Geometria konforemna

W matematyce geometria konforemna to badanie zbioru przekształceń zachowujących kąt ( konforemnych ) w przestrzeni.

W rzeczywistej przestrzeni dwuwymiarowej geometria konforemna jest właśnie geometrią powierzchni Riemanna . W przestrzeni wyższej niż dwa wymiary geometria konformalna może odnosić się albo do badania konforemnych przekształceń tak zwanych „płaskich przestrzeni” (takich jak przestrzenie euklidesowe lub sfery ), albo do badania rozmaitości konforemnych , które są rozmaitościami riemannowskimi lub pseudo-riemannowskimi z klasą metryk , które są zdefiniowane w skali. Badanie struktur płaskich jest czasami nazywane geometrią Möbiusa i jest rodzajem geometrii Kleina .

Rozmaitości konforemne

Rozmaitość konformalna to rozmaitość pseudo-riemanna wyposażona w klasę równoważności tensorów metrycznych , w której dwie metryki g i h są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle h = \ lambda ^ {2} g,}$

gdzie λ jest funkcją gładką o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną na rozmaitości i jest nazywana współczynnikiem zgodności . Klasa równoważności takich metryk jest znana jako metryka konforemna lub klasa konforemna . Zatem metrykę konforemną można uznać za metrykę, która jest zdefiniowana tylko „w skali”. Często metryki konforemne są traktowane przez wybranie metryki z klasy konforemnej i zastosowanie do wybranej metryki tylko konstrukcji „konformalnie niezmiennych”.

Metryka konforemna jest konforemnie płaska, jeśli istnieje reprezentująca ją metryka, która jest płaska, w zwykłym sensie, że znika tensor krzywizny Riemanna . Możliwe może być tylko znalezienie metryki w klasie konforemnej, która jest płaska w otwartym sąsiedztwie każdego punktu. Kiedy konieczne jest rozróżnienie tych przypadków, ten ostatni nazywa się lokalnie konforemnie płaskim , chociaż często w literaturze nie utrzymuje się żadnego rozróżnienia. Sfera n tym jest lokalnie konformalnie płaską rozmaitością, która nie jest globalnie konforemnie płaska w tym sensie, podczas gdy przestrzeń euklidesowa, torus lub dowolna rozmaitość konforemna, która jest pokryta otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, jest (globalnie) konforemnie płaska w sens. Lokalnie konformalnie płaska rozmaitość jest lokalnie konformalna do geometrii Möbiusa , co oznacza, że ​​istnieje kąt zachowujący lokalny dyfeomorfizm z rozmaitości do geometrii Möbiusa. W dwóch wymiarach każda metryka konforemna jest lokalnie konforemnie płaska. W wymiarze n > 3 metryka konformalna jest lokalnie konforemnie płaska wtedy i tylko wtedy, gdy jej tensor Weyla zanika; w wymiarze n = 3 wtedy i tylko wtedy, gdy znika tensor bawełny .

Geometria konformalna ma szereg cech, które odróżniają ją od geometrii (pseudo-)riemanna. Po pierwsze, chociaż w geometrii (pseudo-) riemannowskiej mamy dobrze zdefiniowaną metrykę w każdym punkcie, w geometrii konforemnej mamy tylko klasę metryk. Zatem nie można zdefiniować długości wektora stycznego , ale nadal można określić kąt między dwoma wektorami. Inną cechą jest to, że nie ma związku Levi-Civita , ponieważ jeśli g i λ ² g są dwoma przedstawicielami struktury konforemnej, to symbole Christoffela g i λ ² g nie byłyby zgodne. Te związane z λ ² g obejmowałyby pochodne funkcji λ, podczas gdy te związane z g nie.

Pomimo tych różnic geometria konforemna jest nadal wykonalna. Związek Levi-Civita i tensor krzywizny , chociaż są zdefiniowane dopiero po wyodrębnieniu konkretnego przedstawiciela struktury konforemnej, spełniają pewne prawa transformacji dotyczące λ i jego pochodnych, gdy wybrany jest inny przedstawiciel. W szczególności (w wymiarze większym niż 3) okazuje się, że tensor Weyla nie zależy od λ , a więc jest niezmiennikiem konforemnym . Co więcej, chociaż nie ma połączenia Levi-Civita na rozmaitości konforemnej, można zamiast tego pracować z połączeniem konforemnym , które można traktować albo jako rodzaj połączenia Cartana wzorowanego na powiązanej geometrii Möbiusa, albo jako połączenie Weyla . Pozwala to na zdefiniowanie krzywizny konforemnej i innych niezmienników struktury konforemnej.

