Wielokąt równokątny

Przykładowe wielokąty równokątne
Bezpośredni	Pośredni	Krzywy
Prostokąt , <4>, jest wypukłym prostym wielokątem równokątnym , zawierającym cztery wewnętrzne kąty 90°.	Wklęsły pośredni wielokąt równokątny , <6-2>, taki jak ten sześciokąt, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, ma pięć skrętów w lewo i jeden skręt w prawo, jak to tetromino .	Wielokąt skośny ma równe kąty od płaszczyzny, tak jak ten skośny ośmiokąt z naprzemiennymi czerwonymi i niebieskimi krawędziami sześcianu .
Bezpośredni	Pośredni	Przeciwobrócony
Wielokąt równokątny z wieloma obrotami może być prosty, tak jak ten ośmiokąt <8/2> ma 8 zakrętów o 90°, co daje w sumie 720°.	Wklęsły pośredni wielokąt równokątny, <5-2>, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ma 4 skręty w lewo i jeden skręt w prawo. (-1.2.4.3.2) _60°	Pośredni sześciokąt równokątny, <6-6> _90° z 3 skrętami w lewo, 3 skrętami w prawo, w sumie 0°.

W geometrii euklidesowej wielokąt równokątny to wielokąt , którego kąty wierzchołków są równe. Jeśli długości boków są również równe (to znaczy, jeśli jest również równoboczny ), to jest to wielokąt foremny . Wielokąty izogonalne to wielokąty równokątne, które mają naprzemiennie dwie długości krawędzi.

Dla jasności płaski wielokąt równokątny można nazwać bezpośrednim lub pośrednim . Prosty wielokąt równokątny ma wszystkie kąty obracające się w tym samym kierunku w płaszczyźnie i może zawierać wiele zwojów . Wypukłe wielokąty równokątne są zawsze proste. Pośredni wielokąt równokątny może zawierać kąty obracające się w prawo lub w lewo w dowolnej kombinacji. Skośny . wielokąt równokątny może być izogonalny , ale nie można go uznać za prosty, ponieważ nie jest płaski

Spirolateral n _θ jest szczególnym przypadkiem wielokąta równokątnego ze zbiorem n całkowitych długości krawędzi powtarzających się sekwencyjnie aż do powrotu do początku, z wewnętrznymi kątami wierzchołków θ .

Budowa

Wielokąt równokątny można zbudować z wielokąta foremnego lub wielokąta foremnego w kształcie gwiazdy, gdzie krawędzie są rozciągnięte jako nieskończone linie . Każdą krawędź można niezależnie przesuwać prostopadle do kierunku linii. Wierzchołki reprezentują punkt przecięcia między parami sąsiednich linii. Każda przesunięta linia dostosowuje długość swojej krawędzi i długości dwóch sąsiednich krawędzi. Jeśli krawędzie zostaną zredukowane do długości zerowej, wielokąt ulegnie degeneracji, a jeśli zostaną zredukowane do ujemnych , spowoduje to odwrócenie kątów wewnętrznych i zewnętrznych.

W przypadku równobocznego prostego wielokąta równokątnego, z wewnętrznymi kątami θ°, ruchome naprzemienne krawędzie mogą odwrócić wszystkie wierzchołki w dodatkowe kąty 180-θ°. Proste wielokąty równokątne o nieparzystych bokach można odwrócić tylko częściowo, pozostawiając mieszankę dodatkowych kątów.

Każdy wielokąt równokątny można dostosować w proporcjach za pomocą tej konstrukcji i nadal zachować równokątny status.

Ten wypukły prosty sześciokąt równokątny , <6>, jest ograniczony 6 liniami z kątem 60° między nimi. Każdą linię można przesuwać prostopadle do jej kierunku.	Ten wklęsły pośredni sześciokąt równokątny , <6-2>, jest również ograniczony 6 liniami z kątem 90° między nimi, każda linia porusza się niezależnie, przesuwając wierzchołki jako nowe przecięcia.

