Geometria sferyczna

Suma kątów trójkąta sferycznego nie jest równa 180°. Kula jest zakrzywioną powierzchnią, ale lokalnie prawa płaskiej (planarnej) geometrii euklidesowej są dobrymi przybliżeniami. W małym trójkącie na powierzchni ziemi suma kątów jest tylko nieznacznie większa niż 180 stopni.

Kula z trójkątem sferycznym.

Geometria sferyczna to geometria dwuwymiarowej powierzchni kuli . Geometria sferyczna , od dawna badana pod kątem praktycznych zastosowań — trygonometrii sferycznej — w nawigacji , wykazuje wiele podobieństw i związków z geometrią płaszczyzny euklidesowej oraz istotnych różnic . Kula była w większości badana jako część trójwymiarowej geometrii euklidesowej (często nazywanej geometrią bryłową ), powierzchnia uważana za umieszczoną w otaczającej przestrzeni trójwymiarowej. Można to również analizować metodami „wewnętrznymi”, które obejmują tylko samą powierzchnię i nie odnoszą się ani nawet nie zakładają istnienia otaczającej przestrzeni na zewnątrz lub wewnątrz kuli.

Zasady

W geometrii płaskiej (euklidesowej) podstawowymi pojęciami są punkty i (proste) linie . W geometrii sferycznej podstawowymi pojęciami są punkt i koło wielkie . Jednak dwa koła wielkie na płaszczyźnie przecinają się w dwóch antypodach, w przeciwieństwie do linii współpłaszczyznowych w geometrii eliptycznej .

W zewnętrznym trójwymiarowym obrazie wielkie koło jest przecięciem kuli z dowolną płaszczyzną przechodzącą przez środek. W podejściu wewnętrznym koło wielkie jest geodezyjne ; najkrótsza droga między dowolnymi dwoma jego punktami, pod warunkiem, że są one wystarczająco blisko. Lub, w (również wewnętrznym) podejściu aksjomatycznym, analogicznym do aksjomatów geometrii płaszczyzny Euklidesa, „wielkie koło” jest po prostu terminem niezdefiniowanym, wraz z postulatami określającymi podstawowe relacje między kołami wielkimi a także niezdefiniowanymi „punktami”. Jest to to samo, co metoda Euklidesa polegająca na traktowaniu punktu i linii jako niezdefiniowanych pojęć pierwotnych i aksjomatyzacji ich relacji.

Wielkie koła pod wieloma względami odgrywają taką samą logiczną rolę w geometrii sferycznej, jak linie w geometrii euklidesowej, np. jako boki (sferycznych) trójkątów. To więcej niż analogia; geometrię sferyczną i płaską oraz inne można ujednolicić pod parasolem geometrii zbudowanej z pomiaru odległości , gdzie „linie” oznaczają najkrótsze ścieżki (geodezja). Wiele stwierdzeń dotyczących geometrii punktów i takich „linii” jest równie prawdziwych we wszystkich tych geometriach, pod warunkiem, że linie są zdefiniowane w ten sposób, a teorię można łatwo rozszerzyć na wyższe wymiary. Niemniej jednak, ponieważ jej zastosowania i pedagogika są związane z geometrią bryłową i ponieważ uogólnienie traci pewne ważne właściwości linii na płaszczyźnie, geometria sferyczna zwykle w ogóle nie używa terminu „linia” w odniesieniu do czegokolwiek na samej kuli. W ramach geometrii bryłowej wykorzystuje się punkty, linie proste i płaszczyzny (w sensie euklidesowym) w otaczającej przestrzeni.

W geometrii sferycznej kąty są definiowane między kołami wielkimi, co skutkuje sferyczną trygonometrią , która różni się od zwykłej trygonometrii pod wieloma względami; na przykład suma kątów wewnętrznych trójkąta sferycznego przekracza 180 stopni.