Geometria Möbiusa

Geometria Möbiusa to badanie „ przestrzeni euklidesowej z punktem dodanym w nieskończoności” lub „ przestrzeni Minkowskiego (lub pseudoeuklidesowej) ze stożkiem zerowym dodanym w nieskończoności”. Oznacza to, że sceneria jest zagęszczeniem znajomej przestrzeni; geometria dotyczy implikacji zachowania kątów .

Na poziomie abstrakcyjnym przestrzenie euklidesowe i pseudoeuklidesowe można traktować w podobny sposób, z wyjątkiem wymiaru drugiego. Sprasowana dwuwymiarowa płaszczyzna Minkowskiego wykazuje rozległą symetrię konforemną . Formalnie jego grupa przekształceń konforemnych jest nieskończenie wymiarowa. Natomiast grupa przekształceń konformalnych zagęszczonej płaszczyzny euklidesowej jest tylko 6-wymiarowa.

Dwa wymiary

Samolot Minkowskiego

Grupą konforemną dla formy kwadratowej Minkowskiego q ( x , y ) = 2 xy na płaszczyźnie jest abelowa grupa Liego

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {CSO} (1,1) = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} e ^ {a} i 0 \\ 0 i e ^ {b} \ koniec { pmatrix}}\right|a,b\w \mathbb {R} \right\},}$

z algebrą Liego cso (1, 1) składającą się ze wszystkich rzeczywistych macierzy diagonalnych 2 × 2 .

Rozważmy teraz płaszczyznę Minkowskiego, ℝ ² wyposażoną w metrykę

${\ displaystyle g = 2 \, dx \, dy ~.}$

Jednoparametrowa grupa przekształceń konforemnych daje pole wektorowe X z tą właściwością, że pochodna Liego g wzdłuż X jest proporcjonalna do g . Symbolicznie,

L _X g = λg dla pewnego λ .

W szczególności, używając powyższego opisu algebry Liego cso (1, 1) , implikuje to, że

1.   L _X dx = za ( x ) dx
2.   L _X dy = b ( y ) dy

o wartościach rzeczywistych aib zależnych odpowiednio od x i y .

I odwrotnie, przy danej parze funkcji o wartościach rzeczywistych istnieje pole wektorowe X spełniające warunki 1 i 2. Stąd algebra Liego nieskończenie małych symetrii struktury konforemnej, algebra Witta , jest nieskończenie wymiarowa .

Konformalne zagęszczenie płaszczyzny Minkowskiego jest iloczynem kartezjańskim dwóch okręgów S ¹ × S ¹ . Na okładce uniwersalnej nie ma przeszkód do całkowania nieskończenie małych symetrii, więc grupa przekształceń konforemnych jest nieskończenie wymiarową grupą Liego

${\ Displaystyle (\ mathbb {Z} \ rtimes \ operatorname {Różnica} (S ^ {1})) \times (\mathbb {Z} \rtimes \mathrm {Różnica} (S^{1})),}$

gdzie Diff( S ¹ ) jest grupą dyfeomorfizmu koła.

Grupa konforemna CSO (1, 1) i jej algebra Liego są obecnie przedmiotem zainteresowania dwuwymiarowej konforemnej teorii pola .

Zobacz też: algebra Virasoro

Przestrzeń euklidesowa

Siatka współrzędnych przed transformacją Möbiusa

Ta sama siatka po transformacji Möbiusa

Grupa konforemnych symetrii formy kwadratowej

${\ Displaystyle q (z, {\ bar {z}}) = z {\ bar {z}}}$

jest grupą GL ₁ ( C ) = C ^× , multiplikatywną grupą liczb zespolonych. Jego algebra Liego to gl ₁ ( C ) = C .

Rozważmy płaszczyznę zespoloną (euklidesową) wyposażoną w metrykę

${\ displaystyle g = dz \, d {\ bar {z}}.}$

Nieskończenie małe symetrie konforemne spełniają

1. ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \ dz = f (z) \ dz}$
2. ${\ Displaystyle \ mathbf {L} _ {X} \, d {\ bar {z}} = f ({\ bar {z}}) \, d{\bar {z}},}$

gdzie f spełnia równanie Cauchy'ego-Riemanna , a więc jest holomorficzne w swojej dziedzinie. (Zobacz algebrę Witta ).

Konformalne izometrie domeny składają się zatem z holomorficznych map własnych. W szczególności na zwartości konforemnej - sferze Riemanna - transformacje konforemne są podane przez transformacje Möbiusa

${\ Displaystyle Z \ mapsto {\ Frac {az + b} {cz + d}}}$

gdzie ad − bc jest niezerowe.

