Konformalne pole wektora zabijania

W geometrii konforemnej konforemne pole wektora Killinga na rozmaitości wymiaru n z (pseudo) metryką riemannowską $)$ jest polem wektorowym $X}$ ${\ displaystyle g$ } , którego (lokalnie zdefiniowany) przepływ definiuje przekształcenia konforemne $skalę$ to znaczy zachowuje i zachowuje strukturę konforemną. $lambda g}$ sol sol {\ Displaystyle {\ mathcal {L } } _ X } g = dla pewnej funkcji ${\ Displaystyle \ lambda}$ na kolektorze. Dla ${\ displaystyle n \ neq 2}$ istnieje skończona liczba rozwiązań określających konforemną symetrię tej przestrzeni, ale w dwóch wymiarach istnieje nieskończona liczba rozwiązań . Nazwa Killing odnosi się do Wilhelma Killinga , który jako pierwszy zbadał pola wektorowe Killinga .

Zagęszczony tensor metryczny i wektory zabijania konforemnego

Pole wektorowe $każdego$ polem wektorowym Killing wtedy i tylko wtedy, gdy jego przepływ zachowuje tensor metryczny $}$ zwartego podzbioru rozmaitości, przepływ należy zdefiniować tylko dla skończonego czasu sol {\ displaystyle X ). $Sformułowane$ matematycznie, zabija wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 0.}

gdzie $pochodną$ .

Mówiąc bardziej ogólnie, zdefiniuj pole wektorowe jako pole wektorowe, którego (lokalny) przepływ zachowuje zagęszczoną metrykę , $Displaystyle g \ mu _ {g} ^ {w}}$ $sol$ μ $\ Displaystyle \ mu _ {g}}$ ${\ Displaystyle \ mu _$ to gęstość objętości zdefiniowana przez (tj. lokalnie $sol$ in \ $}}$ waga. Zauważ $,$ że pole wektora zabijania zachowuje tak automatycznie spełnia również to bardziej ogólne równanie $przy$ również zauważyć, że unikalna waga, która sprawia, że kombinacja jest sol $\ Displaystyle g \ mu _ {g} ^ {w$ metryka. Dlatego w tym przypadku warunek zależy tylko od struktury konforemnej . Teraz jest polem wektorowym w $-Killing$ wtedy i tylko wtedy,

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ lewo (g \mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w- 1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}

$X) \ mu _ {g}}$ { L}} _ {X} \ mu _ {g} = \ operatorname {div} ( jest równa

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = - w \ nazwa operatora {dział} (X) g.}

Biorąc ślady obu stron, dochodzimy do wniosku, że ${\ Displaystyle 2 \ mathop {\ operatorname {div}} (X) = -wn \ operatorname {div} ( X)}$ . Stąd dla ${\ Displaystyle w \ neq -2/n}$ , koniecznie ${\ Displaystyle \ operatorname {div} (X) = 0}$ i pole wektorowe w -Killing jest po prostu normalne pole wektora Killing, którego przepływ zachowuje metrykę. Jednak dla , $strukturę$ $musi$ tylko konforemną i jest z polem

Równoważne preparaty

Następujące są równoważne

${\ displaystyle X}$ jest konforemnym polem wektorowym Killing,
(Lokalnie zdefiniowany) przepływ zachowuje strukturę konforemną, ${\ displaystyle X}$
${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} (g \ mu _ {g} ^ {- 2 / n}) = 0,}$
${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = {\ Frac {2} {n}} \ operatorname {div} (X) g,}$
${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = \ lambda g}$ dla jakiejś funkcji ${\ Displaystyle \ lambda.}$

Powyższa dyskusja dowodzi równoważności wszystkich, z wyjątkiem pozornie bardziej ogólnej ostatniej formy. $formy$ ostatnie że

Ostatnia forma wyjaśnia, że każdy wektor zabijania jest również konforemnym wektorem zabijania, gdzie ${\ Displaystyle \ lambda \ cong 0.}$

Konforemne równanie Killinga

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} g = 2 \ lewo (\ nabla X ^ {\ mieszkanie} \ prawo) ^ {$ sol $\$ gdzie jest pochodną Levi Civita $displaystyle g}$ (inaczej pochodna kowariantna) i ${\ Displaystyle X ^ {\ flat } = g (X, \ cdot )}$ $podwójna$ 1 forma (inaczej powiązany wektor kowariantny, czyli wektor z obniżonymi indeksami) i ${\ Displaystyle {} ^ {\ operatorname {symm } }}$ jest projekcją na część symetryczną, konforemne równanie Killinga można zapisać w abstrakcyjnej notacji indeksowej jako

{\ Displaystyle \ nabla _ {a} X_ {b} + \ nabla _ {b} X_ {a} = {\ Frac {2} {n}} g_ {ab} \ nabla _ {c} X ^ {c} .}

