Krzywizna skalarna

W matematycznym polu geometrii riemannowskiej krzywizna skalarna (lub skalar Ricciego ) jest miarą krzywizny rozmaitości riemannowskiej . Każdemu punktowi na rozmaitości riemannowskiej przypisuje pojedynczą liczbę rzeczywistą określoną przez geometrię metryki w pobliżu tego punktu. Jest ona zdefiniowana przez skomplikowany wzór jawny w kategoriach pochodnych cząstkowych składowych metrycznych, chociaż charakteryzuje się również objętością nieskończenie małych kulek geodezyjnych. W kontekście geometrii różniczkowej powierzchni , krzywizna skalarna jest dwukrotnie większa od krzywizny Gaussa i całkowicie charakteryzuje krzywiznę powierzchni. Jednak w wyższych wymiarach krzywizna skalarna reprezentuje tylko jedną określoną część tensora krzywizny Riemanna .

Definicja krzywizny skalarnej za pomocą pochodnych cząstkowych jest również ważna w bardziej ogólnym układzie rozmaitości pseudo-riemanna . Jest to istotne w ogólnej teorii względności , gdzie skalarna krzywizna metryki Lorentza jest jednym z kluczowych terminów w równaniach pola Einsteina . Co więcej, ta krzywizna skalarna jest gęstością Lagrange'a dla działania Einsteina-Hilberta , którego równania Eulera-Lagrange'a są równaniami pola Einsteina w próżni .

Geometria metryk Riemanna z dodatnią krzywizną skalarną była szeroko badana. W przypadku przestrzeni niezwartych jest to kontekst twierdzenia o dodatniej masie udowodnionego przez Richarda Schoena i Shing-Tung Yau w latach 70. XX wieku, a wkrótce potem obalonego różnymi technikami przez Edwarda Wittena . Schoen i Yau oraz niezależnie Mikhael Gromov i Blaine Lawson opracowali szereg fundamentalnych wyników dotyczących topologii zamkniętych rozmaitości wspierających metryki dodatniej krzywizny skalarnej. W połączeniu z ich wynikami, Konstrukcja przepływu Ricciego z chirurgią Grigorija Perelmana w 2003 roku dostarczyła pełnej charakterystyki tych topologii w przypadku trójwymiarowym.

Definicja

Mając metrykę Riemanna g , krzywizna skalarna S (powszechnie również R lub Sc ) jest definiowana jako ślad tensora krzywizny Ricciego względem metryki:

${\ Displaystyle S = \ nazwa operatora {tr} _ {g} \ nazwa operatora {Ric}.}$

Krzywizny skalarnej nie można obliczyć bezpośrednio z krzywizny Ricciego, ponieważ ta ostatnia jest polem tensorowym (0,2); metryka musi być użyta do podniesienia indeksu w celu uzyskania pola tensorowego (1,1) w celu wykonania śladu. W odniesieniu do współrzędnych lokalnych można napisać, stosując konwencję notacji Einsteina , że:

${\ Displaystyle S = g ^ {ij} R_ {ij}}$

gdzie R _ij = Ric(∂ _i , ∂ _j ) to składowe tensora Ricciego w bazie współrzędnych, a g ^ij to odwrotne składowe metryczne , czyli składowe odwrotności macierzy składowych metrycznych g _ij = g (∂ _ja , ∂ _jot ) . Opierając się na krzywiźnie Ricciego będącej sumą krzywizn przekroju , możliwe jest również wyrażenie krzywizny skalarnej jako

${\ Displaystyle S (p) = \ suma _ {i \ neq j} \ nazwa operatora {sek} (e_ {i}, e_ {j} )}$

gdzie s oznacza krzywiznę przekroju, a _e 1 _, ..., en jest dowolnym układem ortonormalnym w p . Z podobnego rozumowania krzywizna skalarna jest dwukrotnie większa od śladu operatora krzywizny . Alternatywnie, biorąc pod uwagę opartą na współrzędnych definicję krzywizny Ricciego w kategoriach symboli Christoffela , możliwe jest wyrażenie krzywizny skalarnej jako

${\ Displaystyle S = g ^ {\ mu \ nu} \ lewo ({\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ nu, \ lambda} - {\ Gamma ^ {\ lambda}} _ {\ mu \ lambda ,\nu }+{\Gamma ^{\sigma }}_{\mu \nu }{\Gamma ^{\lambda }}_{\lambda \sigma }-{\Gamma ^{\sigma }}_{ \mu \lambda }{\Gamma ^{\lambda }}_{\nu \sigma }\right)}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ mu}} _ {\ nu \ lambda}}$ to symbole Christoffela metryki i ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ mu }} _ {\ nu \ lambda, \ sigma}}$ jest pochodną cząstkową ${\ Displaystyle {\ Gamma ^ {\ mu}} _ {\ nu \ lambda}}$ w kierunku współrzędnej σ.

