Czworokąt bicentryczny

Poryzm Ponceleta dla czworokątów bicentrycznych

ABCD

i

EFGH

W geometrii euklidesowej bicentryczny czworobok jest wypukłym czworobokiem , który ma zarówno okrąg , jak i okrąg . Promienie i środki tych okręgów nazywane są inradius i circumradius oraz incenter i circumcenter . Z definicji wynika, że czworoboki bicentryczne mają wszystkie właściwości zarówno czworoboków stycznych , jak i czworoboków cyklicznych . Inne nazwy tych czworoboków to czworobok styczny do cięciwy oraz czworobok wpisany i opisany . Rzadko też nazywano go czworobokiem z podwójnym kołem i czworobokiem z podwójnym zarysem .

Jeśli dwa okręgi, jeden w drugim, są okręgiem wpisanym i opisanym na bicentrycznym czworoboku, to każdy punkt na okręgu opisanym jest wierzchołkiem czworoboku dwucentrycznego mającego to samo koło i okrąg. Jest to szczególny przypadek poryzmu Ponceleta , który udowodnił francuski matematyk Jean-Victor Poncelet (1788–1867).

Przypadki specjalne

Właściwy latawiec

Przykładami czworokątów bicentrycznych są kwadraty , prawe latawce i równoramienne trapezy styczne .

Charakteryzacje

Bicentryczny czworokąt ABCD i jego kontaktowy czworokąt WXYZ

Wypukły czworobok $ABCD$ o bokach $a, b, c, d$ jest bicentryczny wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwne boki spełniają twierdzenie Pitota o stycznych czworobokach i cykliczną właściwość czworoboku, że przeciwległe kąty są uzupełniające ; to jest,

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} a + c = b + d \\ A + C = B + D = \ pi. \ koniec {przypadków}}}

Trzy inne charakterystyki dotyczą punktów, w których okrąg w stycznym czworoboku jest styczny do boków. Jeśli okrąg jest styczny do boków $AB, BC, CD, DA odpowiednio$ w $W, X, Y, Z$ , to styczny czworokąt $ABCD$ jest również cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z następujących trzech warunków:

$WY$ jest prostopadła do $XZ$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ overline {AW}} {\ overline {WB}}} = {\ Frac {\ overline {DY}}} {\ overline {YC }}}}$
${\ Displaystyle {\ Frac {\ overline {AC}} {\ overline {BD}}} = {\ Frac {{\$

Pierwszy z tych trzech oznacza, że czworokąt kontaktowy $WXYZ$ jest czworobokiem ortodiagonalnym .

Jeśli $E, F, G, H$ są odpowiednio środkami odcinków $WX, XY, YZ, ZW$ , to styczny czworokąt $ABCD$ jest również cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt $EFGH$ jest prostokątem .

Zgodnie z inną charakterystyką, jeśli $I$ jest środkiem w stycznym czworoboku , w którym przedłużenia przeciwległych boków przecinają się w $J$ i $K$ , to czworobok jest również cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy $∠ JIK$ jest kątem prostym .

Jeszcze innym koniecznym i wystarczającym warunkiem jest to, że styczny czworokąt $ABCD$ jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego linia Newtona jest prostopadła do linii Newtona jego czworokąta stykowego $WXYZ$ . (Linia Newtona czworoboku to linia wyznaczona przez środki jego przekątnych).

Budowa

Dwucentryczny czworokąt

ABCD

z czworobokiem kontaktowym

WXYZ

. Animacja zobacz tutaj

Istnieje prosta metoda konstruowania bicentrycznego czworoboku:

Rozpoczyna się od wpisania okręgu $C r$ wokół środka $I$ o promieniu $r$ a następnie narysowania dwóch prostopadłych cięciw $WY$ i $XZ$ w okręgu $C r$ . Na końcach cięciw narysuj styczne $a, b, c, d$ do okręgu. Przecinają się one w czterech punktach $A, B, C, D$ , które są wierzchołkami bicentrycznego czworoboku. Aby narysować okrąg, narysuj dwie prostopadłe dwusieczne $p 1, p 2$ po bokach dwucentrycznego czworoboku $a$ odpowiednio $b$ . Dwusieczne prostopadłe $p 1, p 2 przecinają$ $CR się$ w środku $O$ okręgu opisanego z odległością $x$ od środka $I$ okręgu wpisanego $w Cr$ . Okrąg opisany można narysować wokół środka $O$ .

