Rozmaitość Einsteina

W geometrii różniczkowej i fizyce matematycznej rozmaitość Einsteina jest rozmaitością różniczkową riemannowską lub pseudoriemannowską, której tensor Ricciego jest proporcjonalny do metryki . Zostały nazwane na cześć Alberta Einsteina , ponieważ warunek ten jest równoważny z powiedzeniem, że metryka jest rozwiązaniem próżniowych równań pola Einsteina (ze stałą kosmologiczną ), chociaż zarówno wymiar, jak i sygnatura metryki mogą być dowolne, a zatem nie ograniczają się do Rozmaitości Lorentza (w tym czterowymiarowe rozmaitości Lorentza zwykle badane w ogólnej teorii względności ). Rozmaitości Einsteina w czterech wymiarach euklidesowych są badane jako momentony grawitacyjne .

Jeśli M jest podstawową rozmaitością n -wymiarową , a g jest jej tensorem metrycznym , oznacza to warunek Einsteina

${\ Displaystyle \ operatorname {Ric} = kg}$

dla pewnej stałej k , gdzie Ric oznacza tensor Ricciego g . Rozmaitości Einsteina z k = 0 nazywane są rozmaitościami płaskimi Ricciego .

Warunek Einsteina i równanie Einsteina

We współrzędnych lokalnych warunek, że ( M , g ) jest rozmaitością Einsteina, jest prosty

${\ Displaystyle R_ {ab} = kg_ {ab}.}$

Śledzenie obu stron pokazuje, że stała proporcjonalności k dla rozmaitości Einsteina jest związana z krzywizną skalarną R przez

${\ Displaystyle R = nk,}$

gdzie n jest wymiarem M .

W ogólnej teorii względności równanie Einsteina ze stałą kosmologiczną Λ jest równe

$\ Displaystyle R_ {ab} - {\ Frac {1} {2}} g_ {ab} R + g_ {ab} \ Lambda =\kappa T_{ab},}$

gdzie κ jest stałą grawitacji Einsteina . Tensor naprężenia i energii T _ab podaje zawartość materii i energii w czasoprzestrzeni leżącej u podstaw. W próżni (obszar czasoprzestrzeni pozbawiony materii) T _ab = 0 , a równanie Einsteina można zapisać w postaci (zakładając, że n > 2 ):

${\ Displaystyle R_ {ab} = {\ Frac {2 \ Lambda} {n-2}} \, g_ {ab}.}$

Dlatego próżniowe rozwiązania równania Einsteina są (Lorentzowskimi) rozmaitościami Einsteina z k proporcjonalnym do stałej kosmologicznej.

Przykłady

Proste przykłady rozmaitości Einsteina obejmują:

• Każda rozmaitość o stałej krzywiźnie przekroju jest rozmaitością Einsteina - w szczególności:
  • Przestrzeń euklidesowa , która jest płaska, jest prostym przykładem mieszkania Ricciego, stąd metryka Einsteina.
  • n n - kula $.$ z okrągłą metryką to Einstein z $k = n-1$ }
  • Przestrzeń hiperboliczna z metryką kanoniczną to Einstein z ${\ Displaystyle k = - (n-1)}$ .
• Złożona przestrzeń rzutowa $Displaystyle k = n$ z metryką $1.}$ – Study , ma
• Rozmaitości Calabiego – Yau dopuszczają metrykę Einsteina, która jest również Kählerem , ze stałą Einsteina ${\ displaystyle k = 0}$ . Takie wskaźniki nie są unikalne, ale raczej występują w rodzinach; w każdej klasie Kählera istnieje metryka Calabiego – Yau, a metryka ta zależy również od wyboru złożonej struktury. Na przykład istnieje 60-parametrowa rodzina takich metryk na K3 , z których 57 parametrów daje początek metrykom Einsteina, które nie są powiązane izometriami ani przeskalowaniem.
• Metryki Kählera-Einsteina istnieją na różnych zwartych rozmaitościach zespolonych ze względu na wyniki istnienia Shing-Tung Yau oraz późniejsze badania stabilności K , zwłaszcza w przypadku rozmaitości Fano .

Warunkiem koniecznym, aby zamknięte , zorientowane , 4-rozmaitości były Einsteinami, jest spełnienie nierówności Hitchina-Thorpe'a .

Aplikacje

Czterowymiarowe rozmaitości Riemanna Einsteina są również ważne w fizyce matematycznej jako momenty grawitacyjne w kwantowych teoriach grawitacji . Termin „chwila grawitacyjna” jest zwykle używany w ograniczeniu do 4-rozmaitości Einsteina, których tensor Weyla jest samodualny, i zwykle zakłada się, że metryka jest asymptotyczna względem standardowej metryki euklidesowej 4-przestrzeni (a zatem jest kompletna , ale nie- zwarty ). W geometrii różniczkowej samodualne 4-rozmaitości Einsteina są również znane jako (4-wymiarowe) rozmaitości hiperkählera w przypadku płaskiego Ricciego, a w przeciwnym razie rozmaitości kwaternionów Kählera .

Wielowymiarowe rozmaitości Lorentza Einsteina są używane we współczesnych teoriach grawitacji, takich jak teoria strun , M-teoria i supergrawitacja . Rozmaitości hiperkählera i kwaternionów kählera (które są specjalnymi rodzajami rozmaitości Einsteina) mają również zastosowanie w fizyce jako przestrzenie docelowe dla nieliniowych modeli σ z supersymetrią .

Kompaktowe rozmaitości Einsteina były szeroko badane w geometrii różniczkowej i znanych jest wiele przykładów, chociaż ich konstruowanie jest często trudne. Kompaktowe rozmaitości płaskie Ricciego są szczególnie trudne do znalezienia: w monografii na ten temat autorstwa pseudonimowego autora Arthura Besse czytelnikom proponuje się posiłek w wyróżnionej gwiazdką restauracji w zamian za nowy przykład.

Zobacz też

• Wiązka wektorów Einsteina-Hermita

Uwagi i odniesienia

•   Besse, Arthur L. (1987). Rozmaitości Einsteina . Klasyka matematyki. Berlin: Springer. ISBN 3-540-74120-8 .