Powyższe definicje są równie ważne dla metryki pseudo-riemanna . Szczególny przypadek metryki Lorentza jest znaczący w matematycznej teorii względności , gdzie krzywizna skalarna i krzywizna Ricciego są podstawowymi wyrazami równania pola Einsteina .

Jednak w przeciwieństwie do tensora krzywizny Riemanna lub tensora Ricciego, krzywizny skalarnej nie można zdefiniować dla dowolnego połączenia afinicznego , ponieważ ślad pola tensorowego (0,2) jest źle zdefiniowany. Istnieją jednak inne uogólnienia krzywizny skalarnej, w tym geometria Finslera .

Notacja tradycyjna

W kontekście notacji indeksu tensorowego często używa się litery R do reprezentowania trzech różnych rzeczy:

1. tensor krzywizny Riemanna: R _ijk ^l lub R _ijkl
2. tensor Ricciego: R _ij
3. krzywizna skalarna: R

Te trzy są następnie odróżniane od siebie na podstawie liczby wskaźników: tensor Riemanna ma cztery indeksy, tensor Ricciego ma dwa indeksy, a skalar Ricciego ma indeksy zerowe. Inne oznaczenia używane dla krzywizny skalarnej to skala , κ , K , r , s lub S i τ .

Ci, którzy nie używają notacji indeksowej, zwykle rezerwują R dla pełnego tensora krzywizny Riemanna. Alternatywnie, w notacji bez współrzędnych można użyć Riema dla tensora Riemanna, Ric dla tensora Ricciego i R dla krzywizny skalarnej.

Niektórzy autorzy zamiast tego definiują krzywiznę Ricciego i krzywiznę skalarną ze współczynnikiem normalizacji, tak że

${\ Displaystyle R_ {ij} = {\ Frac {1} {n-1}} g ^ {kl} R_ {kijl} {\ tekst {i}} R = {\ Frac {1} {n}} g ^ {ij}R_{ij}.}$

Celem takiego wyboru jest to, że krzywizny Ricciego i skalarne stają się wartościami średnimi (a nie sumami) krzywizn przekrojowych.

Podstawowe właściwości

Podstawowym faktem jest to, że krzywizna skalarna jest niezmienna w izometriach . Mówiąc ściślej, jeśli f jest dyfeomorfizmem z przestrzeni M do przestrzeni N , przy czym ta ostatnia jest wyposażona w (pseudo-)riemannowską metrykę g , to krzywizna skalarna metryki pullback na M jest równa składowi krzywizny skalarnej g z mapą f . Sprowadza się to do twierdzenia, że ​​krzywizna skalarna jest dobrze zdefiniowana geometrycznie, niezależnie od wyboru wykresu współrzędnych lub układu lokalnego. Mówiąc bardziej ogólnie, jak można to ująć w języku jednorodności , skutkiem skalowania metryki przez stały czynnik c jest skalowanie krzywizny skalarnej przez odwrotny czynnik c ^-1 .

Ponadto krzywizna skalarna jest (do dowolnego wyboru współczynnika normalizacji) jedyną niezależną od współrzędnych funkcją metryki, która oceniana w środku normalnego wykresu współrzędnych jest wielomianem w pochodnych metryki i ma powyższe właściwość skalowania. Jest to jedno ze sformułowań twierdzenia Vermeila .

