Kongruencja (geometria)

Przykład kongruencji. Dwa trójkąty po lewej stronie są przystające, a trzeci jest podobny . Ostatni trójkąt nie jest ani przystający, ani podobny do żadnego z pozostałych. Kongruencja pozwala na zmianę niektórych właściwości, takich jak położenie i orientacja, ale pozostawia inne niezmienione, takie jak odległości i kąty . Niezmienne właściwości nazywane są niezmiennikami .

W geometrii dwie figury lub obiekty są przystające , jeśli mają ten sam kształt i rozmiar lub jeśli jeden ma taki sam kształt i rozmiar jak lustrzane odbicie drugiego.

Bardziej formalnie, dwa zbiory punktów nazywane są przystającymi wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich może zostać przekształcony w drugi przez izometrię , tj. kombinację ruchów sztywnych , a mianowicie translację , obrót i odbicie . Oznacza to, że dowolny obiekt można zmienić i odbić (ale nie zmienić jego rozmiaru), tak aby dokładnie pokrywał się z drugim obiektem. Dlatego dwie różne figury płaskie na kartce papieru są przystające, jeśli można je wyciąć, a następnie całkowicie dopasować. Dozwolone jest odwrócenie kartki.

Ten diagram ilustruje geometryczną zasadę kongruencji trójkąta kąt-kąt-bok: dany trójkąt ABC i trójkąt A'B'C', trójkąt ABC jest przystający do trójkąta A'B'C' wtedy i tylko wtedy, gdy: kąt CAB jest przystający do kąta C'A'B', a kąt ABC jest przystający do kąta A'B'C', a BC jest przystający do B'C'. Uwaga: znaki kreskowania służą tutaj do pokazania równości kątów i boków.

W elementarnej geometrii słowo przystający jest często używane w następujący sposób. Słowo równe jest często używane zamiast przystającego dla tych obiektów.

Dwa odcinki linii są przystające, jeśli mają taką samą długość.
Dwa kąty są przystające, jeśli mają taką samą miarę.
Dwa okręgi są przystające, jeśli mają taką samą średnicę.

W tym sensie dwie figury płaskie są przystające , co oznacza, że ich odpowiednie cechy są „przystające” lub „równe”, w tym nie tylko odpowiadające im boki i kąty, ale także odpowiadające im przekątne, obwody i pola.

Powiązana koncepcja podobieństwa ma zastosowanie, jeśli przedmioty mają ten sam kształt, ale niekoniecznie mają ten sam rozmiar. (Większość definicji uważa kongruencję za formę podobieństwa, chociaż mniejszość wymaga, aby obiekty miały różne rozmiary, aby można je było zakwalifikować jako podobne).

Wyznaczanie kongruencji wielokątów

Pomarańczowe i zielone czworoboki są przystające; niebieski nie jest z nimi zgodny. Wszystkie trzy mają ten sam obwód i pole . (Porządek boków niebieskiego czworoboku jest „mieszany”, co powoduje, że dwa kąty wewnętrzne i jedna z przekątnych nie są przystające).

Aby dwa wielokąty były przystające, muszą mieć równą liczbę boków (a zatem równą liczbę — tę samą liczbę — wierzchołków). Dwa wielokąty o n bokach są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z nich ma numerycznie identyczne sekwencje (nawet jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara dla jednego wielokąta i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dla drugiego) kąt-bok-kąt-bok-... dla n boków i n kątów .

Przystawanie wielokątów można ustalić graficznie w następujący sposób:

Najpierw dopasuj i oznacz odpowiednie wierzchołki dwóch figur.
Po drugie, narysuj wektor od jednego z wierzchołków jednej z figur do odpowiedniego wierzchołka drugiej figury. Przekształć pierwszą figurę za pomocą tego wektora, tak aby te dwa wierzchołki pasowały.
Po trzecie, obróć przetłumaczoną figurę wokół dopasowanego wierzchołka, aż jedna para odpowiednich boków będzie pasować.
Po czwarte, odbijaj obróconą figurę wokół tej dopasowanej strony, aż figury będą pasować.

Jeśli w dowolnym momencie krok nie może zostać ukończony, wielokąty nie są przystające.

Kongruencja trójkątów

Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie boki są równej długości, a odpowiadające im kąty są równej miary.

Symbolicznie zapisujemy zgodność i niezgodność dwóch trójkątów $△ ABC$ i $△ A'B'C'$ w następujący sposób:

{\ Displaystyle ABC \ cong A'B'C'}

{\ Displaystyle ABC \ ncong A'B'C'}

W wielu przypadkach wystarczy ustalić równość trzech odpowiednich części i użyć jednego z poniższych wyników, aby wydedukować zgodność dwóch trójkątów.

Kształt trójkąta określa się do kongruencji, określając dwa boki i kąt między nimi (SAS), dwa kąty i bok między nimi (ASA) lub dwa kąty i odpowiadający im bok przyległy (AAS). Określenie dwóch boków i sąsiedniego kąta (SSA) może jednak dać dwa różne możliwe trójkąty.