Inną notacją indeksu służącą do zapisania konforemnych równań Killinga jest

{\ Displaystyle X_ {a; b} + X_ {b; a} = {\ Frac {2} {n}} g_ {ab} X ^ {c} {} _ {; c}.}

Przykłady

Płaska przestrzeń

W $płaskiej$ przestrzeni, czyli przestrzeni euklidesowej lub pseudoeuklidesowej , istnieją globalnie płaskie współrzędne, w których mamy stałą metrykę ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu } = \ eta _ {\ mu \ nu}}$ gdzie w przestrzeni z podpisem ${\ Displaystyle (p, q)}$ mamy składowe ${\ Displaystyle (\ eta _ {\ mu \ nu}) = {\ tekst {diag}} (+1, \ cdots, + 1, -1, \ cdots, -1) }$ . W tych współrzędnych składniki połączenia znikają, więc pochodna kowariantna jest pochodną współrzędnych. Konforemne równanie Killinga w płaskiej przestrzeni to

{\ Displaystyle \ częściowe _ {\ mu} X_ {\ nu} + \ częściowe _ {\ nu} X_ {\ mu} = {\ Frac {2} {n}} \ eta _ {\ mu \ nu} \ częściowe _{\rho}X^{\rho}.}

Rozwiązania konforemnego równania Killinga w przestrzeni płaskiej obejmują rozwiązania równania Killinga w przestrzeni płaskiej omówione w artykule Killing vector Fields. Generują one izometrii Poincarégo płaskiej przestrzeni. $_ M^{\mu \nu }}$ $_$ ansatz część , ponieważ odpowiada to znanym rozwiązaniom, a my szukamy nowych rozwiązań. Wtedy $_$ _ Wynika z tego, że jest to dylatacja , gdzie ${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {\ mu} = \ lambda \ delta _ {\ nu} ^ {\ mu}}$ dla prawdziwego ${ \ displaystyle \ lambda}$ i odpowiadający mu wektor zabijania ${\ Displaystyle X ^ {\ mu} = \ lambda x ^ {\ mu}}$ .

Z ogólnego rozwiązania jest więcej generatorów, znanych jako specjalne przekształcenia konforemne , podane przez ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle X _ {\ mu} = c _ {\ mu \ nu \ rho} x ^ {\ nu} x ^ {\ rho},}

gdzie bezśladowa część $\$ ${\ displaystyle c _ {\ mu$ stąd może $} \ Displaystyle c ^ {\ mu }{} _ {\ mu \ nu} = b_ {\ nu}}$ sparametryzowana przez .

Ogólne rozwiązanie konforemnego równania Killinga

Rozszerzamy Taylora $X$ ${\ displaystyle X_ {\ mu}$ (nieskończonej) liniowej kombinacji wyrazów w postaci

{\ Displaystyle X _ {\ mu} = a _ {\ mu \ mu _ {1} \ cdots \ mu _ {n}} x ^ {\ mu _{1}}\cdots x^{\mu _{n}},}

gdzie tensor jest symetryczny przy wymianie ${i}, \ mu _ {j}},$ $Displaystyle \ mu$ ale niekoniecznie ${\ Displaystyle \ mu}$ z ${\ Displaystyle \ mu _ {i}}$ .

Dla uproszczenia ograniczymy się do ${\ displaystyle n=2}$ , co będzie później przydatne dla terminów wyższego rzędu. Daje konforemne równanie Killinga

{\ Displaystyle a _ {\ mu \ nu \ rho} + a _ {\ nu \ mu \ rho} - {\ frac {2 }{n}}\eta _{\mu \nu }a^{\sigma }{}_{\sigma \rho }=0.}

Teraz rzutujemy $.$ dwa niezależne tensory: bezśladową i czystą część śladową na jej pierwsze $.$ równanie i odpowiedzią Bezśladowa część $a}} _ {\ mu \ nu \ rho}}$ regularne równanie zabijania, pokazując za $}}$ $Displaystyle {\ tylda {$ jest antysymetryczne na pierwszych dwóch indeksach. Jest symetryczny na dwóch drugich indeksach. $, że w$ cyklicznej permutacji indeksów odbiera znak minus. Po trzech cyklicznych permutacjach dowiadujemy się, ${\ displaystyle {\ tylda {\ mathbf {a}}} = 0}$ .

Terminy wyższego rzędu znikają (do uzupełnienia)

Razem tłumaczenia, $($ $n (n-1) / 2}$ $Displaystyle$ przekształcenia Lorentza, i specjalne konforemne $1$ transformacje obejmują algebrę konformalną, która generuje grupę konforemną przestrzeni pseudoeuklidesowej.

Zobacz też

Wald, RM (1984). Ogólna teoria względności. Wydawnictwo Uniwersytetu Chicagowskiego.