Odległość po ortodromie

Diagram ilustrujący odległość po ortodromie (narysowaną na czerwono) między dwoma punktami na kuli, P i Q. Pokazano również dwa antypodalne punkty , u i v.

Odległość po ortodromie , odległość ortodromiczna lub odległość sferyczna to odległość wzdłuż koła wielkiego .

Jest to najkrótsza odległość między dwoma punktami na powierzchni kuli , mierzona wzdłuż powierzchni kuli (w przeciwieństwie do linii prostej przechodzącej przez wnętrze kuli). Odległość między dwoma punktami w przestrzeni euklidesowej to długość prostej między nimi, ale na kuli nie ma prostych. W przestrzeniach z krzywizną linie proste są zastępowane liniami geodezyjnymi . Geodezja na kuli to okręgi na kuli, których środki pokrywają się ze środkiem kuli i nazywane są „wielkimi kołami”.

Określenie odległości po ortodromie jest częścią bardziej ogólnego problemu nawigacji po ortodromie , w której oblicza się również azymuty w punktach końcowych i pośrednich.

Przez dowolne dwa punkty na kuli, które nie są punktami antypodalnymi (bezpośrednio naprzeciw siebie), istnieje wyjątkowe koło wielkie. Te dwa punkty dzielą wielkie koło na dwa łuki. Długość krótszego łuku to odległość między punktami po ortodromie. Koło wielkie obdarzone taką odległością nazywa się kołem riemannowskim w geometrii riemannowskiej .

$wszystkie łuki kół wielkich$ punktami antypodalnymi mają długość równą połowie obwodu koła , czyli gdzie r jest promieniem kuli

Ziemia jest prawie kulista , więc wzory na odległość po ortodromie podają odległość między punktami na powierzchni Ziemi z dokładnością do około 0,5% .

Wierzchołek jest punktem o najwyższej szerokości geograficznej na wielkim kole.

Formuły

Ilustracja kąta środkowego Δσ między dwoma punktami P i Q. λ i φ to odpowiednio kąty wzdłużne i równoleżnikowe punktu P

Niech ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ phi _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ lambda _ {2}, \ phi _ {2}} będzie$ długością geograficzną i szerokość $ich$ dwóch punktów 1 i 2 różnicami następnie ${\ Displaystyle \ Delta \ sigma}$ , kąt środkowy między nimi, jest określone przez sferyczne twierdzenie cosinusów , jeśli jeden z biegunów jest użyty jako pomocniczy trzeci punkt na kuli:

{\ Displaystyle \ Delta \ sigma = \ arccos {\ bigl (} \ sin \ phi _ {1} \ sin \ phi _ {2} + \ cos \ phi _ {1} \ cos \ phi _ {2} \ cos (\Delta \lambda ){\bigr )}.}

Problem jest zwykle wyrażany w kategoriach znalezienia kąta środkowego ${\ Displaystyle \ Delta \ sigma}$ . Biorąc pod uwagę ten kąt w radianach, rzeczywistą długość łuku d na kuli o promieniu r można w trywialny sposób obliczyć jako

{\ Displaystyle d = r \, \ delta \ sigma.}

Wzory obliczeniowe

W systemach komputerowych o niskiej precyzji zmiennoprzecinkowej sferyczne prawo formuły cosinusów może mieć duże błędy zaokrąglenia , jeśli odległość jest niewielka (jeśli dwa punkty są oddalone od siebie o kilometr na powierzchni Ziemi, cosinus kąta środkowego jest bliski 0,99999999 ). W przypadku nowoczesnych 64-bitowych liczb zmiennoprzecinkowych podane powyżej sferyczne prawo cosinusów nie zawiera poważnych błędów zaokrąglenia dla odległości większych niż kilka metrów na powierzchni Ziemi. Formuła haversine jest numerycznie lepiej uwarunkowana dla małych odległości:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta \ sigma & = \ nazwa operatora {archav} \ lewo (\ nazwa operatora {hav} \ lewo (\ Delta \ phi \ po prawej) + \ lewo (1- \ nazwa operatora {hav} ( \Delta \phi )-\operatorname {hav} (\phi _{1}+\phi _{2})\right)\cdot \operatorname {hav} \left(\Delta \lambda \right)\right)\ \&=2\arcsin {\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\Delta \phi }{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left( {\frac {\Delta \phi }{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\phi _{1}+\phi _{2}}{2}}\right )\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\Delta \lambda}{2}}\right)}}.\end{wyrównane}}}

Historycznie użycie tego wzoru zostało uproszczone dzięki dostępności tablic dla funkcji haversine : hav( θ ) = sin ² ( θ /2).

