Rozmaitość Finslera

„Finsler” przekierowuje tutaj. Dla matematyka ta rozmaitość została nazwana, patrz Paul Finsler .

W matematyce , zwłaszcza w geometrii różniczkowej , rozmaitość Finslera jest rozmaitością różniczkowalną M , w której (prawdopodobnie asymetryczny ) funkcjonał Minkowskiego F ( x , -) jest zapewniony na każdej przestrzeni stycznej T _x M , co umożliwia zdefiniowanie długości dowolnej gładkiej krzywej γ : [ za , b ] → M as

${\ Displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} F \ lewo (\ gamma (t), {\ kropka {\ gamma}} (t) \ prawej) \, \ operatorname {d} T.}$

Rozmaitości Finslera są bardziej ogólne niż rozmaitości Riemanna , ponieważ normy styczne nie muszą być indukowane przez iloczyny wewnętrzne .

Każda rozmaitość Finslera staje się wewnętrzną przestrzenią kwazymetryczną , gdy odległość między dwoma punktami jest zdefiniowana jako dolna długość łączących je krzywych.

Élie Cartan ( 1933 ) nazwał rozmaitości Finslera na cześć Paula Finslera , który badał tę geometrię w swojej rozprawie ( Finsler 1918 ).

Definicja

Rozmaitość Finslera jest rozmaitością różniczkowalną M wraz z metryką Finslera , która jest ciągłą nieujemną funkcją F : TM M → [0, + ∞) określoną na wiązce stycznej tak, że dla każdego punktu x z M ,

• fa ( v + w ) ≤ fa ( v ) + fa ( w ) dla każdych dwóch wektorów v , w stycznych do M w x ( subaddytywność ).
• F (λ v ) = λ F ( v ) dla wszystkich λ ≥ 0 (ale niekoniecznie dla λ < 0) ( jednorodność dodatnia ).
• F ( v ) > 0 chyba że v = 0 ( dodatnia określoność ).

Innymi słowy, F ( x , −) jest asymetryczną normą w każdej przestrzeni stycznej T _x M . Metryka Finslera F musi być również gładka , a dokładniej:

• F jest gładka na dopełnieniu sekcji zerowej TM .

Aksjomat subaddytywności można następnie zastąpić następującym warunkiem silnej wypukłości :

• Dla każdego wektora stycznego v ≠ 0 , macierz Hessego F ² w v jest dodatnio określona .

Tutaj Hessian z F2 ^symetryczną w v jest postacią dwuliniową

${\ Displaystyle \ mathbf {g} _ {v} (X, Y): = {\ Frac {1} {2}} \ lewo. {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe s\częściowe t}}\lewo[F(v+sX+tY)^{2}\prawo]\prawo|_{s=t=0},}$

znany również jako podstawowy tensor F przy v . Silna wypukłość F implikuje subaddytywność ze ścisłą nierównością, jeśli u / F ( u ) ≠ v / F ( v ) . Jeśli F jest silnie wypukła, to jest normą Minkowskiego na każdej przestrzeni stycznej.

Metryka Finslera jest odwracalna , jeśli dodatkowo

• fa (− v ) = fa ( v ) dla wszystkich wektorów stycznych v .

Odwracalna metryka Finslera definiuje normę (w zwykłym sensie) w każdej przestrzeni stycznej.

Przykłady

• Gładkie podrozmaitości (w tym otwarte podzbiory) znormalizowanej przestrzeni wektorowej o skończonym wymiarze są rozmaitościami Finslera, jeśli norma przestrzeni wektorowej jest gładka poza początkiem układu współrzędnych.
• Rozmaitości riemannowskie (ale nie rozmaitości pseudoriemannowskie ) są szczególnymi przypadkami rozmaitości Finslera.

Rozmaitości Randersa

Niech ${\ Displaystyle (M, a)}$ będzie rozmaitością riemannowską , a b różniczkową jedynką na M z

$Displaystyle \ | b \ | _ {a}: = {\ sqrt {a ^ {ij} b_ {i} b_ {j}} }< 1,}$

gdzie $\ Displaystyle \ lewo (a ^ {ij} \$$odwrotną$ i używana jest notacja Einsteina . Następnie

${\ Displaystyle F (x, v): = {\ sqrt {a_ {ij} (x) v ^ {i}v^{j}}}+b_{i}(x)v^{i}}$

definiuje metrykę Randersa na M i jest $rozmaitością$ Randersa rozmaitości Finslera

Gładkie przestrzenie kwazymetryczne

Niech ( M , d ) będzie quasimetryką , tak że M jest także rozmaitością różniczkowalną i d jest zgodne ze strukturą różniczkową M w następującym sensie:

• Wokół dowolnego punktu z na M istnieje gładki wykres ( U , φ) M i stałej C ≥ 1 taki, że dla każdego x , y ∈ U

  ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {C}} \|\ phi (y) - \ phi (x) \|\ równoważnik d (x, y) \ równoważnik C \|\ phi (y) - \ phi ( x)\|.}$

• Funkcja d : M × M → [0, ∞] jest gładka w pewnym przebitym sąsiedztwie przekątnej.

