobacz też

• Mapa konformalna
• Symetria konformalna

Dalsza lektura

•    Kobayashi, S. (1972). Grupy transformacji w geometrii różniczkowej . Klasyka matematyki. Skoczek. ISBN 3-540-58659-8 . OCLC 31374337 .
•   Sharpe, RW (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, Nowy Jork, ISBN 0-387-94732-9 .
• Peter Scherk (1960) „Some Concepts of Conformal Geometry”, American Mathematical Monthly 67 (1): 1-30 doi : 10.2307/2308920
• Martin Schottenloher, Grupa konforemna, rozdział 2 matematycznego wprowadzenia do konforemnej teorii pola, 2008 ( pdf )
• strona o grupach konforemnych