Kształt

Zabawka dla dzieci o nazwie Shape-O firmy Tupperware służąca do nauki różnych kształtów.

Kształt lub figura jest graficzną reprezentacją obiektu lub jego zewnętrznej granicy, konturu lub zewnętrznej powierzchni , w przeciwieństwie do innych właściwości, takich jak kolor , tekstura lub typ materiału . Płaski kształt lub płaska figura musi leżeć na płaszczyźnie , w przeciwieństwie do brył 3D. Dwuwymiarowy kształt lub dwuwymiarowa figura (też: kształt 2D lub figura 2D ) może leżeć na ogólniej zakrzywionej powierzchni (nieeuklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej).

Klasyfikacja kształtów prostych

Różnorodne wielokątne kształty.

Niektóre proste kształty można podzielić na szerokie kategorie. Na przykład wielokąty są klasyfikowane według liczby krawędzi jako trójkąty , czworoboki , pięciokąty itp. Każdy z nich jest podzielony na mniejsze kategorie; trójkąty mogą być równoboczne , równoramienne , rozwarte , ostre , pochyłe itp., podczas gdy czworoboki mogą być prostokątami , rombami , trapezami , kwadratami itp.

Inne popularne kształty to punkty , linie , płaszczyzny i przekroje stożkowe, takie jak elipsy , okręgi i parabole .

Do najpowszechniejszych kształtów trójwymiarowych należą wielościany , czyli kształty o płaskich ścianach; elipsoidy , które są obiektami w kształcie jajka lub kuli; cylindry ; i szyszki .

Jeśli obiekt należy dokładnie lub nawet w przybliżeniu do jednej z tych kategorii, możemy go użyć do opisania kształtu obiektu. Mówimy zatem, że kształtem pokrywy włazu jest dysk , ponieważ jest to w przybliżeniu ten sam obiekt geometryczny, co rzeczywisty dysk geometryczny.

w geometrii

Geometryczne kształty w 2 wymiarach: równoległobok , trójkąt i koło

Geometryczne kształty w 3 wymiarach: piramida , kula i sześcian

Kształt geometryczny składa się z informacji geometrycznych , które pozostają po usunięciu lokalizacji , skali , orientacji i odbicia z opisu obiektu geometrycznego . Oznacza to, że wynikiem przesuwania kształtu, powiększania go, obracania lub odbijania w lustrze jest ten sam kształt co oryginał, a nie odrębny kształt.

Wiele dwuwymiarowych kształtów geometrycznych można zdefiniować za pomocą zestawu punktów lub wierzchołków i linii łączących punkty w zamkniętym łańcuchu, a także wynikowych punktów wewnętrznych. Takie kształty nazywane są wielokątami i obejmują trójkąty , kwadraty i pięciokąty . Inne kształty mogą być ograniczone krzywymi , takimi jak okrąg lub elipsa .

Wiele trójwymiarowych kształtów geometrycznych można zdefiniować za pomocą zestawu wierzchołków, linii łączących wierzchołki i dwuwymiarowych ścian otoczonych tymi liniami, a także wynikowych punktów wewnętrznych. Takie kształty nazywane są wielościanami i obejmują sześciany , a także piramidy , takie jak czworościany . Inne trójwymiarowe kształty mogą być ograniczone przez zakrzywione powierzchnie, takie jak elipsoida i kula .

Mówimy, że kształt jest wypukły , jeśli wszystkie punkty na odcinku między dowolnymi dwoma jego punktami są również częścią tego kształtu.

Nieruchomości

Figury pokazane w tym samym kolorze mają taki sam kształt i mówi się, że są podobne.

Istnieje kilka sposobów porównywania kształtów dwóch obiektów:

Kongruencja : dwa obiekty są przystające , jeśli jeden z nich może zostać przekształcony w drugi przez sekwencję obrotów, translacji i/lub odbić.
Podobieństwo : dwa obiekty są podobne , jeśli jeden z nich można przekształcić w drugi przez jednolite skalowanie wraz z sekwencją obrotów, translacji i/lub odbić.
Izotopia : dwa obiekty są izotopowe , jeśli jeden z nich może zostać przekształcony w drugi przez sekwencję odkształceń, które nie rozrywają obiektu ani nie powodują w nim dziur.

Czasami można uznać, że dwa podobne lub przystające obiekty mają inny kształt, jeśli do przekształcenia jednego w drugi wymagane jest odbicie. Na przykład litery „ b ” i „ d ” są wzajemnym odbiciem, a zatem są przystające i podobne, ale w niektórych kontekstach uważa się, że nie mają tego samego kształtu. Czasami tylko zarys lub zewnętrzna granica obiektu jest brana pod uwagę przy określaniu jego kształtu. Na przykład można uznać, że wydrążona kula ma taki sam kształt jak kula pełna. Analiza Prokrust jest używany w wielu naukach do określania, czy dwa obiekty mają ten sam kształt, lub do mierzenia różnicy między dwoma kształtami. W zaawansowanej matematyce quasi-izometrię można wykorzystać jako kryterium stwierdzające, że dwa kształty są w przybliżeniu takie same.

Proste kształty często można podzielić na podstawowe obiekty geometryczne , takie jak punkt , linia , krzywa , płaszczyzna , figura płaska (np. kwadrat lub koło ) lub bryła (np. sześcian lub kula ). Jednak większość kształtów występujących w świecie fizycznym jest złożona. Niektóre, takie jak struktury roślinne i linie brzegowe, mogą być tak skomplikowane, że wymykają się tradycyjnemu opisowi matematycznemu – w takim przypadku można je analizować za pomocą geometrii różniczkowej lub jako fraktale .

Równoważność kształtów

W geometrii dwa podzbiory przestrzeni euklidesowej mają ten sam kształt, jeśli jeden z nich można przekształcić w drugi za pomocą kombinacji translacji , obrotów (razem zwanych również przekształceniami sztywnymi ) i jednolitych skalowań . Innymi słowy, kształt zbioru punktów to wszystkie informacje geometryczne, które są niezmienne dla translacji, obrotów i zmian rozmiaru. Posiadanie tego samego kształtu jest relacją równoważności , a zatem precyzyjną matematyczną definicję pojęcia kształtu można podać jako klasa równoważności podzbiorów przestrzeni euklidesowej o tym samym kształcie.

Matematyk i statystyk David George Kendall pisze:

W tym artykule słowo „kształt” jest używane w znaczeniu wulgarnym i oznacza to, czego normalnie można by się spodziewać. [...] Nieformalnie definiujemy tutaj „kształt” jako „wszystkie informacje geometryczne, które pozostają po odfiltrowaniu położenia, skali i efektów rotacji z obiektu”.

Kształty obiektów fizycznych są równe, jeśli podzbiory przestrzeni zajmowanej przez te obiekty spełniają powyższą definicję. W szczególności kształt nie zależy od wielkości i umiejscowienia w przestrzeni obiektu. Na przykład „ d ” i „ p ” mają ten sam kształt, ponieważ można je idealnie nałożyć, jeśli „ d ” zostanie przesunięte w prawo o określoną odległość, obrócone do góry nogami i powiększone o określony współczynnik (patrz Procrustes nakładanie szczegółów). Jednak odbicie lustrzane można nazwać innym kształtem. Na przykład „ b ” i a ” p ” mają inny kształt, przynajmniej wtedy, gdy są zmuszone do poruszania się w dwuwymiarowej przestrzeni, takiej jak strona, na której są zapisane. Mimo że mają ten sam rozmiar, nie ma sposobu, aby idealnie je na siebie nałożyć przesuwając i obracając je wzdłuż strony. Podobnie, w przestrzeni trójwymiarowej, prawa ręka i lewa ręka mają inny kształt, nawet jeśli są swoimi lustrzanymi odbiciami. Kształty mogą się zmieniać, jeśli obiekt nie jest skalowany -jednostajnie Na przykład kula staje się elipsoidą gdy skaluje się inaczej w kierunku pionowym i poziomym. Innymi słowy, zachowanie osi symetrii (jeśli istnieją) jest ważne dla zachowania kształtów. Ponadto kształt jest określany tylko przez zewnętrzną granicę obiektu.

Zgodność i podobieństwo

Obiekty, które mogą zostać przekształcone w siebie przez sztywne przekształcenia i odbicie lustrzane (ale nie skalowanie), są przystające . Obiekt jest zatem przystający do swojego lustrzanego odbicia (nawet jeśli nie jest symetryczny), ale nie do wersji w skali. Dwa przystające obiekty mają zawsze ten sam kształt lub lustrzane odbicie i mają ten sam rozmiar.

Obiekty, które mają ten sam kształt lub lustrzane odbicie, nazywane są geometrycznie podobnymi , niezależnie od tego, czy mają ten sam rozmiar, czy nie. Tak więc obiekty, które można przekształcać w siebie poprzez sztywne przekształcenia, odbicie lustrzane i jednolite skalowanie, są podobne. Podobieństwo jest zachowane, gdy jeden z obiektów jest jednolicie skalowany, podczas gdy kongruencja nie. Zatem przystające obiekty są zawsze geometrycznie podobne, ale podobne obiekty mogą nie być przystające, ponieważ mogą mieć różną wielkość.

Homeomorfizm

Bardziej elastyczne definiowanie kształtu uwzględnia fakt, że realistyczne kształty są często odkształcalne, np. osoba w różnych pozycjach, drzewo pochylone na wietrze lub dłoń z różnymi ułożeniami palców.

Jednym ze sposobów modelowania niesztywnych ruchów są homeomorfizmy . Z grubsza mówiąc, homeomorfizm to ciągłe rozciąganie i wyginanie obiektu w nowy kształt. Zatem kwadrat i koło są względem siebie homeomorficzne, ale kula i pączek nie. Często powtarzany żart matematyczny polega na tym, że topologowie nie potrafią odróżnić swojej filiżanki kawy od pączka, ponieważ wystarczająco giętki pączek można przekształcić w formę filiżanki kawy, tworząc wgłębienie i stopniowo go powiększając, zachowując jednocześnie otwór po pączku w uchwycie kubka.

