Prostokąt

Prostokąt
	Prostokąt
Prostokąt
Typ	czworobok , trapez , równoległobok , ortotop
Krawędzie i wierzchołki	4
Symbol Schläfliego	{ } × { }
Diagramy Coxetera-Dynkina
Grupa symetrii	Dwuścienny (D 2 ), [2], (*22), rząd 4
Nieruchomości	wypukły , izogonalny , cykliczny Przeciwne kąty i boki są przystające
Podwójny wielokąt	romb

W geometrii płaszczyzny euklidesowej prostokąt jest czworokątem z czterema kątami prostymi . Można go również zdefiniować jako: czworokąt równokątny, ponieważ równokątny oznacza, że wszystkie jego kąty są równe (360°/4 = 90°); lub równoległobok zawierający kąt prosty. Prostokąt o czterech bokach równej długości jest kwadratem . Termin „ podłużny ” jest czasami używany w odniesieniu do prostokąta innego niż kwadrat . Prostokąt z wierzchołkami ABCD byłby oznaczony jako ABCD .

Słowo prostokąt pochodzi od łacińskiego rectangulus , które jest połączeniem rectus (jako przymiotnik, prawy, właściwy) i angulus ( kąt ).

Skrzyżowany prostokąt to skrzyżowany (samoprzecinający się) czworokąt, który składa się z dwóch przeciwległych boków prostokąta wraz z dwiema przekątnymi (dlatego tylko dwa boki są równoległe). Jest to szczególny przypadek antyrównoległoboku , a jego kąty nie są proste i nie wszystkie są równe, chociaż przeciwne kąty są równe. Inne geometrie, takie jak sferyczna , eliptyczna i hiperboliczna , mają tak zwane prostokąty o przeciwległych bokach równej długości i równych kątach, które nie są kątami prostymi.

Prostokąty są zaangażowane w wiele problemów związanych z układaniem płytek , takich jak układanie płaszczyzny za pomocą prostokątów lub układanie prostokąta za pomocą wielokątów .

Charakteryzacje

Wypukły czworokąt jest prostokątem wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednym z następujących:

równoległobok , który ma co najmniej jeden kąt prosty
równoległobok o przekątnych równej długości
równoległobok ABCD , w którym trójkąty ABD i DCA są przystające
czworokąt równoramienny
czworokąt z czterema kątami prostymi
czworokąt, w którym dwie przekątne są równej długości i przecinają się w połowie
wypukły czworobok z kolejnymi bokami za , b , do , d którego powierzchnia wynosi ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}} (a + c) (b + d )}$ .
czworokąt wypukły o kolejnych bokach a , b , c , d , którego pole wynosi ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}.}$

Klasyfikacja

Prostokąt jest szczególnym przypadkiem równoległoboku i trapezu . Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta .

Tradycyjna hierarchia

Prostokąt jest szczególnym przypadkiem równoległoboku, w którym każda para sąsiednich boków jest prostopadła .

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu (znanego jako trapez w Ameryce Północnej), w którym obie pary przeciwległych boków są równoległe i równej długości .

Trapez to czworokąt wypukły , który ma co najmniej jedną parę przeciwległych boków równoległych .

Wypukły czworokąt jest

Proste : granica nie przecina się sama.
W kształcie gwiazdy : Całe wnętrze jest widoczne z jednego punktu, bez przekraczania krawędzi.

Alternatywna hierarchia

De Villiers definiuje prostokąt bardziej ogólnie jako dowolny czworokąt z osiami symetrii przechodzącymi przez każdą parę przeciwległych boków. Ta definicja obejmuje zarówno prostokąty prostokątne, jak i skrzyżowane. Każdy ma oś symetrii równoległą i równooddaloną od pary przeciwległych boków oraz drugą, która jest prostopadłą dwusieczną tych boków, ale w przypadku skrzyżowanego prostokąta pierwsza oś nie jest osią symetrii dla żadnej strony że przecina.

Czworokąty z dwiema osiami symetrii, każda przechodząca przez parę przeciwległych boków, należą do większej klasy czworoboków z co najmniej jedną osią symetrii przechodzącą przez parę przeciwległych boków. Te czworoboki obejmują trapezy równoramienne i trapezy równoramienne skrzyżowane (skrzyżowane czworoboki z tym samym układem wierzchołków co trapezy równoramienne).

Nieruchomości

Symetria

Prostokąt jest cykliczny : wszystkie rogi leżą na jednym okręgu .

Jest równokątny : wszystkie jego kąty narożne są równe (każdy po 90 stopni ).