Twierdzenie o wielokącie równokątnym

Dla wypukłego równokątnego p -gonu każdy kąt wewnętrzny wynosi 180(1-2/ p )°; to jest twierdzenie o wielokącie równokątnym .

Dla prostego równokątnego wielokąta gwiazdy p / q , gęstości q , każdy kąt wewnętrzny wynosi 180 (1-2 q / p )°, przy czym 1 < 2 q 1, reprezentuje to wielokąt gwiazdy o ranach w ( p / w )/( q / w ), który jest zdegenerowany dla zwykłego przypadku.

Wklęsły pośredni równokątny ( p _r + p _l )-gon, z wierzchołkami p _{r skrętu w prawo i wierzchołkami} p _{l skrętu w lewo, będzie miał kąty}_wewnętrzne 180(1-2/| pr - p l _| ))°, niezależnie od ich sekwencji. Gwiazda pośrednia równokątna ( p _r + p _l )-gon, z p _r wierzchołkami skrętu w prawo i p _l wierzchołkami skrętu w lewo i q całkowitą liczbą zwojów , będzie miała kąty wewnętrzne 180(1-2 q /| p _r - pl _l | ))°, niezależnie od ich kolejności. Wielokąt równokątny z taką samą liczbą skrętów w prawo i w lewo ma zerową całkowitą liczbę obrotów i nie ma ograniczeń co do jego kątów.

Notacja

Każdemu prostemu równokątnemu p -kątowi można nadać oznaczenie lub , podobnie jak wielokąty foremne { p } i wielokąty foremne gwiazdy { p / q }, zawierające wierzchołki p i gwiazdy o gęstości q .

Wypukłe równokątne p -kąty mają kąty wewnętrzne 180(1-2/ p )°, podczas gdy wielokąty równokątne gwiazd prostych mają kąty wewnętrzne 180 (1-2 q / p )°.

Wklęsły pośredni równokątny p -gon można zapisać w notacji , z c przeciwbieżnymi wierzchołkami. Na przykład <6-2> to sześciokąt z wewnętrznymi kątami różnicy 90°, <4>, 1 przeciwny wierzchołek. Wieloobrotowy pośredni równoboczny p -gon można nadać notacji < ^{p -2 c} / _q > z c przeciwległymi wierzchołkami skrętu i q całkowitą liczbą zwojów . Wielokąt równokątny to p - kąt z nieokreślonymi kątami wewnętrznymi θ , ale można go wyraźnie wyrazić jako _θ .

Inne właściwości

Twierdzenie Vivianiego dotyczy wielokątów równokątnych:

Suma odległości od punktu wewnętrznego do boków wielokąta równokątnego nie zależy od położenia punktu i jest niezmiennikiem tego wielokąta.

Cykliczny wielokąt jest równokątny wtedy i tylko wtedy, gdy naprzemienne boki są równe (to znaczy boki 1, 3, 5, ... są równe, a boki 2, 4, ... są równe). Zatem jeśli n jest nieparzyste, cykliczny wielokąt jest równokątny wtedy i tylko wtedy, gdy jest regularny.

Dla liczby pierwszej p każdy równokątny p -gon o bokach całkowitych jest regularny. Co więcej, każdy równokątny pk ^{- gon o bokach całkowitych} ma p -krotną symetrię obrotową .

$równokątny$ zestaw długości boków n -gon wtedy i tylko wtedy dotyczy wielomianu za ${\ Displaystyle a_ {1} + a_ {2} x + \ cdots + a_ {n-$ równe zeru przy wartości zespolonej ${\ Displaystyle e ^ {2 \ pi i / n};}$ jest podzielna przez ${\ Displaystyle x ^ {2} -2x \ cos (2 \ pi /n)+1.}$

Bezpośrednie wielokąty równokątne po bokach

Bezpośrednie wielokąty równokątne mogą być regularnymi, izogonalnymi lub niższymi symetriami. Przykłady dla są pogrupowane w sekcje według p i podzielone według gęstości q .