Wyższe wymiary

W dwóch wymiarach grupa konforemnych automorfizmów przestrzeni może być dość duża (jak w przypadku sygnatury Lorentza) lub zmienna (jak w przypadku sygnatury euklidesowej). Porównywalny brak sztywności przypadku dwuwymiarowego z przypadkiem wyższych wymiarów wynika z analitycznego faktu, że asymptotyczny rozwój nieskończenie małych automorfizmów struktury jest stosunkowo nieograniczony. W sygnaturze Lorentza wolność jest w parze funkcji o wartościach rzeczywistych. W euklidesie wolność jest w pojedynczej funkcji holomorficznej.

W przypadku wyższych wymiarów asymptotyczne rozwinięcia nieskończenie małych symetrii są co najwyżej wielomianami kwadratowymi. W szczególności tworzą skończoną wymiarową algebrę Liego . Punktowo nieskończenie małe symetrie konforemne rozmaitości można scałkować dokładnie, gdy rozmaitość jest pewną modelową konforemnie płaską przestrzenią ( aż do przyjęcia uniwersalnych pokryć i ilorazów grup dyskretnych).

Ogólna teoria geometrii konforemnej jest podobna, choć z pewnymi różnicami, w przypadku podpisu euklidesowego i pseudoeuklidesowego. W obu przypadkach istnieje wiele sposobów wprowadzenia przestrzeni modelu o konforemnie płaskiej geometrii. O ile z kontekstu nie wynika inaczej, artykuł ten traktuje przypadek konforemnej geometrii euklidesowej ze zrozumieniem, że ma on również zastosowanie mutatis mutandis do sytuacji pseudoeuklidesowej.

Model odwrotny

Inwersyjny model geometrii konforemnej składa się z grupy lokalnych przekształceń w przestrzeni euklidesowej E ⁿ generowanych przez inwersję w sferach. Zgodnie z twierdzeniem Liouville'a , każda lokalna (konformalna) transformacja zachowująca kąt ma tę postać. Z tej perspektywy właściwości transformacji płaskiej przestrzeni konforemnej są właściwościami geometrii odwrotnej .

Model projekcyjny

Model rzutowy identyfikuje sferę konforemną z pewną kwadryką w przestrzeni rzutowej . Niech q oznacza lorentzowską formę kwadratową na R ^{n +2} określoną przez

${\ Displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1}) = -2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2 }^{2}+\cdots +x_{n}^{2}.}$

W przestrzeni rzutowej P ( R ^{n +2} ), niech S będzie miejscem q = 0 . Wtedy S jest rzutowym (lub Möbiusem) modelem geometrii konforemnej. Transformacja konforemna na S jest rzutową transformacją liniową P ( R ^{n + 2} ), która opuszcza niezmiennik kwadratowy.

W podobnej konstrukcji kwadryka S jest uważana za sferę niebieską w nieskończoności stożka zerowego w przestrzeni Minkowskiego R ^{n + 1,1} , która jest wyposażona w postać kwadratową q jak powyżej. Stożek zerowy jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle N = \ lewo \ {(x_ {0}, \ ldots, x_ {n + 1}) \ mid -2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + \ cdots +x_{n}^{2}=0\prawo\}.}$

To jest stożek afiniczny nad rzutową kwadryką S . Niech N ⁺ będzie przyszłą częścią stożka zerowego (z usuniętym początkiem). Wtedy rzut tautologiczny R ^{n +1,1} ∖ {0} → P ( R ^{n +2} ) ogranicza się do rzutu N ⁺ → S . Daje to N ⁺ strukturę wiązki linii nad S . Transformacje konformalne na S są indukowane ortochronicznymi transformacjami Lorentza R ^{n +1,1 , ponieważ są to jednorodne transformacje liniowe} zachowujące przyszły stożek zerowy.

Sfera euklidesowa

Intuicyjnie, konforemnie płaska geometria kuli jest mniej sztywna niż geometria Riemanna kuli. Konformalne symetrie kuli są generowane przez inwersję we wszystkich jej hipersferach . Z drugiej strony, izometrie Riemanna kuli są generowane przez inwersje w hipersferach geodezyjnych (patrz twierdzenie Cartana – Dieudonnégo ). Sferę euklidesową można odwzorować na sferę konforemną w sposób kanoniczny, ale nie odwrotnie.