Wtedy można zdefiniować funkcję Finslera F : TM →[0, ∞] przez

${\ Displaystyle F (x, v): = \ lim _ {t \ do 0 +} {\ Frac { d(\gamma (0),\gamma (t))}{t}},}$

gdzie γ jest dowolną krzywą w M z γ (0) = x i γ' (0) = v. Uzyskana w ten sposób funkcja Finslera F ogranicza się do asymetrycznej (zwykle innej niż Minkowski) normy na każdej przestrzeni stycznej M . Indukowaną metrykę wewnętrzną d _L : M × M → [0, ∞] pierwotnej quasimetryki można odzyskać z

${\ Displaystyle d_ {L} (x, y): = \ inf \ lewo \ {\ \ lewo .\int _{0}^{1}F\left(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t)\right)\,dt\ \right|\ \gamma \in C^{ 1}([0,1],M)\ ,\ \gamma (0)=x\ ,\ \gamma (1)=y\ \right\},}$

iw rzeczywistości każda funkcja Finslera F : TM M → [0, ∞) definiuje wewnętrzną kwasimetryczną d _L na M za pomocą tego wzoru.

Geodezja

Ze względu na jednorodność długości F

${\ Displaystyle L [\ gamma]: = \ int _ {a} ^ {b} F \ lewo (\$

krzywej różniczkowalnej γ : [ a , b ] → M w M jest niezmiennikiem przy dodatnio zorientowanych reparametryzacjach . Krzywa stałej prędkości γ jest geodezyjną rozmaitością Finslera, jeśli jej wystarczająco krótkie odcinki γ | _{[ c , d ]} minimalizują długość w M od γ ( c ) do γ ( d ). Równoważnie, γ jest geodezyjne, jeśli jest stacjonarne dla funkcjonału energii

$int _ {a}^{b}F^{2}\left(\gamma (t),{\kropka {\gamma}}(t)\right)\,dt}$

w tym sensie, że jej pochodna funkcyjna znika wśród różniczkowalnych krzywych γ : [ a , b ] → M ze stałymi punktami końcowymi γ ( a ) = x i γ ( b ) = y .

Kanoniczna struktura rozpylania na rozmaitości Finslera

Eulera -Lagrange'a dla funkcjonału energii E [ γ ] odczytuje się we współrzędnych lokalnych ( x ¹ , ..., x ⁿ , v ¹ , ..., v ⁿ ) TM jako

${\ Displaystyle g_ {ik} {\ duży (} \ gamma (t), {\ kropka {\gamma}}(t){\Duży}}{\ddot {\gamma}}^{i}(t)+\left({\frac {\częściowe g_{ik}}{\częściowe x^{j }}}{\Duża (}\gamma (t),{\dot {\gamma}}(t){\Duża)}-{\frac {1}{2}}{\frac {\częściowa g_{ij }}{\częściowy x^{k}}}{\Duży (}\gamma (t),{\dot {\gamma}}(t){\Duży)}\right){\dot {\gamma}} ^{i}(t){\kropka {\gamma}}^{j}(t)=0,}$

gdzie k = 1, ..., n i g _ij jest reprezentacją współrzędnych podstawowego tensora, zdefiniowanego jako

${\ Displaystyle g_ {ij} (x, v): = g_ {v} \ lewo (\ lewo. {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {i}}} \ prawo | _ {x}, \ lewo.{\frac {\częściowo }{\częściowo x^{j}}}\prawo|_{x}\prawo).}$

Zakładając silną wypukłość F ² ( x , v ) względem v ∈ T _x M , macierz g _ij ( x , v ) jest odwracalna, a jej odwrotność oznaczamy przez g ^ij ( x , v ). Wtedy γ : [ a , b ] → M jest geodezyjną z ( M , F ) wtedy i tylko wtedy, gdy jej krzywa styczna γ' : [ a , b ] → TM M ∖{0} jest krzywą całkową gładkiego pola wektorowego H na TM ∖ {0} lokalnie zdefiniowane przez