Trójkąty równoramienne

Trójkąty równoramienne muszą być wypukłe i mieć wewnętrzne kąty 60°. Jest to trójkąt równoboczny i trójkąt foremny , <3>={3}. Jedynym stopniem swobody jest długość krawędzi.

Regularne, {3}, r ₆

Czworokąty równoramienne

Prostokąt podzielony na tablicę kwadratów 2 × 3

Bezpośrednie czworoboki równokątne mają kąty wewnętrzne 90 °. Jedynymi czworokątami równokątnymi są prostokąty , <4> i kwadraty , {4}.

Równokątny czworobok o całkowitych długościach boków można układać w kwadraty jednostkowe .

Regularne, {4}, r ₈
Spirolateral 2 _90° , s. ₄

Pięciokąty równoramienne

Proste pięciokąty równokątne , <5> i <5/2> mają odpowiednio kąty wewnętrzne 108° i 36°.

Kąt wewnętrzny 108° od pięciokąta równokątnego , <5>

Pięciokąty równoramienne mogą być regularne , mieć symetrię dwustronną lub nie mieć symetrii.

Zwykły, r ₁₀
Dwustronna symetria, i ₂
Brak symetrii, ₁

pentagramu równoramiennego , <5/2>

Zwykły pentagram , r ₁₀
nieregularne, d ₂

Sześciokąty równoramienne

Sześciokąt równoboczny o stosunku długości krawędzi 1: 2, z trójkątami równobocznymi. To jest kąt spiralny 2 _120° .

Proste sześciokąty równokątne , <6> i <6/2> mają odpowiednio kąty wewnętrzne 120° i 60°.

Kąty wewnętrzne 120° równokątnego sześciokąta , <6>

Równokątny sześciokąt o całkowitych długościach boków może być wyłożony przez jednostkowe trójkąty równoboczne .

Regularne, {6}, r ₁₂
Spirolateral (1,2) _120° , s. ₆
Spirolateral (1…3) _120° , g ₂
Spirolateral (1,2,2) _120° , i ₄
Spirolateral (1,2,2,2,1,3) _120° , s. ₂

Kąty wewnętrzne 60° trójkąta równoramiennego o podwójnych zwojach, <6/2>

Regularny, zdegenerowany, r ₆
Spirolateral (1,3) _60° , s. ₆
Spirolateral (1,2) _60° , s. ₆
Spirolateral (2,3) _60° , s. ₆
Spirolateral (1,2,3,4,3,2) _60° , s. ₂

Siedmiokąty równoramienne

Proste równokątne siedmiokąty , <7>, <7/2> i <7/3> mają odpowiednio 128 4/7°, 77 1/7° i 25 5/7°.

siedmiokąta równokątnego , <7>

Zwykły, {7}, r ₁₄
nieregularne, ₂

Kąty wewnętrzne 77,14° równokątnego heptagramu , <7/2>

Zwykły, r ₁₄
nieregularne, ₂

Kąty wewnętrzne 25,71° równokątnego heptagramu , <7/3>

Zwykły, r ₁₄
nieregularne, ₂

Równokątne ośmiokąty

Proste ośmiokąty równokątne , <8>, <8/2> i <8/3> mają odpowiednio kąty wewnętrzne 135°, 90° i 45°.

Kąty wewnętrzne 135° od równokątnego ośmiokąta , <8>

Zwykły, r ₁₆
Spirolateral (1,2) _135° , s. ₈
Spirolateral (1…4) _135° , g ₂
Nierówny ścięty kwadrat, str. ₂

Kąty wewnętrzne 90° od równokątnego kwadratu z podwójnym zwojem , <8/2>

Zwykły degenerat, r ₈
Spirolateral (1,2,2,3,3,2,2,1) _90° , d ₂
Spirolateral (2,1,3,2,2,3,1,2) _90° , d ₂

Kąty wewnętrzne 45° od równokątnego oktagramu , <8/3>

Zwykły, r ₁₆
Izogonalny, str. ₈
Izogonalny, str. ₈
Spirolateral , (1,2) _45° , s. ₈
Izogonalny, str. ₈
Spirolateral (1…4) _45° , g ₂

Równokątne enneagony

Proste przekątne równokątne , <9>, <9/2>, <9/3> i <9/4> mają odpowiednio kąty wewnętrzne 140°, 100°, 60° i 20°.