Tożsamość Bianchiego

Bezpośrednią konsekwencją tożsamości Bianchiego jest to, że każda (pseudo-)Riemannowska metryka ma tę właściwość, że

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {2}} \ nabla _ {i} R = g ^ {jk} \ nabla _ {j} R_ {ki}.}$

Tożsamość ta nazywana jest skontraktowaną tożsamością Bianchiego . Niemal natychmiastową konsekwencją jest lemat Schura stwierdzający, że jeśli tensor Ricciego jest punktową wielokrotnością metryki, to metryką musi być Einstein (chyba że wymiar wynosi dwa). Co więcej, mówi to, że (z wyjątkiem dwóch wymiarów) metryka jest Einsteinem wtedy i tylko wtedy, gdy tensor Ricciego i krzywizna skalarna są powiązane przez

${\ Displaystyle R_ {ij} = {\ Frac {1} {n}} Rg_ {ij},}$

gdzie n oznacza wymiar. Skontraktowana tożsamość Bianchiego jest również fundamentalna w matematyce ogólnej teorii względności, ponieważ identyfikuje tensor Einsteina jako wielkość podstawową.

rozkład Ricciego

Biorąc pod uwagę (pseudo-)Riemannowską metrykę g na przestrzeni wymiaru n , skalarną częścią krzywizny tensora krzywizny Riemanna jest pole (0,4)-tensorowe

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {n (n-1)}} R (g_ {il} g_ {jk} -g_ {ik} g_ {jl}).}$

(Jest to zgodne z konwencją, że R _ijkl = g _lp ∂ _i Γ _jk ^p − .... ) Tensor ten jest znaczący jako część rozkładu Ricciego ; jest ortogonalny do różnicy między tensorem Riemanna a samym sobą. Pozostałe dwie części rozkładu Ricciego odpowiadają składnikom krzywizny Ricciego, które nie przyczyniają się do krzywizny skalarnej, oraz tensorowi Weyla , która jest częścią tensora Riemanna, która nie ma udziału w krzywiźnie Ricciego. Innymi słowy, powyższe pole tensorowe jest jedyną częścią tensora krzywizny Riemanna, która ma udział w krzywiźnie skalarnej; pozostałe części są do niej prostopadłe i nie wnoszą takiego wkładu. Istnieje również rozkład Ricciego dla krzywizny metryki Kählera .

Podstawowe formuły

Skalarną krzywiznę konforemnie zmienionej metryki można obliczyć:

${\ Displaystyle R (e ^ {2f} g) = e ^ {-2f} {\ duży (} R (g) -2 (n-1) \ Delta ^ {g} f- (n-2) (n -1)g(df,df){\Duży }},}$

stosując konwencję Δ = g ^ij ∇ _i ∇ _j dla operatora Laplace'a-Beltramiego . Alternatywnie,

${\ Displaystyle R (\ psi ^ {4/(n-2)} g) = - {\ Frac {4 {\ Frac {n-1} {n-2}} \ Delta ^ {g} \ psi -R (g)\psi }{\psi ^{\frac {n+2}{n-2}}}}.}$

Przy nieskończenie małej zmianie podstawowej metryki, jedna ma

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe R} {\ częściowe t}} = - \ Delta ^ {g} \ lewo (g ^ {ij} {\ Frac {\ częściowe g_ {ij}} {\ częściowe t}} \right)+\left(\nabla _{k}\nabla _{l}{\frac {\częściowe g_{ij}}{\częściowe t}}-R_{kl}{\frac {\częściowe g_{ij }}{\częściowe t}}\right)g^{ik}g^{jl}.}$

Pokazuje to w szczególności, że główny symbol operatora różniczkowego , który wysyła metrykę do swojej krzywizny skalarnej, jest określony przez

${\ Displaystyle (\ xi _ {i}, h_ {ij}) \ mapsto -g (\ xi, \ xi) g ^ {ij} h_ {ij} + h_ {ij} \ xi ^ {i} \ xi ^ {J}.}$

Ponadto sprzężenie zlinearyzowanego skalarnego operatora krzywizny jest

${\ Displaystyle f \ mapsto \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} f - (\ Delta f) g_ {ij} -fR_{ij},}$

i jest to nadokreślony operator eliptyczny w przypadku metryki riemannowskiej. Bezpośrednią konsekwencją pierwszych wzorów wariacyjnych jest to, że w pierwszym rzędzie metryka Ricciego-płaska Riemanna na zamkniętej rozmaitości nie może zostać zdeformowana tak, aby miała dodatnią lub ujemną krzywiznę skalarną. Również do pierwszego rzędu, metryka Einsteina na zamkniętej rozmaitości nie może zostać zdeformowana przy normalizacji objętości, tak aby zwiększyć lub zmniejszyć krzywiznę skalarną.