Opisany kształt ma zewnętrzne linie, które można zobaczyć i które składają się na kształt. Jeśli umieszczałeś współrzędne i wykres współrzędnych, możesz narysować linie, aby pokazać, gdzie możesz zobaczyć kształt, jednak nie za każdym razem, gdy umieszczasz współrzędne na wykresie jako takim, możesz utworzyć kształt. Ten kształt ma kontur i granicę, dzięki czemu można go zobaczyć i nie jest to zwykłe kropki na zwykłym papierze.

Analiza kształtu

Wspomniane powyżej matematyczne definicje sztywnego i niesztywnego kształtu powstały w dziedzinie statystycznej analizy kształtu . W szczególności analiza Procrustes jest techniką stosowaną do porównywania kształtów podobnych obiektów (np. kości różnych zwierząt) lub pomiaru deformacji przedmiotu odkształcalnego. Inne metody są przeznaczone do pracy z niesztywnymi (podatnymi na zginanie) obiektami, np. do wyszukiwania kształtu niezależnego od postawy ciała (patrz np. Widmowa analiza kształtu ).

Klasy podobieństwa

Wszystkie podobne trójkąty mają ten sam kształt. Kształty te można klasyfikować za pomocą liczb zespolonych u, v, w dla wierzchołków, metodą zaawansowaną przez JA Lestera i Rafaela Artzy'ego . Na przykład trójkąt równoboczny można wyrazić za pomocą liczb zespolonych 0, 1, (1 + i √ 3)/2 reprezentujących jego wierzchołki. Lester i Artzy określają stosunek

{\ Displaystyle S (u, v, w) = {\ Frac {uw} {uv}}}

kształt trójkąta ( u, v, w ) . Wtedy kształt trójkąta równobocznego jest

(0–(1+ √3)/2)/(0–1) = ( 1 + ja √3)/2 = cos(60°) + ja grzech(60°) = exp( ja π/3).

Dla dowolnej $_$ afinicznej płaszczyzny zespolonej przekształcany Stąd kształt jest niezmiennikiem geometrii afinicznej . Kształt p = S( u,v,w ) zależy od kolejności argumentów funkcji S, ale permutacje prowadzą do powiązanych wartości. Na przykład,

{\ Displaystyle 1-p = 1- (uw)/(uv) = (wv)/(uv) = (vw)/(vu) = S (v, u, w).}

Również

{\ Displaystyle p ^ {- 1} = S (u, w, v).}

Połączenie tych permutacji daje ${\ Displaystyle S (v, w, u) = (1-p) ^ {-1}.}$ Ponadto,

{\ Displaystyle p (1-p) ^ {- 1} = S (u, v, w) S (v, w, u) = (uw) / (vw) = S (w, v, u).}

Relacje te są „regułami konwersji” kształtu trójkąta.

Kształt czworokąta jest powiązany z dwiema liczbami zespolonymi p,q . Jeśli czworokąt ma wierzchołki u,v,w,x , to p = S( u,v,w ) i q = S( v,w,x ). Artzy udowadnia te twierdzenia dotyczące czworobocznych kształtów:

Jeśli ${\ Displaystyle p = (1-q) ^ {-1},}$ to czworobok jest równoległobokiem .
Jeśli równoległobok ma | argument p | = | arg q |, to jest to romb .
Gdy p = 1 + i i q = (1 + i)/2, to czworokąt jest kwadratowy .
Jeśli ${\ Displaystyle p = r (1-q ^ {-1})}$ i sgn r = sgn (Im p ), to czworokąt jest trapezem .

Wielokąt $z_ {n})}$ ( z_ {1}, z_ {2}, ma kształt określony przez n - 2 liczby zespolone ${\ Displaystyle S (z_ {j}, z_ {j + 1}, z_ {j + 2}), \ j = 1, ..., n-2.} Wielokąt ogranicza zbiór wypukły, gdy wszystkie$ te składowe kształtu mają urojone elementy tego samego znaku.

Ludzka percepcja kształtów

Ludzkie widzenie opiera się na szerokiej gamie reprezentacji kształtu. Niektórzy psychologowie wysunęli teorię, że ludzie mentalnie rozkładają obrazy na proste kształty geometryczne (np. stożki i kule) zwane geonami . Inni sugerowali, że kształty są rozkładane na cechy lub wymiary, które opisują sposób, w jaki kształty się zmieniają, takie jak ich segmentowalność , zwartość i kolczastość . Jednak porównując podobieństwo kształtów, potrzeba co najmniej 22 niezależnych wymiarów, aby uwzględnić różnice w naturalnych kształtach.

Istnieją również wyraźne dowody na to, że kształty kierują ludzką uwagą .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Słownikowa definicja kształtu w Wikisłowniku