Wyznaczanie kongruencji

Wystarczające dowody na zgodność między dwoma trójkątami w przestrzeni euklidesowej można przedstawić za pomocą następujących porównań:

SAS (bok-kąt-bok): Jeśli dwie pary boków dwóch trójkątów są równej długości, a zawarte w nich kąty mają równe miary, to trójkąty są przystające.
SSS (bok-bok-bok): Jeśli trzy pary boków dwóch trójkątów są równej długości, to trójkąty są przystające.
ASA (kąt-bok-kąt): Jeśli dwie pary kątów dwóch trójkątów mają równe wymiary, a zawarte w nich boki są równej długości, to trójkąty są przystające.

Postulat ASA został wniesiony przez Talesa z Miletu (grecki). W większości systemów aksjomatów trzy kryteria – SAS, SSS i ASA – są ustalone jako twierdzenia . W systemie Koła Naukowego Matematyki Szkolnej SAS jest traktowany jako jeden (nr 15) z 22 postulatów.

AAS (kąt-kąt-bok): Jeśli dwie pary kątów dwóch trójkątów są równe w pomiarze, a para odpowiednich nieuwzględnionych boków ma równą długość, to trójkąty są przystające. AAS jest równoważne z warunkiem ASA, ponieważ jeśli dane są dowolne dwa kąty, to jest również trzeci kąt, ponieważ ich suma powinna wynosić 180°. ASA i AAS są czasami łączone w jeden warunek, AAcorrS – dowolne dwa kąty i odpowiadający im bok.
RHS (strona przeciwprostokątna pod kątem prostym), znana również jako HL (noga przeciwprostokątna): Jeśli dwa trójkąty prostokątne mają przeciwprostokątne równej długości, a para pozostałych boków ma taką samą długość, to trójkąty są przystające .

Kąt boczny

Warunek SSA (bok-bok-kąt), który określa dwa boki i nieuwzględniony kąt (znany również jako ASS lub kąt-bok-bok), sam w sobie nie dowodzi kongruencji. Aby wykazać zgodność, wymagane są dodatkowe informacje, takie jak miara odpowiednich kątów, aw niektórych przypadkach długości dwóch par odpowiednich boków. Istnieje kilka możliwych przypadków:

Jeśli dwa trójkąty spełniają warunek SSA, a długość boku przeciwległego do kąta jest większa lub równa długości sąsiedniego boku (SSA lub długi bok-krótki bok-kąt), to te dwa trójkąty są przystające. Przeciwny bok jest czasami dłuższy, gdy odpowiednie kąty są ostre, ale zawsze jest dłuższy, gdy odpowiednie kąty są proste lub rozwarte. Tam, gdzie kąt jest kątem prostym, znanym również jako postulat przeciwprostokątnej nogi (HL) lub warunek przeciwprostokątnej przeciwprostokątnej (RHS), trzeci bok można obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa, umożliwiając w ten sposób postulat SSS stosowany.

Jeśli dwa trójkąty spełniają warunek SSA i odpowiadające im kąty są ostre, a długość boku leżącego naprzeciw kąta jest równa długości sąsiedniego boku pomnożonej przez sinus kąta, to te dwa trójkąty są przystające.

Jeżeli dwa trójkąty spełniają warunek SSA i odpowiadające im kąty są ostre, a długość boku przeciwległego do kąta jest większa niż długość sąsiedniego boku pomnożona przez sinus kąta (ale mniejsza niż długość sąsiedniego boku), wtedy nie można wykazać, że dwa trójkąty są przystające. Jest to przypadek niejednoznaczny iz podanych informacji można utworzyć dwa różne trójkąty, ale dalsze rozróżniające je informacje mogą prowadzić do dowodu zgodności.

Kąt-kąt-kąt

W geometrii euklidesowej AAA (kąt-kąt-kąt) (lub po prostu AA, ponieważ w geometrii euklidesowej kąty w trójkącie sumują się do 180°) nie dostarcza informacji dotyczących wielkości dwóch trójkątów, a zatem dowodzi jedynie podobieństwa, a nie kongruencja w przestrzeni euklidesowej.

Jednak w geometrii sferycznej i geometrii hiperbolicznej (gdzie suma kątów trójkąta zmienia się wraz z rozmiarem) AAA wystarcza do uzyskania kongruencji na danej krzywiźnie powierzchni.

CPCTC

Ten akronim oznacza odpowiednie części przystających trójkątów są przystające , co jest skróconą wersją definicji przystających trójkątów.

Bardziej szczegółowo, jest to zwięzły sposób, aby powiedzieć, że jeśli trójkąty $ABC$ i $DEF$ są przystające, to znaczy,

\ Displaystyle \ trójkąt ABC \ cong \ trójkąt DEF}

z odpowiednimi parami kątów w wierzchołkach $A$ i $D$ ; $B$ i $E$ ; i $C$ i $F$ oraz z odpowiednimi parami boków $AB$ i $DE$ ; $pne$ i $WF$ ; oraz $CA$ i $FD$ , to następujące stwierdzenia są prawdziwe:

\ cong {\ overline {DE}}} b do Ż

EF}}}

\ Displaystyle {\ overline {BC}} \ cong {\

re fa {\ Displaystyle \ kąt BAC \ cong \

\ cong {\ overline {DF}}}

{\ Displaystyle \ kąt ABC \ cong \ kąt DEF}

{\ Displaystyle \ kąt BCA \ cong \ kąt EFD.}

Stwierdzenie jest często używane jako uzasadnienie w elementarnych dowodach geometrii, gdy po ustaleniu przystawania trójkątów potrzebny jest wniosek o zgodności części dwóch trójkątów. Na przykład, jeśli kryteria SSS wykazały, że dwa trójkąty są przystające, aw dowodzie potrzebne jest stwierdzenie, że odpowiednie kąty są przystające, wówczas jako uzasadnienie tego stwierdzenia można użyć CPCTC.