Stosunek do podobnych geometrii

Ponieważ kula i płaszczyzna różnią się geometrycznie, (wewnętrzna) geometria sferyczna ma pewne cechy geometrii nieeuklidesowej i czasami jest opisywana jako jedna. Jednak geometria sferyczna nie była uważana za pełnoprawną geometrię nieeuklidesową wystarczającą do rozwiązania starożytnego problemu, czy postulat równoległości jest logiczną konsekwencją pozostałych aksjomatów geometrii płaskiej Euklidesa, ponieważ wymaga zmodyfikowania innego aksjomatu. Zamiast tego rozdzielczość została znaleziona w geometrii eliptycznej , z którą ściśle związana jest geometria sferyczna, oraz w geometrii hiperbolicznej ; każda z tych nowych geometrii wprowadza inną zmianę do postulatu równoległości.

Zasady dowolnej z tych geometrii można rozszerzyć na dowolną liczbę wymiarów.

Ważną geometrią związaną z geometrią kuli jest geometria rzeczywistej płaszczyzny rzutowej ; uzyskuje się go, identyfikując punkty antypodalne (pary przeciwległych punktów) na kuli. Lokalnie płaszczyzna rzutowa ma wszystkie właściwości geometrii sferycznej, ale ma inne właściwości globalne. W szczególności jest nieorientowalny lub jednostronny iw przeciwieństwie do kuli nie można go narysować jako powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej bez przecinania się.

Koncepcje geometrii sferycznej można również zastosować do podłużnej kuli , chociaż w niektórych wzorach należy wprowadzić drobne modyfikacje.

Historia

starożytność grecka

Najwcześniejszym dziełem matematycznym starożytności, które sięga naszych czasów, jest O obracającej się kuli (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) autorstwa Autolykosa z Pitane , który żył pod koniec IV wieku pne.

Trygonometria sferyczna była badana przez wczesnych greckich matematyków , takich jak Teodozjusz z Bitynii , grecki astronom i matematyk, który napisał Sphaerics , książkę o geometrii kuli, oraz Menelaos z Aleksandrii , który napisał książkę o trygonometrii sferycznej o nazwie Sphaerica i rozwinął Menelaosa ' twierdzenie .

świat islamu

Zobacz także: Matematyka w średniowiecznym islamie

Księga nieznanych łuków kuli napisana przez islamskiego matematyka Al-Jayyaniego jest uważana za pierwszy traktat o trygonometrii sferycznej. Książka zawiera wzory na trójkąty prawoskrętne, ogólne prawo sinusów oraz rozwiązanie trójkąta sferycznego za pomocą trójkąta biegunowego.

Księga O trójkątach Regiomontanusa , napisana około 1463 roku, jest pierwszą czysto trygonometryczną pracą w Europie. Jednak Gerolamo Cardano zauważył sto lat później, że większość jego materiału na temat trygonometrii sferycznej została zaczerpnięta z XII-wiecznych prac andaluzyjskiego uczonego Jabira ibn Aflaha .

dzieło Eulera

Leonhard Euler opublikował serię ważnych wspomnień na temat geometrii sferycznej:

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, s. 233–257; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVII, str. 277–308.
• L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, s. 258–293; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVII, str. 309–339.
• L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, s. 195–216; Opera Omnia, seria 1, tom 28, s. 142–160.
• L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, s. 31–54; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVI, str. 204–223.
• L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini construction, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, s. 91–96; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVI, str. 237–242.
• L. Euler, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, s. 96–114; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVI, str. 344–358.
• L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, s. 72–86; Opera Omnia, seria 1, tom. XXVI, str. 224–236.
• L. Euler, Variae speculationes super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, s. 47–62; Opera Omnia, seria 1, tom. XXIX, str. 253–266.

Nieruchomości

Geometria sferyczna ma następujące właściwości:

• Dowolne dwa koła wielkie przecinają się w dwóch diametralnie przeciwległych punktach, zwanych punktami antypodalnymi .
• Dowolne dwa punkty, które nie są punktami antypodalnymi, wyznaczają unikalne wielkie koło.
• Istnieje naturalna jednostka miary kąta (oparta na obrocie), naturalna jednostka długości (oparta na obwodzie koła wielkiego) i naturalna jednostka powierzchni (oparta na polu kuli).
• Każde wielkie koło jest powiązane z parą punktów antypodalnych, zwanych jego biegunami , które są wspólnymi przecięciami zbioru wielkich kół prostopadłych do niego. Pokazuje to, że koło wielkie jest, w odniesieniu do pomiaru odległości na powierzchni kuli , kołem: zbiorem punktów, z których wszystkie znajdują się w określonej odległości od środka.
• Każdy punkt jest powiązany z unikalnym kołem wielkim, zwanym kołem biegunowym punktu, który jest wielkim kołem na płaszczyźnie przechodzącej przez środek kuli i prostopadłej do średnicy kuli przechodzącej przez dany punkt.