Sfera jednostek euklidesowych to locus w R ^{n +1}

${\ Displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n}^{2}=1.}$

Można to odwzorować na przestrzeń Minkowskiego R ^{n +1,1} , pozwalając

${\ Displaystyle x_ {0} = {\ Frac {z + 1} {\ sqrt {2}}}, \, x_ {1} = x_ {1}, \, \ ldots, \, x_ {n} = x_ {n},\,x_{n+1}={\frac {z-1}{\sqrt {2}}}.}$

Łatwo zauważyć, że obraz sfery poddanej tej transformacji jest zerowy w przestrzeni Minkowskiego, a więc leży na stożku N ⁺ . W konsekwencji wyznacza przekrój wiązki linii N ⁺ → S .

Niemniej wybór był arbitralny. Jeśli κ ( x ) jest dowolną dodatnią funkcją ₀ x = ( z , x , ..., x _n ) , to przypisanie

${\ Displaystyle x_ {0} = {\ frac {z+1}{\kappa (x){\sqrt {2}}}},\,x_{1}=x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}=x_{n} ,\,x_{n+1}={\frac {(z-1)\kappa (x)}{\sqrt {2}}}}$

daje również mapowanie na N ⁺ . Funkcja κ jest dowolnym wyborem skali konforemnej .

Metryki reprezentatywne

Reprezentatywna metryka riemannowska na kuli to metryka, która jest proporcjonalna do standardowej metryki kuli. Daje to realizację sfery jako rozmaitości konforemnej . Standardowa metryka kuli jest ograniczeniem metryki euklidesowej na R ^{n +1}

${\ Displaystyle g = dz ^ {2} + dx_ {1} ^ {2} + dx_ {2} ^ {2} +\cdots +dx_{n}^{2}}$

do kuli

${\ Displaystyle z ^ {2} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n}^{2}=1.}$

Konforemnym przedstawicielem g jest metryka postaci λ ² g , gdzie λ jest dodatnią funkcją na kuli. Konforemna klasa g , oznaczona jako [ g ], jest zbiorem wszystkich takich przedstawicieli:

${\ Displaystyle [g] = \ lewo \ {\ lambda ^ {2} g \ mid \ lambda > 0 \ prawo \}.}$

Osadzenie sfery euklidesowej w N ⁺ , jak w poprzedniej sekcji, określa skalę konforemną na S . I odwrotnie, każda skala konforemna na S jest dana przez takie osadzenie. Zatem wiązka liniowa N ⁺ → S jest utożsamiana z wiązką skal konforemnych na S : podanie odcinka tej wiązki jest równoznaczne z podaniem metryki w klasie konforemnej [ g ].

Model metryczny otoczenia

Zobacz też: Ambientowa konstrukcja

Innym sposobem realizacji reprezentatywnych metryk jest zastosowanie specjalnego układu współrzędnych na R ^{n +1, 1} . Załóżmy, że euklidesowa n -sfera S ma stereograficzny układ współrzędnych . Składa się to z następującego odwzorowania R ⁿ → S ⊂ R ^{n +1} :

${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ in \ mathbf {R} ^ {n} \ mapsto \ lewo ({\ Frac {2 \ mathbf {y}}} {\ lewo | \ mathbf {y} \ prawo | ^ {2 }+1}},{\frac {\left|\mathbf {y} \right|^{2}-1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}\right )\w S\podzbiór \mathbf {R} ^{n+1}.}$

W odniesieniu do tych współrzędnych stereograficznych można podać układ współrzędnych na stożku zerowym N ⁺ w przestrzeni Minkowskiego. Korzystając z osadzania podanego powyżej, reprezentatywny przekrój metryczny stożka zerowego wynosi

${\ Displaystyle x_ {0} = {\ sqrt {2}} {\ Frac {\ lewo | \ mathbf {y} \ prawo | ^ {2}} {1+ \ lewo | \ mathbf {y} \ prawo | ^ {2}}},x_{i}={\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}={\ sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Wprowadź nową zmienną t odpowiadającą dylatacjom w górę N ⁺ , tak aby stożek zerowy był skoordynowany przez

${\ Displaystyle x_ {0} = t {\ sqrt {2}} {\ Frac {\ lewo | \ mathbf {y} \ prawo | ^ {2}} {1+ \ lewo | \ mathbf {y} \ prawo | ^{2}}},x_{i}=t{\frac {y_{i}}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}},x_{n+1}= t{\sqrt {2}}{\frac {1}{\left|\mathbf {y} \right|^{2}+1}}.}$

Na koniec niech ρ będzie następującą funkcją definiującą N ⁺ :

${\ Displaystyle \ rho = {\ Frac {-2x_ {0} x_ {n + 1} + x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2 }}{t^{2}}}.}$

We współrzędnych t , ρ , y na R ^{n +1,1} metryka Minkowskiego przyjmuje postać:

${\ Displaystyle t ^ {2} g_ {ij} (y) \, dy ^ {i} \,dy^{j}+2\rho \,dt^{2}+2t\,dt\,d\rho ,}$

gdzie g _ij jest metryką na kuli.