Kąty wewnętrzne 140° od równokątnego enneagonu <9>

Zwykły, r ₁₈
Spirolateral (1,1,3) _140° , i ₆

Kąty wewnętrzne 100° z równokątnego enneagramu , <9/2>

Regularne {9/2}, s. ₉
Spirolateral (1,1,5) _100° , i ₆
Spirolateral 3 _100° , g ₃

Kąty wewnętrzne 60° z trójkąta równoramiennego potrójnie zwiniętego , <9/3>

Regularny, zdegenerowany, r ₆
Nieregularny, ₁
Nieregularny, ₁
Nieregularny, ₁

Kąty wewnętrzne 20° od równokątnego enneagramu , <9/4>

Regularne {9/4}, r ₁₈
Spirolateral 3 _20° , g ₃
nieregularne, ₂

Równokątne dziesięciokąty

Proste równokątne dziesięciokąty , <10>, <10/2>, <10/3>, <10/4> mają odpowiednio kąty wewnętrzne 144°, 108°, 72° i 36°.

Kąty wewnętrzne 144° od równokątnego dziesięciokąta <10>

Zwykły, r ₂₀
Spirolateral (1,2) _144° , s. ₁₀
Spirolateral (1…5) _144° , g ₂

Kąty wewnętrzne 108° od równokątnego pięciokąta z podwójnym zwojem <10/2>

Normalny, zdegenerowany
Spirolateral (1,2) _108° , s. ₁₀
Nieregularne, s. ₂

Kąty wewnętrzne 72° od równokątnego dekagramu <10/3>

Regularne {10/3}, r ₂₀
Izogonalny, s. ₁₀
Spirolateral (1,2) _72° , s. ₁₀
nieregularne, i ₄
Spirolateral (1…5) _72° , g ₂

Kąty wewnętrzne 36° od równokątnego pentagramu z podwójnym zwojem <10/4>

Zwykły, zdegenerowany, r ₁₀
Spirolateral (1,2) _36° , s. ₁₀
Izogonalny, s. ₁₀
Izogonalny, s. ₁₀
Nieregularne, s. ₂
Nieregularne, s. ₂
Nieregularne, s. ₂

Sześciokąty równokątne

Proste równokątne hendecagons , <11>, <11/2>, <11/3>, <11/4> i <11/5> mają 147 3/11°, 114 6/11°, 81 9/11° , odpowiednio 49 1/11° i 16 4/11° kątów wewnętrznych.

147° kątów wewnętrznych od równokątnego hendekagramu , <11>

Regularnego, {11}, r ₂₂

114° wewnętrznych kątów od równokątnego hendekagramu , <11/2>

Regularnego {11/2}, r ₂₂

81° wewnętrznych kątów od równokątnego hendekagram , <11/3>

Regularny {11/3}, r ₂₂

kąty wewnętrzne 49° od hendekagramu równokątnego , <11/4>

Regularny {11/4}, r ₂₂

16° kąty wewnętrzne od hendekagramu równokątnego , <11 /5>

Regularne {11/5}, r ₂₂

Równokątne dwunastokąty

Proste dwunastokąty równokątne , <12>, <12/2>, <12/3>, <12/4> i <12/5> mają kąty wewnętrzne 150°, 120°, 90°, 60° i 30° odpowiednio.

Kąty wewnętrzne 150° od dwunastokąta równokątnego , <12>

Rozwiązania wypukłe o całkowitych długościach krawędzi mogą być układane w bloki wzorów , kwadraty, trójkąty równoboczne i romby 30° .