Zależność między objętością a krzywizną skalarną Riemanna

Kiedy krzywizna skalarna jest dodatnia w punkcie, objętość małej kuli geodezyjnej wokół punktu ma mniejszą objętość niż kula o tym samym promieniu w przestrzeni euklidesowej. Z drugiej strony, gdy krzywizna skalarna w pewnym punkcie jest ujemna, objętość małej kulki jest większa niż w przestrzeni euklidesowej.

Można to uczynić bardziej ilościowym, aby scharakteryzować dokładną wartość krzywizny skalarnej S w punkcie p riemannowskiej rozmaitości n ${\ Displaystyle (M, g)}$ . Mianowicie, stosunek n -wymiarowej objętości kuli o promieniu ε w rozmaitości do objętości odpowiadającej jej kuli w przestrzeni euklidesowej jest dany dla małego ε przez

${\ Displaystyle {\ Frac {\ nazwa operatora {tom} (B _ {\ varepsilon} (p) \ podzbiór M)}} {\ nazwa operatora {tom} \ lewo (B_ {\ varepsilon} (0) \ podzbiór {\ mathbb {R } }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right). }$

Zatem druga pochodna tego stosunku, obliczona dla promienia ε = 0, jest dokładnie minus krzywizna skalarna podzielona przez 3 ( n + 2).

Granice tych kulek to ( n - 1) -wymiarowe kule o promieniu ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ; ich miary hiperpowierzchni („obszary”) spełniają następujące równanie:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {obszar} (\ częściowy B _ {\ varepsilon} (p) \ podzbiór M)} {\ operatorname {obszar} (\ częściowy B_ {\ varepsilon} (0) \ podzbiór {\ mathbb {R} }^{n}}}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{3}\right).}$

Te rozszerzenia uogólniają pewne charakterystyki krzywizny Gaussa z wymiaru drugiego do wymiarów wyższych.

Przypadki specjalne

Powierzchnie

W dwóch wymiarach krzywizna skalarna jest dokładnie dwa razy większa od krzywizny Gaussa. Dla powierzchni osadzonej w przestrzeni euklidesowej R ³ oznacza to, że

${\ Displaystyle S = {\ Frac {2} {\ rho _ {1} \ rho _ {2}}} \,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ rho _ {1}, \ \ rho _ {2}}$ są głównymi promieniami powierzchni. Na przykład krzywizna skalarna 2-kuli o promieniu r jest równa 2/ r ² .

Dwuwymiarowy tensor krzywizny Riemanna ma tylko jedną niezależną składową i można go wyrazić w postaci krzywizny skalarnej i postaci pola metrycznego. Mianowicie, w dowolnym układzie współrzędnych, jeden ma

${\ Displaystyle 2R_ {1212} \ = S \ det (g_ {ij}) = S \ lewo [g_ {11} g_ {22} - (g_ {12}) ^ {2} \ prawo].}$

Formy kosmiczne

Forma przestrzenna jest z definicji rozmaitością riemannowską o stałej krzywiźnie przekroju. Formy przestrzenne są lokalnie izometryczne do jednego z następujących typów:

Przestrzeń euklidesowa

Tensor Riemanna n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej znika identycznie, więc krzywizna skalarna również znika.

n -kul

Krzywizna przekroju n - kuli o promieniu r wynosi K = 1/ r ² . Stąd krzywizna skalarna to S = n ( n - 1)/ r ² .

Przestrzeń hiperboliczna

Według modelu hiperboloidy , n -wymiarową przestrzeń hiperboliczną można utożsamić z podzbiorem ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni Minkowskiego

${\ displaystyle x_ {0} ^ {2 }-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

Parametr r jest niezmiennikiem geometrycznym przestrzeni hiperbolicznej , a krzywizna przekroju to K = −1/ r ² . Krzywizna skalarna jest więc S = − n ( n − 1)/ r ² .

Krzywizna skalarna jest również stała, gdy dana jest metryka Kählera stałej holomorficznej krzywizny przekroju .

Produkty

Krzywizna skalarna iloczynu M × N rozmaitości riemannowskich jest sumą krzywizn skalarnych M i N . Na przykład dla dowolnej gładkiej rozmaitości zamkniętej M , M × S ² ma metrykę dodatniej krzywizny skalarnej, po prostu przyjmując, że 2-sfera jest mała w porównaniu z M (tak, że jego krzywizna jest duża). Ten przykład może sugerować, że krzywizna skalarna ma niewielki związek z globalną geometrią rozmaitości. W rzeczywistości ma to pewne znaczenie globalne, jak omówiono poniżej .

Zarówno w matematyce, jak i ogólnej teorii względności wypaczone metryki produktu są ważnym źródłem przykładów. Na przykład ogólna czasoprzestrzeń Robertsona-Walkera , ważna dla kosmologii , to metryka Lorentza

${\ Displaystyle - dt ^ {2} + f (t) ^ {2} g}$

na ( a , b ) × M , gdzie g jest metryką Riemanna o stałej krzywiźnie na trójwymiarowej rozmaitości M . Skalarna krzywizna metryki Robertsona-Walkera jest określona wzorem

${\ Displaystyle 6 {\ Frac {f '(t) ^ {2} + f (t) f ' '(t)+6k}{f(t)^{2}}},}$

gdzie k jest stałą krzywizną g .

Skalarno-płaskie przestrzenie

To jest automatyczne, że każda rozmaitość płaska Ricciego ma zerową krzywiznę skalarną; najbardziej znanymi przestrzeniami w tej klasie są rozmaitości Calabiego – Yau . W kontekście pseudo-riemanna obejmuje to również czasoprzestrzeń Schwarzschilda i czasoprzestrzeń Kerra .

Istnieją metryki z zerową krzywizną skalarną, ale niezerową krzywizną Ricciego. Na przykład istnieje kompletna metryka Riemanna na wiązce linii tautologicznych w rzeczywistej przestrzeni rzutowej , zbudowana jako metryka wypaczonego produktu , która ma zerową krzywiznę skalarną, ale niezerową krzywiznę Ricciego. Można to również postrzegać jako obrotowo-symetryczną metrykę Riemanna o zerowej krzywiźnie skalarnej na walcu R × S ⁿ .

Problem z Yamabe

Główny artykuł: problem Yamabe

Problem Yamabe został rozwiązany w 1984 roku dzięki połączeniu wyników uzyskanych przez Hidehiko Yamabe , Neila Trudingera , Thierry'ego Aubina i Richarda Schoena . Udowodnili, że każdą gładką metrykę riemannowską na zamkniętej rozmaitości można pomnożyć przez pewną gładką dodatnią funkcję, aby otrzymać metrykę o stałej krzywiźnie skalarnej. Innymi słowy, każda metryka Riemanna na zamkniętej rozmaitości jest zgodna z metryką o stałej krzywiźnie skalarnej.

Metryki riemannowskie dodatniej krzywizny skalarnej

Dla zamkniętej 2-rozmaitości Riemanna M , krzywizna skalarna ma wyraźny związek z topologią M , wyrażoną twierdzeniem Gaussa – Bonneta : całkowita krzywizna skalarna M jest równa 4 π razy większa od charakterystyki Eulera M . Na przykład jedynymi zamkniętymi powierzchniami z metryką dodatniej krzywizny skalarnej są te z dodatnią charakterystyką Eulera: kula S ² i RP ² . Ponadto te dwie powierzchnie nie mają metryk o krzywiźnie skalarnej ≤ 0.

Wyniki nieistnienia

W latach sześćdziesiątych André Lichnerowicz odkrył, że na rozmaitości spinowej różnica między kwadratem operatora Diraca a tensorem Laplace'a (zgodnie z definicją pól spinorowych) jest określona dokładnie przez jedną czwartą krzywizny skalarnej. Jest to podstawowy przykład wzoru Weitzenböcka . W konsekwencji, jeśli metryka riemannowska na zamkniętej rozmaitości ma dodatnią krzywiznę skalarną, to nie może istnieć harmonicznych spinorów . Jest to zatem konsekwencja twierdzenia o indeksie Atiyah-Singera że dla każdej zamkniętej rozmaitości spinowej o wymiarze podzielnym przez cztery i dodatniej krzywiźnie skalarnej rodzaj musi zniknąć. Jest to czysto topologiczna przeszkoda w istnieniu metryk Riemanna z dodatnią krzywizną skalarną.

Argument Lichnerowicza za pomocą operatora Diraca można „przekręcić” wiązką wektorów pomocniczych , czego skutkiem jest wprowadzenie tylko jednego dodatkowego składnika do wzoru Lichnerowicza. Następnie, przeprowadzając tę ​​samą analizę, co powyżej, z wyjątkiem użycia rodzinnej wersji twierdzenia o indeksie i udoskonalonej wersji rodzaju  znanego jako rodzaj α , Nigel Hitchin udowodnił, że w pewnych wymiarach istnieją sfery egzotyczne które nie mają żadnych riemannowskich metryk dodatniej krzywizny skalarnej. Gromow i Lawson później szeroko stosowali te warianty pracy Lichnerowicza. Jedno z wynikających z nich twierdzeń wprowadza homotopyczno-teoretyczne pojęcie powiększalności i mówi, że powiększalna rozmaitość spinowa nie może mieć riemannowskiej metryki dodatniej krzywizny skalarnej. W rezultacie zamknięta rozmaitość z metryką Riemanna o niedodatniej krzywiźnie, taka jak torus , nie ma metryki z dodatnią krzywizną skalarną. Różne wyniki Gromova i Lawsona dotyczące nieistnienia metryk Riemanna z dodatnią krzywizną skalarną potwierdzają przypuszczenie o zniknięciu szerokiej gamy niezmienników topologicznych dowolnej zamkniętej rozmaitości spinowej z dodatnią krzywizną skalarną. To z kolei (w precyzyjnym sformułowaniu) byłoby szczególnym przypadkiem silnej hipotezy Nowikowa dla grupy podstawowej , która zajmuje się K-teorią C*-algebr . To z kolei jest szczególnym przypadkiem hipotezy Bauma-Connesa dla grupy podstawowej.

W szczególnym przypadku rozmaitości czterowymiarowych równania Seiberga-Wittena zostały użytecznie zastosowane do badania krzywizny skalarnej. Podobnie jak w przypadku analizy Lichnerowicza, kluczem jest zastosowanie zasady maksimum do udowodnienia, że ​​rozwiązania równań Seiberga-Wittena muszą być trywialne, gdy krzywizna skalarna jest dodatnia. Również analogicznie do pracy Lichnerowicza twierdzenia o indeksach mogą gwarantować istnienie nietrywialnych rozwiązań równań. Taka analiza dostarcza nowych kryteriów nieistnienia metryk dodatniej krzywizny skalarnej. Claude LeBrun realizował takie idee w wielu artykułach.

Wyniki istnienia

W przeciwieństwie do powyższych wyników nieistnienia, Lawson i Yau skonstruowali Riemanna metryki dodatniej krzywizny skalarnej z szerokiej klasy nieabelowych efektywnych działań grupowych.

Później Schoen-Yau i Gromov-Lawson (używając różnych technik) udowodnili fundamentalny wniosek, że istnienie metryk riemannowskich dodatniej krzywizny skalarnej jest zachowane przez chirurgię topologiczną w kowymiarze co najmniej trzech, aw szczególności jest zachowane przez spójną sumę . To potwierdza istnienie takich metryk na wielu różnych rozmaitościach. Na przykład natychmiast pokazuje, że połączona suma dowolnej liczby kopii sferycznych form przestrzeni i uogólnionych cylindrów S ^m × S ⁿ ma riemannowską metrykę dodatniej krzywizny skalarnej. Konstrukcja przepływu Ricciego z chirurgią Grigorija Perelmana ma, jako bezpośredni wniosek, odwrotność w przypadku trójwymiarowym: zamknięta, orientowalna 3-rozmaitość z riemannowską metryką dodatniej krzywizny skalarnej musi być taką spójną sumą.

Opierając się na operacji, na którą pozwala konstrukcja Gromowa – Lawsona i Schoena – Yau, Gromov i Lawson zauważyli, że twierdzenie h-kobordyzmu i analizę pierścienia kobordyzmu można zastosować bezpośrednio. Udowodnili, że w wymiarze większym niż cztery, każda niespinowa, po prostu połączona zamknięta rozmaitość ma riemannowską metrykę dodatniej krzywizny skalarnej. Stephan Stolz uzupełnił teorię istnienia dla prosto połączonych rozmaitości zamkniętych w wymiarze większym niż cztery, pokazując, że dopóki rodzaj α wynosi zero, to istnieje riemannowska metryka dodatniej krzywizny skalarnej.

Zgodnie z tymi wynikami, dla rozmaitości zamkniętych istnienie metryk riemannowskich o dodatniej krzywiźnie skalarnej jest całkowicie ustalone w przypadku trójwymiarowym oraz w przypadku rozmaitości prosto połączonych o wymiarze większym niż cztery.

Twierdzenie o trychotomii Kazdana i Warnera

Znak krzywizny skalarnej ma słabszy związek z topologią w wyższych wymiarach. Biorąc pod uwagę gładką, zamkniętą rozmaitość M o wymiarze co najmniej 3, Kazdan i Warner rozwiązali określony problem krzywizny skalarnej , opisując, które gładkie funkcje na M powstają jako krzywizna skalarna jakiejś metryki Riemanna na M . Mianowicie M musi należeć dokładnie do jednego z następujących trzech typów:

1. Każda funkcja na M jest skalarną krzywizną jakiejś metryki na M .
2. Funkcja na M jest skalarną krzywizną pewnej metryki na M wtedy i tylko wtedy, gdy jest albo identycznie zerowa, albo gdzieś ujemna.
3. Funkcja na M jest skalarną krzywizną jakiejś metryki na M wtedy i tylko wtedy, gdy jest gdzieś ujemna.

Zatem każda rozmaitość o wymiarze co najmniej 3 ma metrykę z ujemną krzywizną skalarną, w rzeczywistości o stałej ujemnej krzywiźnie skalarnej. Wynik Kazdana-Warnera skupia uwagę na kwestii, które rozmaitości mają metrykę o dodatniej krzywiźnie skalarnej, która jest równoważna własności (1). Przypadek graniczny (2) można opisać jako klasę rozmaitości o metryce silnie skalarno-płaskiej , czyli metryce o zerowej krzywiźnie skalarnej takiej, że M nie ma metryki o dodatniej krzywiźnie skalarnej.

Akito Futaki wykazał, że silnie skalarno-płaskie metryki (jak zdefiniowano powyżej) są niezwykle wyjątkowe. Dla prosto połączonej rozmaitości Riemanna M o wymiarze co najmniej 5, która jest silnie skalarno-płaska, M musi być iloczynem rozmaitości riemannowskich z grupą holonomii SU ( n ) ( rozmaitości Calabiego – Yau ), Sp ( n ) ( rozmaitości hiperkählera ), lub Zakręć(7). W szczególności te metryki są płaskie Ricciego, a nie tylko płaskie skalarne. I odwrotnie, istnieją przykłady rozmaitości z tymi grupami holonomii, takie jak powierzchnia K3 , które są spinowe i mają niezerowy niezmiennik α, stąd są silnie skalarne.

Zobacz też

• Podstawowe wprowadzenie do matematyki zakrzywionej czasoprzestrzeni
• Niezmiennik Yamabe
• Skalar Kretschmanna