Chociaż ta formuła jest dokładna dla większości odległości na kuli, również obarczona jest błędami zaokrąglania dla specjalnego (i nieco niezwykłego) przypadku punktów na antypodach. Formuła, która jest dokładna dla wszystkich odległości, jest następującym szczególnym przypadkiem wzoru Vincenty'ego dla elipsoidy o równych głównych i mniejszych osiach:

{\ Displaystyle \ Delta \ sigma = \ arctan {\ Frac {\ sqrt {\ lewo (\ cos \ phi _ {2} \ sin (\ Delta \ lambda) \ prawo) ^ {2} + \ lewo (\ cos \ phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )\right)^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos(\Delta \lambda )}}.}

Tutaj kwadrant dla powinien być rządzony znakami licznika i mianownika prawej strony, np. $Za$ atan2 .

Wersja wektorowa

Inną reprezentację podobnych wzorów, ale używających wektorów normalnych zamiast szerokości i długości geograficznej do opisania pozycji, można znaleźć za pomocą algebry wektorów 3D , używając iloczynu skalarnego , iloczynu krzyżowego lub kombinacji:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta \ sigma & = \ arccos \ lewo (\ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2} \ prawej) \\& = \ arcsin \ left|\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2}\right|\\&=\arctan {\frac {\left|\mathbf {n} _{1}\times \ mathbf {n} _{2}\right|}{\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}}}\\\end{wyrównane}}}

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {n} _ {2}}$ są normalnymi do elipsoidy w dwóch pozycjach 1 i 2. Podobnie do równań powyżej oparte na szerokości i długości geograficznej, wyrażenie oparte na arctan jest jedynym, które jest dobrze uwarunkowane dla wszystkich kątów . Wyrażenie oparte na arctanach wymaga wielkości iloczynu krzyżowego przez iloczyn skalarny.

Od długości cięciwy

Linia przechodząca przez trójwymiarową przestrzeń między punktami zainteresowania na kulistej Ziemi to cięciwa koła wielkiego między punktami. Kąt środkowy między dwoma punktami można określić na podstawie długości cięciwy. Odległość wielkiego koła jest proporcjonalna do kąta środkowego.

Długość cięciwy koła wielkiego można obliczyć dla odpowiedniej sfery jednostkowej za pomocą odejmowania kartezjańskiego w następujący sposób : do ${\ Displaystyle C_ {h} \, \!$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Delta {X} & = \ cos \ phi _ {2} \ cos \ lambda _ {2 }-\cos \phi _{1}\cos \lambda _{1};\\\Delta {Y}&=\cos \phi _{2}\sin \lambda _{2}-\cos \phi _ {1}\sin \lambda _{1};\\\Delta {Z}&=\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1};\\C&={\sqrt {(\Delta {X})^{2}+(\Delta {Y})^{2}+(\Delta {Z})^{2}}}\end{wyrównane}}}

Kąt środkowy to:

{\ Displaystyle \ Delta \ sigma = 2 \ arcsin {\ Frac {C} {2}}.}

Promień kulistej Ziemi

Równikowe ( a ), biegunowe ( b ) i średnie promienie Ziemi zgodnie z definicją w rewizji Światowego Systemu Geodezyjnego z 1984 r . ( Bez skali .)

Kształt Ziemi bardzo $przypomina$ spłaszczoną kulę ( sferoidę ) o promieniu równikowym km; odległość $.$ środka sferoidy do każdego bieguna wynosi 6356,7523142 km Podczas obliczania długości krótkiej linii północ-południe na równiku okrąg, który najlepiej przybliża tę linię, ma promień ${\ textstyle {\ frac {b ^ {2}}}}$ (co jest równe południka semi-latus rectum $lub$ km, podczas gdy sferoidę na biegunach najlepiej przybliża kula o promieniu 6399,594 km, różnica 1 . Tak długo, jak zakłada się kulistą Ziemię, każdy pojedynczy wzór na odległość na Ziemi gwarantuje poprawność tylko w granicach 0,5% (chociaż lepsza dokładność jest możliwa, jeśli wzór ma zastosowanie tylko do ograniczonego obszaru). Używając średniego promienia ziemi , ${\textstyle R_ {1}={\frac {1}{3}}(2a+b)\około 6371.009{\text{km}}}$ (dla elipsoidy WGS84 ) oznacza, że w granicy małego spłaszczenia, średniokwadratowy błąd względny oszacowań odległości jest zminimalizowany.

Zobacz też

Referencje i notatki

Linki zewnętrzne

Great Circle w MathWorld