Zwykły, {12}, r ₂₄
Izogonalny, s. ₁₂
Spirolateral (1,2) _150° , s. ₁₂
Spirolateral (1…3) _150° , g ₄
Spirolateral (1…4) _150° , g ₃
Spirolateral (1…6) _150° , g ₂

Kąty wewnętrzne 120° z równoramiennego sześciokąta z podwójnym uzwojeniem , <12/2>

Zwykły degenerat, r ₁₂
Spirolateral , (1…4) _120° , g ₃
nieregularne, d ₂
nieregularne, d ₂

Kąty wewnętrzne 90° z równokątnego potrójnie zwiniętego kwadratu , <12/3>

Regularny, zdegenerowany, r ₈
Spirolateral (1…3) _90° , g ₂
Spirolateral (2…4) _90° , g ₄
Spirolateral (1,1,3) _90° , i ₈
Spirolateral (1,2,2) _90° , i ₈
Spirolateral (1…6) _90° , g ₂
Nieregularny, ₁

Kąty wewnętrzne 60° z trójkąta równoramiennego z poczwórnymi zwojami , <12/4>

Regularny, zdegenerowany, r ₆
Spirolateral (1,3,5,1) _60° , s. ₆
Spirolateral (1…4) _60° , g ₃
Nieregularny, ₁

Kąty wewnętrzne 30° od dwunastokąta równokątnego , <12/5>

Regularne {12/5}, r ₂₄
Izogonalny, s. ₁₂
Spirolateral (1,2) _30° , s. ₁₂
Spirolateral (1…3) _30° , g ₄
Spirolateral (1…4) _30° , g ₃
Spirolateral (1…6) _30° , g ₂

Równokątne czworokąty

Proste czworokąty równokątne , <14>, <14/2>, <14/3>, <14/4> i <14/5>, <14/6> mają 154 2/7°, 128 4/7 odpowiednio °, 102 6/7°, 77 1/7°, 51 3/7° i 25 5/7°.

czworokąta równokątnego , <14>

Regularne {14}, r ₂₈
Izogonalny, t{7}, s. ₁₄

Kąty wewnętrzne 128,57° od równokątnego siedmiokąta foremnego o podwójnym uzwojeniu , <14/2>

Zwykły degenerat, r ₁₄
Izogonalny, t{7/2}, s. ₁₄
Spirolateralny 2 _128,57°

102,85° kątów wewnętrznych z równokątnego tetradekagramu , <14/3>

Regularne {14/3}, r ₂₈
Izogonalne t{7/3}, s. ₁₄

heptagramu z podwójnym zwojem <14/4>

Zwykły degenerat, r ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄
Spirolateralny 2 _77,14°

tetradekagramu równokątnego , <14/5>

Regularne {14/5}, r ₂₈
Izogonalny, s. ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄

heptagramu z podwójnymi zwojami , <14/6>

Zwykły degenerat, r ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄
Izogonalny, s. ₁₄
nieregularne, d ₂

Równokątne pięciokąty

Proste pięciokąty równokątne , <15>, <15/2>, <15/3>, <15/4>, <15/5>, <15/6> i <15/7> mają 156°, 132 Kąty wewnętrzne odpowiednio °, 108°, 84°, 60° i 12°.

