Metryka wewnętrzna

W matematycznym badaniu przestrzeni metrycznych można wziąć pod uwagę długość łuku ścieżek w przestrzeni. Jeśli dwa punkty znajdują się w określonej odległości od siebie, to naturalne jest oczekiwanie, że jeden powinien być w stanie przejść z pierwszego punktu do drugiego po ścieżce, której długość łuku jest równa (lub bardzo zbliżona) do tej odległości. Odległość między dwoma punktami przestrzeni metrycznej względem metryki wewnętrznej jest definiowana jako najmniejsza długość wszystkich ścieżek od pierwszego punktu do drugiego. Przestrzeń metryczna to a przestrzeń metryki długości , jeśli wewnętrzna metryka zgadza się z pierwotną metryką przestrzeni.

Jeśli przestrzeń ma silniejszą właściwość, że zawsze istnieje ścieżka, która osiąga infimum długości (geodezyjne ) , to nazywa się ją geodezyjną przestrzenią metryczną lub przestrzenią geodezyjną . Na przykład płaszczyzna euklidesowa jest przestrzenią geodezyjną, której geodezją są odcinki linii . Płaszczyzna euklidesowa z początkiem nie jest geodezyjna, ale nadal jest przestrzenią metryczną długości.

Definicje

Niech będzie $przestrzenią$ metryczną , tj. zbiorem punktów (takich jak wszystkie punkty na płaszczyźnie lub $na$ ) i ${\ Displaystyle d (x, y)}$ to funkcja, która zapewnia nam odległość między punktami ${\ Displaystyle x, y \ in M}$ . Definiujemy nową metrykę ${\ displaystyle d _ {\ tekst {I}}}$ na ${\ displaystyle M}$ , znany jako indukowana wewnętrzna metryka , w następujący sposób: $y)}$${\ displaystyle d _ {\ tekst {I}} ( x$$\ displaystyle y}$ to infimum długości wszystkich ścieżek od do ${$ .

Tutaj ścieżka od do $jest$$\ displaystyle y}$ ciągłą mapą

${\ Displaystyle \ gamma \ dwukropek [0,1] \ strzałka w prawo M}$

z ${\ Displaystyle \ gamma (0) = x}$ i ${\ Displaystyle \ gamma (1) = y}$ . Długość takiej ścieżki jest zdefiniowana tak, jak wyjaśniono dla krzywych prostowalnych . Ustawiamy ${\ Displaystyle d _ {\ tekst {I}} (x, y) = \ infty},$ jeśli nie ma ścieżki o skończonej długości od ${\ displaystyle x}$ do ${\ displaystyle y}$ . Jeśli

${\ Displaystyle d _ {\ tekst {I}} (x, y) = d (x, y)}$

x ${\ Displaystyle x}$ i ${\ Displaystyle y}$ w ${\ Displaystyle M}$ mówimy, że ${\ Displaystyle (M, d)}$ przestrzenią długości lub przestrzenią metryczną ścieżki a $nieodłączna$ jest . _

Mówimy, że metryka $,$ przybliżone punkty środkowe jeśli dla dowolnego $\$ pary punktów i ${\ displaystyle$$y}$ w $displaystyle M}$ istnieje w ${\ Displaystyle$$M}$ tak, że ${\ Displaystyle d (x, c)$ i ${\ Displaystyle d (c, y)}$ są mniejsze niż

${\ Displaystyle {{d (x, y) \ ponad 2} + {\ varepsilon}}}$ .

Przykłady

• Przestrzeń euklidesowa ze zwykłą $euklidesową$ jest przestrzenią metryczną ścieżki ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} - \ {0 \}}$ też jest.
• Okrąg jednostkowy z metryką odziedziczoną z metryki euklidesowej $przestrzenią$$jest$ ) nie ścieżkową Indukowana wewnętrzna metryka na $mierzy$ odległości jako kąty w radianach , a wynikająca z tego przestrzeń metryczna długości nazywana riemannowskim . W dwóch wymiarach metryka akordowa na kuli nie jest wewnętrzna, a indukowana metryka wewnętrzna jest określona przez odległość ortodromy .
• Każdą połączoną rozmaitość riemannowską można przekształcić w przestrzeń metryczną ścieżki, definiując odległość dwóch punktów jako wartość dolną z długości różniczkowalnych w sposób ciągły krzywych łączących te dwa punkty. (Struktura Riemanna pozwala określić długość takich krzywych.) Analogicznie, inne rozmaitości, w których zdefiniowana jest długość, obejmowały rozmaitości Finslera i rozmaitości podrzędne .
• Każda zupełna i wypukła przestrzeń metryczna jest długościową przestrzenią metryczną ( Khamsi i Kirk 2001 , Twierdzenie 2.16), w wyniku Karla Mengera . Jednak sytuacja odwrotna nie zachodzi, tj. istnieją przestrzenie metryczne długości, które nie są wypukłe.

Nieruchomości

• Ogólnie rzecz biorąc, mamy i dlatego topologia zdefiniowana przez jest zawsze dokładniejsza lub równa $Displaystyle d \ równoważnik$$_ {\ tekst {I}}$ do tego zdefiniowanego przez ${\ displaystyle d}$ .
• Przestrzeń ${\ Displaystyle (M, d _ {\ tekst {I}})}$ jest zawsze przestrzenią metryczną ścieżki (z zastrzeżeniem, jak wspomniano powyżej, że ${\ displaystyle d_ {\ tekst { I}}}$ może być nieskończony).
• Metryka przestrzeni długości ma przybliżone punkty środkowe. I odwrotnie, każda pełna przestrzeń metryczna z przybliżonymi punktami środkowymi jest przestrzenią długości.
• Hopfa -Rinowa $geodezją$ , że ​​​​jeśli przestrzeń długości jest kompletna i lokalnie zwarta $i$ to dowolne połączyć minimalizującą wszystkimi ograniczone zbiory $zwarte$ w są . _

• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, red.) Tom I, 908 s., Springer International Publishing, 2018. Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, red.) Tom II,

• 842 s., Springer International Publishing, 2018.

•   Gromow, Michaił (1999), Struktury metryczne dla przestrzeni riemannowskich i nieriemannowskich , Progress in Math., tom. 152, Birkäuser, ISBN 0-8176-3898-9
•   Khamsi, Mohamed A .; Kirk, William A. (2001), Wprowadzenie do przestrzeni metrycznych i teorii punktów stałych , Wiley-IEEE, ISBN 0-471-41825-0