${\ Displaystyle \ lewo.H \ prawo | _ {(x, v)}: = \ lewo. v ^ {i} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {i}} }\right|_{(x,v)}\!\!-\left.2G^{i}(x,v){\frac {\częściowy }{\częściowy v^{i}}}\right| _{(x,v)},}$

gdzie lokalne współczynniki rozpylania G ⁱ są podane przez

${\ Displaystyle G ^ {i} (x, v): = {\ Frac {1} {4}} g ^ {ij} (x, v) \ lewo (2 {\ Frac {\ częściowe g_ {jk}} {\częściowe x^{\ell}}}(x,v)-{\frac {\częściowe g_{k\ell}}{\częściowe x^{j}}}(x,v)\right)v^ {k}v^{\ell}.}$

Pole wektorowe H na TM ∖ {0} spełnia JH = V i [ V , H ] = H , gdzie J i V to kanoniczny endomorfizm i kanoniczne pole wektorowe na TM ∖{0}. Stąd z definicji H jest sprayem na M . Strumień H definiuje nieliniowe połączenie na wiązce włókien T M ∖{0} → M poprzez rzut pionowy

${\ Displaystyle v: T (\ operatorname {T} M \ setminus \ {0 \}) \ do T (\ operatorname {T} M \ setminus \ {0 \}); \ quad v: = {\ frac {1 }{2}}{\big (}I+{\mathcal {L}}_{H}J{\big)}.}$

W analogii do przypadku Riemanna istnieje wersja

${\ Displaystyle D _ {\ kropka {\ gamma}} D _ {\ kropka {\ gamma}} X ( t)+R_{\kropka {\gamma}}\left({\kropka {\gamma}}(t),X(t)\right)=0}$

równania Jacobiego dla ogólnej struktury rozprysku ( M , H ) pod względem krzywizny Ehresmanna i nieliniowej pochodnej kowariantnej .

Wyjątkowość i minimalizowanie właściwości geodezji

Zgodnie z twierdzeniem Hopfa-Rinowa zawsze istnieją krzywe minimalizujące długość (przynajmniej w wystarczająco małych sąsiedztwach) na ( M , F ). Krzywe minimalizujące długość można zawsze pozytywnie przeparametryzować, aby były geodezyjne, a każda geodezyjna musi spełniać równanie Eulera-Lagrange'a dla E [ γ ]. Zakładając silną wypukłość F ² istnieje jednoznaczna maksymalna geodezyjna γ z γ (0) = x i γ' (0) = v dla dowolnego ( x , v ) ∈ T M ∖{0} przez niepowtarzalność krzywych całkowych .

Jeśli F ² jest silnie wypukła, geodezja γ : [0, b ] → M minimalizuje długość wśród pobliskich krzywych, aż pierwszy punkt γ ( s ) sprzęży się z γ (0) wzdłuż γ , a dla t > s zawsze istnieją krótsze krzywe od γ (0) do γ ( t ) w pobliżu γ , jak w przypadku Riemanna .

Notatki

•    Antonelli, Peter L. , wyd. (2003), Podręcznik geometrii Finslera. Tom. 1, 2 , Boston: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1557-1 , MR 2067663
•    Bao, Dawid; Chern, Shiing-Shen ; Shen, Zhongmin (2000). Wprowadzenie do geometrii Riemanna-Finslera . Absolwent Teksty z matematyki. Tom. 200. Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-1268-3 . ISBN 0-387-98948-X . MR 1747675 .
•   Cartan, Élie (1933), „Sur les espaces de Finsler”, CR Acad. nauka Paryż , 196 : 582–586, Zbl 0006.22501
•   Chern, Shiing-Shen (1996), „Geometria Finslera to po prostu geometria Riemanna bez ograniczeń kwadratowych” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 43 (9): 959–63, MR 1400859
•   Finsler, Paul (1918), Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen , Dissertation, Göttingen, JFM 46.1131.02 (przedruk Birkhäuser (1951))
•    Rund, Hanno (1959). Geometria różniczkowa przestrzeni Finslera . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Tom. 101. Berlin – Getynga – Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-3-642-51610-8 . ISBN 978-3-642-51612-2 . MR 0105726 .
•    Shen, Zhongmin (2001). Wykłady z geometrii Finslera . Singapur: świat naukowy. doi : 10.1142/4619 . ISBN 981-02-4531-9 . MR 1845637 .

Linki zewnętrzne

• „Przestrzeń Finslera, uogólniona” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• (Nowy) biuletyn Finslera