Ważność tej konstrukcji wynika z charakterystyki, że w stycznym czworoboku $ABCD$ , czworobok kontaktowy $WXYZ$ ma prostopadłe przekątne wtedy i tylko wtedy, gdy styczny czworobok jest również cykliczny .

Obszar

Formuły wyrażone w czterech wielkościach

Pole $K bicentrycznego$ czworoboku można wyrazić za pomocą czterech wielkości czworoboku na kilka różnych sposobów. Jeśli boki to $a, b, c, d$ , to pole jest określone przez

{\ Displaystyle \ Displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}

Jest to szczególny przypadek formuły Brahmagupty . Można go również wyprowadzić bezpośrednio ze wzoru trygonometrycznego na pole stycznego czworoboku . Zauważ, że odwrotność nie zachodzi: niektóre czworoboki, które nie są dwucentryczne, mają również pole ${\ displaystyle \ displaystyle K = {\ sqrt {abcd}}.}$ Jednym z przykładów takiego czworoboku jest niekwadratowy prostokąt .

Powierzchnię można również wyrazić za pomocą długości stycznych $e, f, g, h$ as

{\ Displaystyle K = {\ sqrt [{4}] {efgh}} (e + f + g + h).}

Wzór na pole bicentrycznego czworoboku $ABCD$ ze środkiem $I$ to

{\ Displaystyle K = {\ overline {AI}} \ cdot {\ overline {CI}} + {\ overline {BI}} \ cdot {\ overline {DI}}.}

Jeśli czworokąt bicentryczny ma cięciwy styczności $k, l$ i przekątne $p, q$ , to ma pole

{\ Displaystyle K = {\ Frac {klpq} {k ^ {2} + l ^ {2}}}.}

Jeśli $k, l$ to cięciwy styczności, a $m, n$ to bimediany czworoboku, to pole można obliczyć za pomocą wzoru

{\ Displaystyle K = \ lewo | {\ Frac {m ^ {2} -n ^ {2}} {k ^ {2} -l ^ {2}}} \ prawo | kl}

Tego wzoru nie można użyć, jeśli czworokąt jest prawym latawcem , ponieważ w takim przypadku mianownik wynosi zero.

Jeśli $M, N$ są środkami przekątnych, a $E, F$ są punktami przecięcia przedłużeń przeciwległych boków, to pole bicentrycznego czworoboku jest określone wzorem

fa Ż {\ Displaystyle K = {\ Frac {2 {\ overline {MN}} \ cdot {\ overline {EI}} \ cdot {

gdzie $I$ jest środkiem okręgu.

Formuły pod względem trzech wielkości

Pole bicentrycznego czworoboku można wyrazić za pomocą dwóch przeciwległych boków i kąta $θ$ między przekątnymi zgodnie z

{\ Displaystyle K = ac \ tan {\ Frac {\ teta} {2}} = bd \ łóżeczko {\ frac {\ teta} {2}}.}

Pod względem dwóch sąsiednich kątów i promienia $r$ okręgu, obszar jest określony przez

{\ Displaystyle K = 2r ^ {2} \ lewo ({\ Frac {1} {\ sin {A}}} + {\ Frac {1} {\ sin {B}}} \ prawej).}

Powierzchnia jest wyrażona promieniem okręgu $R$ i promieniem $r$ as

{\ Displaystyle K = r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}) \ sin \ theta}

gdzie $θ$ jest dowolnym kątem między przekątnymi.