Powiązanym twierdzeniem jest CPCFC , w którym „trójkąty” zastępuje się „figurami”, tak że twierdzenie to ma zastosowanie do dowolnej pary wielokątów lub wielościanów , które są przystające.

Definicja kongruencji w geometrii analitycznej

W systemie euklidesowym kongruencja jest fundamentalna; jest odpowiednikiem równości dla liczb. W geometrii analitycznej kongruencję można zdefiniować intuicyjnie w następujący sposób: dwa odwzorowania figur na jeden kartezjański układ współrzędnych są przystające wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch punktów w pierwszym odwzorowaniu odległość euklidesowa między nimi jest równa odległości euklidesowej między odpowiednimi punkty w drugim mapowaniu.

Bardziej formalna definicja mówi, że dwa podzbiory A i B przestrzeni euklidesowej R ⁿ są nazywane przystającymi, jeśli istnieje izometria f : R ⁿ → R ⁿ (element grupy euklidesowej E ( n )) z f ( A ) = B . Kongruencja jest relacją równoważności .

Przystające przekroje stożkowe

Dwa przekroje stożkowe są przystające, jeśli ich mimośrody i inny charakterystyczny parametr, który je charakteryzuje, są równe. Ich mimośrody określają ich kształty, których równość jest wystarczająca do ustalenia podobieństwa, a drugi parametr określa rozmiar. Ponieważ dwa koła , parabole lub prostokątne hiperbole mają zawsze tę samą ekscentryczność (konkretnie 0 w przypadku okręgów, 1 w przypadku parabol i w przypadku prostokątnych hiperbol) ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ , dwa okręgi, parabole lub prostokątne hiperbole muszą mieć tylko jedną wspólną wartość parametru, określającą ich rozmiar, aby były przystające.

Przystające wielościany

Dla dwóch wielościanów tego samego typu kombinatorycznego (to znaczy o tej samej liczbie E krawędzi, tej samej liczbie ścian i tej samej liczbie boków na odpowiednich ścianach) istnieje zestaw pomiarów E , które mogą ustalić, czy wielościany są przystające. Liczba jest niewielka, co oznacza, że pomiary mniejsze niż E nie wystarczą, jeśli wielościany są rodzajowe wśród ich kombinatorycznych typów. Ale mniej pomiarów może działać w szczególnych przypadkach. Na przykład sześciany mają 12 krawędzi, ale wystarczy 9 pomiarów, aby zdecydować, czy wielościan tego typu kombinatorycznego jest przystający do danego sześcianu foremnego.

Przystające trójkąty na kuli

Podobnie jak w przypadku płaskich trójkątów, na kuli dwa trójkąty mające tę samą sekwencję kąt-bok-kąt (ASA) są koniecznie przystające (to znaczy mają trzy identyczne boki i trzy identyczne kąty). Można to zobaczyć w następujący sposób: Można ustawić jeden z wierzchołków o zadanym kącie na biegunie południowym i poprowadzić bok o danej długości w górę południka zerowego. Znajomość obu kątów na obu końcach odcinka o ustalonej długości zapewnia, że pozostałe dwa boki emanują jednoznacznie określoną trajektorią, a zatem spotkają się ze sobą w jednoznacznie określonym punkcie; zatem ASA jest ważny.

Twierdzenia o kongruencji bok-kąt-bok (SAS) i bok-bok-bok (SSS) również dotyczą sfery; ponadto, jeśli dwa trójkąty sferyczne mają identyczną sekwencję kąt-kąt-kąt (AAA), są one przystające (w przeciwieństwie do płaskich trójkątów).

Twierdzenie o kongruencji płaszczyzna-trójkąt kąt-kąt-bok (AAS) nie obowiązuje dla trójkątów sferycznych. Podobnie jak w geometrii płaskiej, kąt boczny-boczny (SSA) nie oznacza kongruencji.

Notacja

Symbolem powszechnie używanym do oznaczania kongruencji jest symbol równości z tyldą nad nim, ≅ , odpowiadający znakowi Unicode „w przybliżeniu równy” (U + 2245). W Wielkiej Brytanii czasami używany jest trzypaskowy znak równości ≡ (U + 2261).

Zobacz też

Linki zewnętrzne

SSS w Cut-the-Knot
SSA w Cut-the-Knot
Interaktywne animacje przedstawiające przystające wielokąty , przystające kąty , przystające segmenty linii , przystające trójkąty w Math Open Reference