Analiza kształtu widmowego

Analiza kształtu widmowego opiera się na widmie ( wartościach własnych i / lub funkcjach własnych ) operatora Laplace'a-Beltramiego w celu porównania i analizy kształtów geometrycznych. Ponieważ widmo operatora Laplace'a-Beltramiego jest niezmienne dla izometrii , dobrze nadaje się do analizy lub wyszukiwania niesztywnych kształtów, tj. obiektów podatnych na zginanie, takich jak ludzie, zwierzęta, rośliny itp.

Laplace'a

Laplace'a -Beltramiego bierze udział w wielu ważnych równaniach różniczkowych, takich jak równanie ciepła i równanie falowe . Można to zdefiniować na rozmaitości Riemanna jako rozbieżność gradientu funkcji f o wartościach rzeczywistych :

${\ Displaystyle \ Delta f: = \ nazwa operatora {dział} \ nazwa operatora {grad} f.}$

Jego składowe widmowe można obliczyć, rozwiązując równanie Helmholtza (lub problem wartości własnej Laplaca):

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi _ {i} + \ lambda _ {i} \ varphi _ {i} = 0.}$

Rozwiązaniami są funkcje własne $)$ i odpowiadające im wartości własne $.$ sekwencję dodatnich liczb rzeczywistych Pierwsza wartość własna wynosi zero dla domen zamkniętych lub gdy używany jest warunek brzegowy Neumanna . Dla niektórych kształtów widmo można obliczyć analitycznie (np. prostokąt, płaski torus, walec, dysk lub kula). Na przykład dla sfery funkcje własne są sferycznymi harmonicznymi .

Najważniejszymi właściwościami wartości własnych i funkcji własnych jest to, że są one niezmiennikami izometrii. Innymi słowy, jeśli kształt nie zostanie rozciągnięty (np. kartka papieru wygięta do trzeciego wymiaru), wartości widmowe nie ulegną zmianie. Giętkie przedmioty, takie jak zwierzęta, rośliny i ludzie, mogą przyjmować różne pozycje ciała przy minimalnym rozciąganiu stawów. Powstałe kształty nazywane są zbliżonymi do izometrycznych i można je porównać za pomocą widmowej analizy kształtu.

Dyskretyzacje

Kształty geometryczne są często przedstawiane jako zakrzywione powierzchnie 2D, siatki powierzchni 2D (zwykle siatki trójkątów ) lub bryły 3D (np. za pomocą wokseli lub siatek czworościanów ). Równanie Helmholtza można rozwiązać dla wszystkich tych przypadków. Jeśli istnieje granica, np. kwadrat lub objętość dowolnego kształtu geometrycznego 3D, należy określić warunki brzegowe.

Istnieje kilka dyskretyzacji operatora Laplace'a (patrz Dyskretny operator Laplace'a ) dla różnych typów reprezentacji geometrii. Wiele z tych operatorów nie przybliża dobrze bazowego operatora ciągłego.

Widmowe deskryptory kształtu

ShapeDNA i jego warianty

ShapeDNA jest jednym z pierwszych spektralnych deskryptorów kształtu. Jest to znormalizowana sekwencja początkowa wartości własnych operatora Laplace'a-Beltramiego. Jego główne zalety to prosta reprezentacja (wektor liczb) i porównywanie, niezmienność skali i pomimo swojej prostoty bardzo dobra wydajność w wyszukiwaniu kształtu niesztywnych kształtów. Konkurentami shapeDNA są pojedyncze wartości geodezyjnej macierzy odległości (SD-GDM) i zredukowanej dwuharmonicznej macierzy odległości (R-BiHDM). Jednak wartości własne są deskryptorami globalnymi, dlatego też shapeDNA i inne globalne deskryptory widmowe nie mogą być używane do lokalnej lub częściowej analizy kształtu.

Globalna sygnatura punktu (GPS)

Globalna sygnatura punktu w punkcie $($ wektorem skalowanych funkcji własnych operatora Laplace'a-Beltramiego obliczonym w $osadzeniu$ kształtu). GPS jest funkcją globalną w tym sensie, że nie można go używać do częściowego dopasowywania kształtu.

Sygnatura jądra ciepła (HKS)

Sygnatura jądra ciepła wykorzystuje rozkład własny jądra ciepła :

${\ Displaystyle h_ {t} (x, y) = \ suma _ {i = 0} ^ {\ infty} \ exp (- \ lambda _ {i} t) \ varphi _ {i} (x) \ varphi _ {i}(y).}$

$t_ {$ powierzchni przekątna jądra ciepła $}$ w określonych wartościach czasu i daje lokalna sygnatura, której można również użyć do częściowego dopasowania lub wykrycia symetrii.

Podpis jądra Wave (WKS)

WKS podąża za podobnym pomysłem do HKS, zastępując równanie ciepła równaniem falowym Schrödingera.

Ulepszona sygnatura jądra Wave (IWKS)

IWKS ulepsza WKS dla odzyskiwania niesztywnych kształtów poprzez wprowadzenie nowej funkcji skalowania do wartości własnych i agregację nowego składnika krzywizny.

Sygnatura falkowa wykresu widmowego (SGWS)

SGWS to deskryptor lokalny, który jest nie tylko niezmiennikiem izometrycznym, ale także kompaktowym, łatwym do obliczenia i łączącym zalety filtrów pasmowo-przepustowych i dolnoprzepustowych. Ważnym aspektem SGWS jest możliwość łączenia zalet WKS i HKS w jedną sygnaturę, umożliwiając jednocześnie reprezentację kształtów w wielu rozdzielczościach.

Widmowe dopasowanie

Widmowy rozkład wykresu Laplace'a związany ze złożonymi kształtami (patrz Dyskretny operator Laplace'a ) zapewnia funkcje własne (mody), które są niezmienne względem izometrii. Każdy wierzchołek kształtu może być jednoznacznie reprezentowany za pomocą kombinacji wartości modalnych własnych w każdym punkcie, czasami nazywanych współrzędnymi widmowymi:

${\ Displaystyle s (x) = (\ varphi _ {1} (x), \ varphi _ {2} (x), \ ldots, \ varphi _ {N} (x)) {\ tekst {dla wierzchołka}} X.}$

Dopasowywanie widmowe polega na ustaleniu zgodności punktów poprzez parowanie wierzchołków na różnych kształtach, które mają najbardziej podobne współrzędne widmowe. Wczesne prace koncentrowały się na rzadkich korespondencjach dla stereoskopii. Wydajność obliczeniowa umożliwia teraz gęste odpowiedniki na pełnych siatkach, na przykład między powierzchniami korowymi. Dopasowanie widmowe można również wykorzystać do rejestracji złożonych, niesztywnych obrazów , co jest szczególnie trudne, gdy obrazy mają bardzo duże odkształcenia. Takie metody rejestracji obrazu oparte na widmowych wartościach własnych rzeczywiście rejestrują globalnie właściwości kształtu i kontrastują z konwencjonalnymi niesztywnymi metodami rejestracji obrazu, które często opierają się na lokalnych właściwościach kształtu (np. gradienty obrazu).