156° kątów wewnętrznych od pięciokąta równokątnego, <15>

Regularnego, {15}, r ₃₀

132° kątów wewnętrznych od pięciokąta równokątnego , <15/2>

Regularnego, {15/2}, r ₃₀

108° kątów wewnętrznych od równokątny potrójnie zwinięty pięciokąt, <15/3>

Zwykły, zdegenerowany, r ₁₀
spirolateral (1…3) _108° , g ₅

Kąty wewnętrzne 84° z pentadekagramu równokątnego, <15/4>

Regularny, {15/4}, r _{30 Kąty wewnętrzne 60° z}

trójkąta równoramiennego z 5 zwojami , <15/5>

Regularny, zdegenerowany, r ₆
Nieregularny, ₁

pentagramu z trzema zwojami , <15/6>

Zwykły, zdegenerowany, r ₁₀
Nieregularny, ₁
Spirolateral (1…4) _36° , g ₅

12° kątów wewnętrznych z pentadekagramu równokątnego, <15/7>

regularny, {15/7}, r ₃₀

Równokątne sześciokąty

Proste sześciokąty równokątne , <16>, <16/2>, <16/3>, <16/4>, <16/5>, <16/6> i <16/7> mają 157,5°, 135 odpowiednio kąty wewnętrzne °, 112,5°, 90°, 67,5°, 45° i 22,5°.

Kąty wewnętrzne 157,5° z równoramiennego sześciokąta , <16>

Zwykły, {16}, r ₃₂
Izogonalny, t{8}, s. ₁₆
Spirolateral (1…4) _157,5° , g ₄

Kąty wewnętrzne 135° od równokątnego ośmiokąta z podwójnym zwojem, <16/2>

Regularny, zdegenerowany, r ₁₆
Nieregularne, s. ₁₆

112,5° kątów wewnętrznych z heksadekagramu równokątnego , <16/3>

Regularny, {16/3}, r ₃₂

Kąty wewnętrzne 90° z równoramiennego kwadratu z 4 zwojami, <16/4>

Regularny, zdegenerowany, r ₈
Nieregularny, ₁

67,5° kątów wewnętrznych z równoramiennego heksadekagramu , <16/5>

regularnego, {16/5}, r ₃₂

45° wewnętrznych kątów z równokątnego podwójnie zwiniętego oktagramu foremnego , <16/6>

Regularny, zdegenerowany, r ₁₆
spirolateral (1…3) _45° , g ₈

Kąty wewnętrzne 22,5° od równokątnego heksadekagramu , <16/7>

Regularny, {16/7}, r ₃₂
Izogonalny, s. ₁₆

Równokątne ośmiokąty

Proste ośmiokąty równokątne , <18}, <18/2>, <18/3>, <18/4>, <18/5>, <18/6>, <18/7> i <18/8> , mają kąty wewnętrzne odpowiednio 160°, 140°, 120°, 100°, 80°, 60°, 40° i 20°.

Kąty wewnętrzne 160° od równokątnego ośmiokąta , <18>

Zwykły, {18}, r ₃₆
Izogonalny, t{9}, s. ₁₈

Kąty wewnętrzne 140° od równokątnego podwójnie uzwojonego enneagonu , <18/2>

Normalny, zdegenerowany
Spirolateral 2 _140° , s. ₁₈

Kąty wewnętrzne 120° równokątnego sześciokąta z trzema zwojami <18/3>

Regularny, zdegenerowany, r ₁₈
nieregularny, ₁

Kąty wewnętrzne 100° równokątnego podwójnie zwiniętego enneagramu <18/4>

Regularny, zdegenerowany, r ₁₈
Spirolateralny 2 _100° , g ₃

oktadekagramu równoramiennego {18/5}

Regularne, {18/5}, r ₃₆

Kąty wewnętrzne 60° trójkąta równoramiennego z 6 zwojami <18/6>

Regularny, zdegenerowany, r ₆
nieregularny, ₁

oktadekagramu równoramiennego <18/7>

Regularny, {18/7}, r ₃₆
Izogonalny, s. ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈

Kąty wewnętrzne 20° równokątnego podwójnie zwiniętego enneagramu <18/8>

Regularny, zdegenerowany, r ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈
Izogonalny, s. ₁₈
Spirolateral 2 _20° , s. ₁₈
Spirolateral 6 _20° , g ₃

Równokątne dwudziestokąty

Bezpośredni równokątny dwudziestokąt , <20>, <20/3>, <20/4>, <20/5>, <20/6>, <20/7> i <20/9> mają 162°, 126 Kąty wewnętrzne odpowiednio °, 108°, 90°, 72°, 54° i 18°.