Jest izogonalny lub wierzchołkowo-przechodni : wszystkie rogi leżą na tej samej orbicie symetrii .

Ma dwie linie symetrii odbicia i symetrii obrotowej rzędu 2 (do 180 °).

Dualizm prostokąt-romb

Podwójny wielokąt prostokąta jest rombem , jak pokazano w poniższej tabeli.

Prostokąt	Romb
Wszystkie kąty są równe.	Wszystkie strony są równe.
Alternatywne strony są równe.	Kąty naprzemienne są równe.
Jego środek jest w równej odległości od jego wierzchołków , stąd ma okrąg opisany .	Jego środek jest w równej odległości od jego boków , stąd zawiera koło .
Dwie osie symetrii przecinają przeciwległe boki .	Dwie osie symetrii przecinają przeciwne kąty .
Przekątne są równej długości .	Przekątne przecinają się pod równymi kątami .

Figura utworzona przez połączenie kolejno środków boków prostokąta to romb i odwrotnie.

Różnorodny

Prostokąt jest prostoliniowym wielokątem : jego boki stykają się pod kątem prostym.

Prostokąt w płaszczyźnie można zdefiniować za pomocą pięciu niezależnych stopni swobody , składających się na przykład z trzech stopni swobody położenia (w tym dwóch translacji i jednego obrotu ), jednego kształtu ( współczynnika proporcji ) i jednego ogólnego rozmiaru (obszaru). .

Mówi się, że dwa prostokąty, z których żaden nie mieści się w drugim, są nieporównywalne .

Formuły

Wzór na obwód prostokąta

Pole prostokąta to iloczyn długości i szerokości.

Jeśli prostokąt ma długość i szerokość ${\ displaystyle \ ell}$ i szerokość ${\ displaystyle w}$

ma obszar ${\ Displaystyle A = \ ell w \,}$ ,
ma obwód ${\ Displaystyle P = 2 \ ell + 2w = 2 (\ ell + w) \,}$ ,
każda przekątna ma długość ${\ Displaystyle d = {\ sqrt {\ ell ^ {2} + w ^ {2}}}}$ ,
a kiedy prostokąt jest kwadratem ${\ Displaystyle \ ell = w \,}$ .

Twierdzenia

Twierdzenie izoperymetryczne dla prostokątów mówi, że spośród wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat .

Punkty środkowe boków dowolnego czworoboku z prostopadłymi przekątnymi tworzą prostokąt.

Równoległobok o równych przekątnych to prostokąt.

Japońskie twierdzenie o cyklicznych czworobokach mówi, że środki czterech trójkątów określone przez wierzchołki cyklicznego czworoboku pobrane po trzy naraz tworzą prostokąt.

Twierdzenie flagi brytyjskiej stwierdza , że wierzchołki oznaczone A , B , C i D , dla dowolnego punktu P na tej samej płaszczyźnie prostokąta:

{\ Displaystyle \ Displaystyle (AP) ^ {2} + (CP) ^ {2} = (BP) ^ {2} + (DP) ^ {2}.}

Dla każdego wypukłego ciała C na płaszczyźnie możemy wpisać prostokąt r w C tak, że homotetyczna kopia R z r jest opisana wokół C , a dodatni współczynnik jednorodności wynosi co najwyżej 2 i ${\ Displaystyle 0,5 {\ tekst {× Powierzchnia}} (R) \ równoważnik {\ tekst {Obszar}} (C) \ równoważnik 2 {\ tekst {× Powierzchnia}} (r)}$ .

Skrzyżowane prostokąty

Skrzyżowany czworobok (przecinający się samoczynnie) składa się z dwóch przeciwległych boków czworoboku nie przecinającego się samoczynnie wraz z dwiema przekątnymi . Podobnie skrzyżowany prostokąt to skrzyżowany czworobok , który składa się z dwóch przeciwległych boków prostokąta wraz z dwiema przekątnymi. Ma taki sam układ wierzchołków jak prostokąt. Wygląda jak dwa identyczne trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem, ale geometryczne przecięcie nie jest uważane za wierzchołek.

Skrzyżowany czworobok jest czasami porównywany do muszki lub motyla , czasami nazywany „kątową ósemką”. Trójwymiarowa prostokątna ramka druciana , która jest skręcona , może przybrać kształt muszki.