W tym ujęciu sekcja wiązki N ⁺ składa się z określenia wartości zmiennej t = t ( y ⁱ ) jako funkcji y ⁱ wzdłuż zerowego stożka ρ = 0 . Daje to następującego przedstawiciela metryki konforemnej na S :

${\ Displaystyle t (y) ^ {2} g_ {ij} \, dy ^ {i} \, dy ^ {j}.}$

Model Kleinowski

Rozważmy najpierw przypadek płaskiej geometrii konforemnej w sygnaturze euklidesowej. Model n -wymiarowy jest sferą niebieską ( n + 2) - wymiarowej przestrzeni lorentzowskiej R ^{n +1,1} . Tutaj model jest geometrią Kleina : jednorodną przestrzenią G / H , gdzie G = SO( n + 1, 1) działającą na ( n + 2) -wymiarową przestrzeń Lorentza R ^{n + 1,1} , a H jest grupą izotropową stały promień zerowy w stożku światła . Zatem modele konforemnie płaskie są przestrzeniami geometrii odwrotnej . Dla pseudoeuklidesowej sygnatury metrycznej ( p , q ) płaska geometria modelu jest definiowana analogicznie jako przestrzeń jednorodna O( p + 1, q + 1)/ H , gdzie H jest ponownie traktowany jako stabilizator linii zerowej. Zauważ, że zarówno euklidesowa, jak i pseudoeuklidesowa przestrzeń modelu są zwarte .

Konforemne algebry Liego

Aby opisać grupy i algebry zaangażowane w płaską przestrzeń modelu, ustal następującą postać na R ^{p +1, q +1} :

${\ Displaystyle Q = {\ początek {pmatrix} 0 i 0 i -1 \\ 0 i J & 0 \\ - 1 i 0 i 0 \ koniec {pmatrix}}}$

gdzie J jest kwadratową formą podpisu ( p , q ) . Wtedy G = O( p + 1, q + 1) składa się z ( n + 2) × ( n + 2) macierzy stabilizujących Q : ^t MQM = Q . Algebra Liego dopuszcza rozkład Cartana

${\ Displaystyle \ mathbf {g} = \ mathbf {g} _ {- 1} \ oplus \ mathbf {g} _ {0} \ oplus \ mathbf {g} _ {1 }}$

Gdzie

$_ \\0&0&0\end{pmatrix}}\right|p\in \mathbb {R} ^{n}\right\},\quad \mathbf {g} _{-1}=\left\{\left.{ \begin{pmatrix}0&0&0\\^{t}q&0&0\\0&qJ^{-1}&0\end{pmatrix}}\right|q\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\ prawo\}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {0} = \ lewo \ {\ lewo. {\ początek {pmatrix} -a&0&0\\0&A&0\\0&0&a\koniec {pmatrix}}\right|A\in {\mathfrak { więc}}(p,q),a\in \mathbb {R} \right\}.}$

Alternatywnie, ta dekompozycja jest zgodna z naturalną strukturą algebry Liego zdefiniowaną na R ⁿ ⊕ cso ( p , q ) ⊕ ( R ⁿ ) ^∗ .

Stabilizator promienia zerowego skierowanego w górę ostatniego wektora współrzędnych jest określony przez podalgebrę Borela

₀ godz = sol ⊕ sol ₁ .

Zobacz też

• Konforemna algebra geometryczna
• Konformalna grawitacja
• Konformalne równanie zabijania
• programu Erlangen
• Samolot Möbiusa

Notatki

•   Kobayashi, Shoshichi (1970). Grupy transformacji w geometrii różniczkowej (wydanie pierwsze). Skoczek. ISBN 3-540-05848-6 .
• Słowacki, Jan (1993). Operatory niezmienne na rozmaitościach konforemnych . Notatki z wykładów badawczych, Uniwersytet Wiedeński (rozprawa).
•   Sternberg, Szlomo (1983). Wykłady z geometrii różniczkowej . Nowy Jork: Chelsea. ISBN 0-8284-0316-3 .

Linki zewnętrzne

• GV Bushmanova (2001) [1994], „Geometria konforemna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm