Lemat Gaussa ( geometria Riemanna )

Ten artykuł dotyczy lematu Gaussa w geometrii Riemanna. W przypadku innych zastosowań zobacz lemat Gaussa .

W geometrii Riemanna , lemat Gaussa stwierdza, że ​​​​każda dostatecznie mała kula wyśrodkowana w punkcie w rozmaitości Riemanna jest prostopadła do każdej geodezyjnej przechodzącej przez ten punkt. Bardziej formalnie, niech M będzie rozmaitością Riemanna , wyposażoną w związek Levi-Civita , a p punktem M . Mapa wykładnicza jest mapowaniem z przestrzeni stycznej w punkcie p do M :

${\ Displaystyle \ operatorname {exp}: T_ {p} M \ do M}$

co jest dyfeomorfizmem w sąsiedztwie zera. Lemat Gaussa głosi, że obraz kuli o dostatecznie małym promieniu w T _p M pod mapą wykładniczą jest prostopadły do ​​wszystkich geodezyjnych rozpoczynających się w p . Lemat pozwala rozumieć mapę wykładniczą jako izometrię radialną i ma fundamentalne znaczenie w badaniu wypukłości geodezyjnej i współrzędnych normalnych .

Wstęp

Definiujemy mapę wykładniczą w ${\ displaystyle p \ in M}$ przez

${\ Displaystyle \ exp _ {p}: T_ {p} M \ supset B _ {\ epsilon} (0) \longrightarrow M,\quad vt\longmapsto \gamma _{p,v}(t),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ gamma _ {p, v}}$ jest unikalnym geodezyjnym z ${\ Displaystyle \ gamma _ {p, v} (0) = p}$ i styczną ${\ Displaystyle \ gamma _ {p, v} '(0) = v \ w T_ {p} M}$ i ${\ Displaystyle \ epsilon}$ jest wybierany na tyle mały, że dla każdego ${\ Displaystyle t \ in [0,1], vt \ in B _ {\ epsilon} (0) \ podzbiór T_ {p} M}$ geodezyjny jest zdefiniowany ${\ Displaystyle \ gamma _ {p, v} (t)} .$ Tak więc, jeśli jest kompletne, to zgodnie z twierdzeniem Hopfa-Rinowa exp $displaystyle M}$${\ displaystyle \ exp _ {p}}$ jest zdefiniowany na całej przestrzeni stycznej.

Niech ${\ Displaystyle \ alpha: I \ rightarrow T_ {p} M}$ będzie krzywą różniczkowalną w ${\ Displaystyle T_ {p} M}$ taką, że ${\ Displaystyle \ alfa (0): = 0}$ i ${\ Displaystyle \ alpha '(0): = v}$ . ponieważ ${\ Displaystyle T_ {p} M \ cong \ mathbb {R} ^ {n}}$ , jasne jest, że możemy wybrać ${\ displaystyle \ alpha (t): = vt}$ . W tym przypadku, z definicji różniczki wykładniczej zastosowanej względem , otrzymujemy: $v}$$displaystyle$

${\ Displaystyle T_ {0} \ exp _ {p} (v) = {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ Bigl (} \ exp _ {p} \ circ \ alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{ p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma _ {p,v}(t){\Bigr )}{\Duży \vert }_{t=0}=\gamma _{p,v}'(0)=v.}$

$}$ właściwą identyfikacją) exp $\ displaystyle \ exp$ jest tożsamością. $jest$ z twierdzeniem o funkcji ukrytej dyfeomorfizmem w sąsiedztwie . $M}$ . Lemat Gaussa mówi teraz, że ${\ displaystyle \ exp _ {p}}$ jest również izometrią radialną.

Mapa wykładnicza jest izometrią radialną

Niech ${\ displaystyle p \ w M}$ . W dalszej części dokonujemy identyfikacji ${\ Displaystyle T_ {v} T_ {p} M \ cong T_ {p} M \ cong \ mathbb {R} ^ {n} }$ .

Lemat Gaussa stwierdza: Niech ${\ Displaystyle v, w \ in B _ {\ epsilon} (0) \ podzbiór T_ {v} T_ {p} M \ cong T_ {p} M}$ i ${\ Displaystyle M \ ni q: = \ exp _ {p} (v)}$ . Wtedy ${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w) \ rangle _ {q} = \ langle v, w \ rangle _ {p} .}$

Dla ${\ Displaystyle p \ in M}$ ten lemat oznacza, że ${\ Displaystyle v \ w B _ {\ epsilon} (0)}$$promieniową$ w następującym sensie: niech $zdefiniowane$ . takie, że jest dobrze . I niech ${\ Displaystyle q: = \ exp _ {p} (v) \ w M}$ . Wtedy wykładniczy $bardziej$ izometrią w $geodezyjnej$${\ Displaystyle \ gamma _ {p, v} (1) = \ exp _ {p} (v)}$ na całej $długości$ (o ile jest dobrze zdefiniowane)! Następnie promieniście we wszystkich kierunkach dozwolonych przez dziedzinę definicji ${\ displaystyle \ exp _ {p}}$ pozostaje izometrią.

