Hermitowskie połączenie Yang-Mills

W matematyce , aw szczególności w teorii cechowania i złożonej geometrii , hermitowskie połączenie Yanga-Millsa (lub połączenie Hermite'a-Einsteina ) to połączenie Cherna związane z iloczynem wewnętrznym na holomorficznej wiązce wektorów nad rozmaitością Kählera , która spełnia analog równań Einsteina : mianowicie, wymaga się, aby skrócenie formy krzywizny 2 połączenia z formą Kählera było stałą razy transformacja tożsamości. Połączenia hermitowskie Yanga-Millsa są szczególnymi przykładami połączenia Yanga-Millsa i są często nazywane instantonami .

Zgodność Kobayashiego – Hitchina udowodniona przez Donaldsona , Uhlenbecka i Yau potwierdza, że holomorficzna wiązka wektorów nad zwartą rozmaitością Kählera dopuszcza połączenie hermitowskie Yanga – Millsa wtedy i tylko wtedy, gdy jest to nachylenie polistabilne .

Równania hermitowskie Yanga-Millsa

Połączenia Hermite'a-Einsteina powstają jako rozwiązania równań hermitowskiego Yanga-Millsa. Są to układy równań różniczkowych cząstkowych na wiązce wektorów nad rozmaitością Kählera, które implikują równania Yanga-Millsa . Niech $będzie$ połączeniem $na$ wiązce $.$ $_$ nad rozmaitością Kählera _ Wtedy są równania hermitowskie Yanga-Millsa

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i F_ {A} ^ {0,2} = 0 \\& F_ {A} \ cdot \ omega = \ lambda (E)\operatorname {Id} ,\end{aligned}}}

dla pewnej stałej ${\ Displaystyle \ lambda (E) \ in \ mathbb {C}}$ . Mamy tutaj

{\ Displaystyle F_ {A} \ klin \ omega ^ {n-1} = (F_ {A} \ cdot \ omega) \ omega ^ {n}.}

Zauważ, że ponieważ zakłada się, że jest to połączenie hermitowskie, krzywizna $A} ^ { 0,2} = 0}$ $F_$ - hermitowska , więc fa $ZA$ implikuje ${\ Displaystyle F_ {A} ^ {2,0} = 0}$ . Gdy podstawowa rozmaitość Kählera $jest$ zwarta ${\ Displaystyle \ lambda (E)}$ można obliczyć za pomocą teorii Cherna-Weila . Mianowicie mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ stopień (E) i: = \ int _ {X} c_ {1} (E) \ klin \ omega ^ {n-1} \\& = {\ frac {i} {2\pi }}\int _{X}\nazwa operatora {Tr} (F_{A})\klin \omega ^{n-1}\\&={\frac {i}{2\pi }}\ int _{X}\operatorname {Tr} (F_{A}\cdot \omega)\omega ^{n}.\end{wyrównane}}}

Ponieważ ${\ Displaystyle F_ {A} \ cdot \ omega = \ lambda (E) \ operatorname {Id} _ {E}},$ a endomorfizm tożsamości ma ślad określony przez rangę ${\ Displaystyle E}$ , otrzymujemy

{\ Displaystyle \ lambda (E) = - {\ Frac {2 \ pi ja} {n! \ operatorname {tom} (X)}} \ mu (E)}

gdzie jest nachyleniem wiązki wektorów, określonym przez ${$ $\ Displaystyle \ mu$

{\ Displaystyle \ mu (E) = {\ Frac {\ stopień (E)} {\ operatorname {stopień} (E)}}}

${\ Displaystyle \ omega ^ {n} / n!$ objętość brana w odniesieniu do formy objętości $n$ }

Ze względu na podobieństwo drugiego warunku w równaniach hermitowskiego Yanga-Millsa z równaniami dla metryki Einsteina , rozwiązania równań hermitowskiego Yanga-Millsa nazywane są często połączeniami Hermite'a-Einsteina , jak również połączeniami hermitowskimi Yanga-Millsa .

Przykłady

Połączenie Levi-Civita metryki Kählera-Einsteina jest połączeniem Hermite'a-Einsteina w odniesieniu do metryki Kählera-Einsteina. (Przykłady te są jednak niebezpiecznie mylące, ponieważ istnieją zwarte rozmaitości Einsteina , takie jak metryka Page na do ${C} P} ^ {2} \ # {\ overline { \mathbb {C} P}}_{2}}$ , które są hermitowskie, ale dla których połączenie Levi-Civita nie jest połączeniem Hermite-Einstein.)

Kiedy wiązka wektorów hermitowskich ma strukturę holomorficzną $,$ istnieje naturalny wybór połączenia hermitowskiego, Cherna . W $przypadku połączenia$ warunek, spełniony Hitchin -Kobayashi twierdzi, że $}$ wiązka wektorów dopuszcza metrykę hermitowską mi $\ displaystyle h$ takie, że powiązane połączenie Cherna spełnia równania hermitowskie Yanga-Millsa wtedy i tylko wtedy, gdy wiązka wektorów jest polistabilna . Z tej perspektywy równania hermitowskiego Yanga-Millsa można postrzegać jako układ równań dla metryki, $nie$ powiązanego związku Cherna, a takie metryki rozwiązujące równania nazywane są metrykami Hermite'a-Einsteina .

Warunek Hermite'a-Einsteina dotyczący połączeń Cherna został po raz pierwszy wprowadzony przez Kobayashiego ( 1980 , rozdział 6). Równanie to implikuje równania Yanga-Millsa w dowolnym wymiarze, aw wymiarze rzeczywistym cztery są ściśle powiązane z samodualnymi równaniami Yanga-Millsa, które definiują momenty . W szczególności, gdy $.$ wymiar rozmaitości Kählera $wynosi$ , następuje rozszczepienie form na formy samodualne i anty samodualne Złożona struktura współdziała z tym w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ Lambda _ {+} ^ {2} = \ Lambda ^ {2,0 }\oplus \Lambda ^{0,2}\oplus \langle \omega \rangle ,\qquad \Lambda _{-}^{2}=\langle \omega \rangle ^{\perp }\subset \Lambda ^{ 1,1}}

Kiedy stopień wiązki wektorów $,$ wówczas równania hermitowskie Yanga-Millsa stają się ${\ displaystyle F_ {A} ^ {0,2 }=F_{A}^{2,0}=F_{A}\cdot \omega =0}$ . Zgodnie z powyższą reprezentacją jest to dokładnie warunek, że $displaystyle F_ {A} ^ {+} = 0}$ \ $że$ to, jest ASD natychmiast . Zauważ, że gdy stopień nie znika, rozwiązania równań hermitowskiego Yanga-Millsa nie mogą być anty-samodualne, aw rzeczywistości nie ma rozwiązań równań ASD w tym przypadku.

Zobacz też

Kobayashi, Shoshichi (1980), „Pierwsza klasa Cherna i holomorficzne pola tensorowe” , Nagoya Mathematical Journal , 77 : 5–11, doi : 10.1017/S0027763000018602 , ISSN 0027-7630 , MR 0556302 , S2CID 11822 8189
Kobayashi, Shoshichi (1987), Geometria różniczkowa złożonych wiązek wektorowych , Publikacje Towarzystwa Matematycznego Japonii, tom. 15, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08467-1 , MR 0909698