Wnętrze skrzyżowanego prostokąta może mieć gęstość wielokątów ± 1 w każdym trójkącie, w zależności od orientacji uzwojenia zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Skrzyżowany prostokąt może być uważany za równokątny , jeśli dozwolone są skręty w prawo i w lewo. Podobnie jak w przypadku każdego skrzyżowanego czworoboku , suma jego kątów wewnętrznych wynosi 720°, co pozwala na pojawienie się kątów wewnętrznych na zewnątrz i przekroczenie 180°.

Prostokąt i prostokąt skrzyżowany to czworokąty o następujących wspólnych właściwościach:

Przeciwległe boki są równej długości.
Dwie przekątne są równej długości.
Ma dwie linie symetrii odbicia i symetrii obrotowej rzędu 2 (do 180 °).

Inne prostokąty

Prostokąt siodłowy ma 4 niepłaskie wierzchołki, na przemian z wierzchołkami prostopadłościanu , z unikalnym wnętrzem o minimalnej powierzchni , zdefiniowanym jako liniowa kombinacja czterech wierzchołków, tworząca powierzchnię siodłową. Ten przykład pokazuje 4 niebieskie krawędzie prostokąta i dwie zielone przekątne, wszystkie będące przekątnymi prostokątnych ścian prostopadłościanu.

W geometrii sferycznej sferyczny prostokąt to figura, której cztery krawędzie są łukami koła wielkiego , które spotykają się pod równymi kątami większymi niż 90°. Przeciwległe łuki są równej długości. Powierzchnia kuli w euklidesowej geometrii bryłowej jest powierzchnią nieeuklidesową w sensie geometrii eliptycznej. Geometria sferyczna jest najprostszą formą geometrii eliptycznej.

W geometrii eliptycznej prostokąt eliptyczny jest figurą na płaszczyźnie eliptycznej, której cztery krawędzie są łukami eliptycznymi, które spotykają się pod równymi kątami większymi niż 90°. Przeciwległe łuki są równej długości.

W geometrii hiperbolicznej prostokąt hiperboliczny jest figurą w płaszczyźnie hiperbolicznej, której cztery krawędzie są łukami hiperbolicznymi, które spotykają się pod równymi kątami mniejszymi niż 90°. Przeciwległe łuki są równej długości.

Teselacje

Prostokąt jest używany w wielu okresowych wzorach teselacji , na przykład w murach :

Ułożona więź	Biegnąca więź	Splot koszykowy	Splot koszykowy	Wzór w jodełkę

Kwadratowe, idealne i inne prostokąty kafelkowe

Idealny prostokąt rzędu 9

Mówi się, że prostokąt złożony z kwadratów, prostokątów lub trójkątów jest odpowiednio prostokątem „kwadratowym”, „prostokątnym” lub „trójkątnym” (lub „trójkątnym”). Prostokąt wyłożony kafelkami jest idealny , jeśli kafelki są podobne i mają skończoną liczbę, a żadne dwie kafelki nie są tego samego rozmiaru. Jeśli dwie takie płytki są tego samego rozmiaru, ułożenie płytek jest niedoskonałe . W idealnym (lub niedoskonałym) trójkącie trójkąty muszą być trójkątami prostokątnymi . Bazę danych wszystkich znanych idealnych prostokątów, idealnych kwadratów i powiązanych kształtów można znaleźć na stronie squareing.net . Najmniejsza liczba kwadratów potrzebnych do idealnego ułożenia prostokąta to 9, a najmniejsza liczba potrzebna do idealnego obrobienia kwadratu to 21, znaleziona w 1978 roku za pomocą wyszukiwania komputerowego.

Prostokąt ma współmierne boki wtedy i tylko wtedy, gdy można go ułożyć skończoną liczbą nierównych kwadratów. To samo dotyczy sytuacji, gdy płytki są nierównymi trójkątami równoramiennymi .

Ułożenie prostokątów przez inne kafelki, które przyciągnęły największą uwagę, to przystające nieprostokątne poliomino , pozwalające na wszystkie obroty i odbicia. Istnieją również tilings przez przystające polyaboes .

Unikod

U+25AC ▬ CZARNY PROSTOKĄT U+25AD ▭ BIAŁY PROSTOKĄT U+25AE ▮ CZARNY PROSTOKĄT PIONOWY U+25AF ▯ BIAŁY PROSTOKĄT PIONOWY

Zobacz też

Prostopadłościan
Złoty prostokąt
Hiperprostokąt
Superelipsa (zawiera prostokąt z zaokrąglonymi rogami)

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Prostokąt” . MathWorld .
Definicja i właściwości prostokąta z animacją interaktywną.
Obszar prostokąta z interaktywną animacją.