Ponieważ istnieją dwa łuki określone przez parę punktów, które nie są antypodalne, na dużym okręgu, który wyznaczają, trzy niewspółliniowe punkty nie określają unikalnego trójkąta. Jeśli jednak weźmiemy pod uwagę tylko trójkąty, których boki są mniejszymi łukami wielkich kół, mamy następujące właściwości:

• Suma kątów trójkąta jest większa niż 180° i mniejsza niż 540°.
• Pole trójkąta jest proporcjonalne do nadwyżki sumy jego kątów nad 180°.
• Dwa trójkąty o tej samej sumie kątów mają równe pola.
• Istnieje górna granica pola trójkątów.
• Złożenie (iloczyn) dwóch odbić w wielkim kole można uznać za obrót wokół jednego z punktów przecięcia ich osi.
• Dwa trójkąty są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadają skończonemu iloczynowi takich odbić.
• Dwa trójkąty o odpowiednich kątach równych są przystające (tj. wszystkie podobne trójkąty są przystające).

Związek z postulatami Euklidesa

Jeśli „linia” ma oznaczać wielkie koło, geometria sferyczna jest zgodna z dwoma postulatami Euklidesa : drugim postulatem („wytworzyć [przedłużyć] skończoną linię prostą w sposób ciągły w linii prostej”) i czwartym postulatem („że wszystkie kąty proste są sobie równe”). Jednak narusza pozostałe trzy. W przeciwieństwie do pierwszego postulatu („że między dowolnymi dwoma punktami łączy je unikalny odcinek linii”), nie ma unikalnej najkrótszej trasy między dowolnymi dwoma punktami ( punkty antypodalne takie jak bieguny północny i południowy na sferycznej kuli ziemskiej są kontrprzykładami); wbrew trzeciemu postulatowi kula nie zawiera okręgów o dowolnie dużych promieniach; i wbrew piątemu (równoległemu) postulatowi nie ma punktu, przez który można poprowadzić linię, która nigdy nie przecina danej linii.

Stwierdzenie, które jest równoważne postulatowi równoległości, mówi, że istnieje trójkąt, którego kąty sumują się do 180°. Ponieważ geometria sferyczna łamie postulat równoległości, taki trójkąt nie istnieje na powierzchni kuli. Suma kątów trójkąta na kuli wynosi 180°(1 + 4 f ) , gdzie f jest ułamkiem powierzchni kuli, który jest zawarty w tym trójkącie. Dla dowolnej dodatniej wartości f przekracza to 180°.

Zobacz też

• Astronomia sferyczna
• Sferyczny stożek
• Odległość sferyczna
• Sferyczny wielościan
• Formuła połówkowa
• Kula Lénárta
• Wersor

Dalsza lektura

•   Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Podstawowe pojęcia geometrii , Dover, ISBN 0-486-63415-9
•   Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, geometria sferyczna i obliczenia wariacyjne. W: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (reż. X. Hascher et A. Papadopoulos) , CNRS Editions, Paryż, ISBN 978-2-271-08331-9
•   Van Brummelena, Glen (2013). Niebiańska matematyka: zapomniana sztuka trygonometrii sferycznej . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton . ISBN 9780691148922 . Źródło 31 grudnia 2014 r .
•   Roshdi Rashed i Athanase Papadopoulos (2017) Menelaos' Spherics: Early Translation and al-Mahani'/alHarawi's version. Krytyczne wydanie Sfer Menelaosa z rękopisów arabskich, z komentarzami historycznymi i matematycznymi , De Gruyter Series: Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4

Linki zewnętrzne

• Geometria kuli zarchiwizowana 2011-06-21 na Wayback Machine Rice University
• Weisstein, Eric W. „Geometria sferyczna” . MathWorld .
• Arkusze kalkulacyjne nawigacji: trójkąty nawigacji
• Sphaerica - oprogramowanie geometrii do konstruowania na kuli