Mapa wykładnicza jako izometria radialna

Dowód

Odwołaj to

${\ Displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} \ dwukropek T_ {p} M \ cong T_ {v} T_ {p} M \ supset T_ {v} B _ {\ epsilon} (0) \ longrightarrow T_ {\ exp _{p}(v)}M.}$

Postępujemy w trzech krokach:

• ${\ Displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (v) = v}$ : skonstruujmy krzywą

${\ Displaystyle \ alfa: \ mathbb {R} \ supset I \ rightarrow T_ {p} M}$ takie, że ${\ Displaystyle \ alpha (0 ): = v \ w T_ {p} M}$ i ${\ Displaystyle \ alfa '(0): = v \ w T_ {v} T_ { p}M\cong T_{p}M}$ . Ponieważ $_$ _ ${\ Displaystyle \ alfa (t): = v (t + 1)}$ . Dlatego,

${\ Displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (v) = {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ Bigl (} \ exp _ {p }\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} t}}{\Bigl (} \exp _{p}(tv){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1}=\Gamma (\gamma)_{p}^{\exp _{p}(v)}v =v,}$

gdzie jest operatorem transportu równoległego i $γ$$(tv)}$ . Ostatnia równość jest prawdziwa, ponieważ $równoległa$$dlatego$ jest .

Teraz obliczmy iloczyn skalarny ${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _{p}(w)\rangle }$ .

Rozdzielamy ${$ składową równoległą do i składową normalną do $displaystyle$$v$$} w$$displaystyle$ . W szczególności umieszczamy ${\ displaystyle w_ {T}: = av}$ , ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$ .

Poprzedni krok implikuje bezpośrednio:

${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w) \ rangle = \ langle T_ {v} \ exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{T})\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _ {p}(w_ {N})\rangle }$

${\ Displaystyle = a \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (v) \ rangle + \ langle T_ {v} \ exp _ {p} ( v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{T}\rangle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_ {v}\exp _{p}(w_{N})\rangle .}$

Musimy więc pokazać, że drugi wyraz jest zerowy, ponieważ zgodnie z Lematem Gaussa musimy mieć:

${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\langle v,w_{N}\rangle =0.}$

• ${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_{N})\rangle =0}$ :

Krzywa wybrana do udowodnienia lematu

Zdefiniujmy krzywą

${\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek [- \ epsilon, \ epsilon] \ razy [0,1] \ longrightarrow T_ {p} M, \ qquad (s, t) \ longmapsto tv + tsw_ {N}.}$

Zauważ to

${\ Displaystyle \ alfa (0,1) = v, \ qquad {\ Frac {\ częściowe \ alfa} {\ częściowe t}} (s, t) = v + sw_ {N}, \ qquad {\ frac {\ częściowe \alpha }{\częściowe s}}(0,t)=tw_{N}.}$

umieśćmy:

${\ Displaystyle f \ dwukropek [- \ epsilon, \ epsilon] \ razy [0,1]\longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp _{p}(tv+tsw_{N}),}$

i obliczamy:

${\ Displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (v) = T _ {\ alfa (0,1)} \ exp _ {p} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ alfa }{\częściowe t}}(0,1)\right)={\frac {\częściowe }{\częściowe t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){ \Bigr )}{\Duży \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\częściowe f}{\częściowe t}}(0,1)}$

I

${\ Displaystyle T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) = T _ {\ alfa (0,1)} \ exp _ {p} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe \ alfa}} {\ częściowe s}}(0,1)\right)={\frac {\częściowe }{\częściowe s}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr ) }{\Duża \vert}_{t=1,s=0}={\frac {\częściowa f}{\częściowa s}}(0,1).}$

Stąd

${\ Displaystyle \ langle T_ {v} \ exp _ {p} (v), T_ {v} \ exp _ {p} (w_ {N}) \ rangle = \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowe f} {\częściowe t}},{\frac {\częściowe f}}{\częściowe s}}\prawo\rangle (0,1).}$

Możemy teraz sprawdzić, czy ten iloczyn skalarny jest faktycznie niezależny od zmiennej , a zatem na przykład: ${\ displaystyle t }$

${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}}, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe s}} \ prawo \ rangle (0,1) = \ lewo \ langle {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}}, {\ frac {\częściowy f}{\częściowy s}}\right\rangle (0,0)=0,}$

ponieważ zgodnie z tym, co zostało podane powyżej:

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ strzałka w prawo 0} {\ Frac {\ częściowe f} {\ częściowe s}}(0,t)=\lim _{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp _{p}(tw_{N})=0}$

biorąc pod uwagę, że różniczka jest mapą liniową. Będzie to zatem dowodem lematu.

• Sprawdzamy, czy ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy t }},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =0}$ : to jest obliczenie bezpośrednie. Ponieważ mapy są geodezyjnymi, ${\ Displaystyle t \ mapsto f (s, t)}$ są geodezyjne,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy t}}, {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy s}} \ w prawo\rangle =\lewo\langle \underbrace {{\frac {D}{\częściowe t}}{\frac {\częściowe f}{\częściowe t}}} _{=0},{\frac {\częściowe f} {\ częściowe s}} \ prawo \ rangle + \ lewo \ langle {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}}, {\ frac {D} {\ częściowe t}} {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe s}} \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}}, {\ frac {D} {\ częściowe s}}} {\ frac {\ częściowe f}{\częściowe t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\częściowe }{\częściowe s}}\left\langle {\frac {\częściowe f}{\ częściowe t}}, {\ frac {\ częściowe f} {\ częściowe t}} \ prawo \ rangle .}$

$\ Displaystyle t$ mapy $fa$ funkcja . Zatem,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy s}} \ lewo \ langle {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy t}}, {\ Frac {\ częściowy f} {\ częściowy t}} \ prawy\rangle ={\frac {\częściowy}}{\częściowy s}}\lewy\langle v+sw_{N},v+sw_{N}\prawy\rangle =2\lewy\langle v,w_{N} \right\rangle =0.}$

Zobacz też

• geometria riemannowska
• Tensor metryczny

•   do Carmo, Manfredo (1992), geometria Riemanna , Bazylea, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2