Notatki

•     Aubin, Thierry (1998). Niektóre problemy nieliniowe w geometrii riemannowskiej . Monografie Springera z matematyki. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-662-13006-3 . ISBN 3-540-60752-8 . MR 1636569 . Zbl 0896.53003 .
•     Bao, D.; Chern, S.-S. ; Shen, Z. (2000). Wprowadzenie do geometrii Riemanna-Finslera . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 200. Nowy Jork: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X . MR 1747675 . Zbl 0954.53001 .
•     Berger, Marcel (2003). Panoramiczny widok geometrii Riemanna . Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-18245-7 . ISBN 3-540-65317-1 . MR 2002701 . Zbl 1038.53002 .
•     Berline, Nicole ; Getzler, Ezdrasz ; Vergne, Michele (2004). Jądra cieplne i operatory Diraca . Grundlehren Text Editions (poprawiony przedruk oryginalnego wydania z 1992 r.). Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-58088-8 . ISBN 978-3-540-20062-8 . MR 2273508 . Zbl 1037.58015 .
•     Besse, Arthur L. (1987). Rozmaitości Einsteina . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Tom. 10. Przedruk w 2008. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN 3-540-15279-2 . MR 0867684 . Zbl 0613.53001 .
•     Blackadar, Bruce (1998). K-teoria algebr operatorów . Publikacje Instytutu Nauk Matematycznych. Tom. 5 (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1986 r.). Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1007/978-1-4613-9572-0 . ISBN 0-521-63532-2 . MR 1656031 . Zbl 0913.46054 .
• 
     Cao, Huai Dong ; Zhu, Xi-Ping (2006). „Kompletny dowód hipotez Poincarégo i geometryzacji - zastosowanie teorii przepływu Ricciego Hamiltona-Perelmana” . Asian Journal of Mathematics . 10 (2): 165–492. doi : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . MR 2233789 . Zbl 1200.53057 . (Erratum: doi : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 ) – – (2006). „Dowód Hamiltona-Perelmana hipotezy Poincarégo i hipotezy geometryzacji”. arXiv : matematyka/0612069 .
•     do Carmo, Manfredo Perdigão (1992). geometria riemannowska . Matematyka: teoria i zastosowania . Przetłumaczone z drugiego wydania portugalskiego przez Francisa Flaherty'ego. Boston, MA: Birkäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8 . MR 1138207 . Zbl 0752.53001 .
•     Chavel, Izaak (1984). Wartości własne w geometrii riemannowskiej . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 115. Orlando, Floryda: Prasa akademicka . doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN 0-12-170640-0 . MR 0768584 . Zbl 0551.53001 .
•     Gallot, Sylwester ; Hulin, Dominik ; Lafontaine, Jacques (2004). geometria riemannowska . Universitext (wyd. Trzecie). Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-642-18855-8 . ISBN 3-540-20493-8 . MR 2088027 . Zbl 1068.53001 .
•     Gilkey, Peter B. (1995). Teoria niezmienniczości, równanie ciepła i twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera . Studies in Advanced Mathematics (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1984 r.). Boca Raton, Floryda: CRC Naciśnij . doi : 10.1201/9780203749791 . ISBN 0-8493-7874-5 . MR 1396308 . Zbl 0856.58001 .
•     Jost, Jurgen (2017). Geometria riemannowska i analiza geometryczna . Universitext (siódme wydanie oryginalnego wydania z 1995 r.). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-61860-9 . ISBN 978-3-319-61859-3 . MR 3726907 . Zbl 1380.53001 .
•    Kleiner, Bruce ; Lott, John (2008). Zaktualizowano do poprawek w 2011 i 2013 roku. „Notatki o dokumentach Perelmana” . Geometria i topologia . 12 (5): 2587–2855. doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . MR 2460872 . Zbl 1204.53033 .
•     Lawson, H. Blaine Jr .; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometria spinu . Seria matematyczna Princeton. Tom. 38. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 0-691-08542-0 . MR 1031992 . Zbl 0688.57001 .
•    Lee, John M .; Parker, Thomas H. (1987). „Problem Yamabe” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Nowa seria. 17 (1): 37–91. doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15514-5 . MR 0888880 . Zbl 0633.53062 .
•     O'Neill, Barrett (1983). Geometria semi-riemanna. Z zastosowaniami do teorii względności . Matematyka czysta i stosowana . Tom. 103. Nowy Jork: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN 0-12-526740-1 . MR 0719023 . Zbl 0531.53051 .
• Perelman, Grisza (marzec 2003). „Ricci flow z operacją na trzech rozmaitościach”. arXiv : matematyka/0303109 .
•     Petersena, Piotra (2016). geometria riemannowska . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 171 (trzecie wydanie z 1998 r. Wyd. Oryginalne). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . MR 3469435 . Zbl 1417.53001 .
•   Ricci, G. (1903–1904), „Direzioni e invarianti Principali in una varietà qualunque” , Atti R. Inst. Veneto , 63 (2): 1233–1239, JFM 35.0145.01

Dalsza lektura

• Gromow, Misza (sierpień 2019). „Cztery wykłady na temat krzywizny skalarnej”. arXiv : 1908.10612 [ matematyka.DG ].
•     Rosenberg, Jonathan ; Stolz, Stephan (2001). „Metryki dodatniej krzywizny skalarnej i powiązań z chirurgią”. W Cappell, Sylvain ; Ranicki, Andrzej ; Rosenberg, Jonathan (red.). Ankiety dotyczące teorii chirurgii. Tom 2 . Roczniki Studiów Matematycznych . Tom. 149. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 353–386. CiteSeerX 10.1.1.725.8156 . doi : 10.1515/9781400865215-010 . ISBN 0-691-08814-4 . MR 1818778 .
•    Yau, S.-T. (2000). „Przegląd geometrii i analizy” . Asian Journal of Mathematics . 4 (1): 235–278. doi : 10.4310/AJM.2000.v4.n1.a16 . MR 1803723 . Zbl 1031.53004 .