Jeśli $M, N$ są środkami przekątnych, a $E, F$ są punktami przecięcia przedłużeń przeciwległych boków, to pole można również wyrazić jako

{\ Displaystyle K = 2 {\ overline {MN}} {\ sqrt {{\ overline {EQ}} \ cdot {\ overline {FQ}}}}

gdzie $Q$ jest stopą prostopadłej do linii $EF$ przechodzącej przez środek okręgu.

nierówności

Jeśli $r$ i $R$ są odpowiednio promieniem i promieniem okręgu, to obszar $K$ spełnia nierówności

{\ Displaystyle \ Displaystyle 4r ^ {2} \ równoważnik K \ równoważnik 2R ^ {2}.}

Istnieje równość po obu stronach tylko wtedy, gdy czworokąt jest kwadratem .

Kolejna nierówność dla obszaru to

{\ Displaystyle K \ równoważnik {\ tfrac {4} {3}} r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}

gdzie $r$ i $R$ to odpowiednio promień i promień okręgu.

Podobna nierówność dająca ostrzejszą górną granicę obszaru niż poprzednia

{\ Displaystyle K \ równoważnik r (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}})}

z zachowaniem równości wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest prawym latawcem .

Ponadto o bokach $a, b, c, d$ i półobwodach $s$ :

{\ Displaystyle 2 {\ sqrt {K}} \ równoważnik s \ równoważnik r + {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}};}

{\ Displaystyle 6K \ równoważnik ab + ac + reklama + bc + bd + cd \ równoważnik 4r ^ {2} + 4R ^ {2} + 4r {\ sqrt {r ^ {2} + 4R ^ {2}}}; }

{\ Displaystyle 4Kr ^ {2} \ równoważnik abcd \ równoważnik {\ Frac {16} {9}} r ^ {2} (r ^ {2} + 4R ^ {2}).}

Formuły kątowe

Jeśli $a, b, c, d$ są odpowiednio długościami boków $AB, BC, CD, DA$ w czworokącie bicentrycznym $ABCD$ , to kąty jego wierzchołków można obliczyć za pomocą funkcji stycznej :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ tan {\ Frac {A} {2}} & = {\ sqrt {\ Frac {bc} {ad}}} = \ łóżeczko {\ Frac {C} {2}} ,\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{wyrównane} }}

Używając tych samych oznaczeń, dla funkcji sinus i cosinus obowiązują następujące wzory:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin {\ Frac {A} {2}} & = {\ sqrt {\ Frac {bc} {ad + bc}}} = \ cos {\ Frac {C} {2 }},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\ \\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos { \frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{wyrównane}}}

Kąt $θ$ między przekątnymi można obliczyć z

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ tan {\ Frac {\ theta} {2}} = {\ sqrt {\ Frac {bd} {ac}}}.}

Promień i obwód

Promień r bicentrycznego czworoboku jest $określony$ przez boki $a, b, c, d$ zgodnie z

{\ Displaystyle \ Displaystyle r = {\ Frac {\ sqrt {abcd}} {a + c}} = {\ Frac {\ sqrt {abcd}} {b + d}}.}

Promień okręgu $R$ jest podany jako szczególny przypadek wzoru Parameśwary . To jest

{\ Displaystyle \ Displaystyle R = {\ Frac {1} {4}} {\ sqrt {\ Frac {(ab + cd) (ac + bd) (reklama + bc)} {abcd}}}.}

Inpromień można również wyrazić za pomocą kolejnych długości stycznych $e, f, g, h$ zgodnie z

{\ displaystyle \ displaystyle r = {\ sqrt {np.}} = {\ sqrt {fh}}.}

Te dwa wzory są w rzeczywistości warunkami koniecznymi i wystarczającymi, aby czworobok styczny o promieniu $r$ był cykliczny .

Cztery boki $a, b, c, d$ bicentrycznego czworoboku to cztery rozwiązania równania kwartalnego

{\ styl wyświetlania y^{4}-2sy^{3}+(s^{2}+2r^{2}+2r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})y^{2} -2rs({\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r)y+r^{2}s^{2}=0}

gdzie $s$ to półobwód, a $r$ i $R$ to odpowiednio promień i promień okręgu.

Jeśli istnieje bicentryczny czworobok o promieniu $r$ , którego styczne długości to $e, f, g, h$ ${\ Displaystyle e^{v},f^{v},g^{v},h^{v},}$ to istnieje dwuśrodkowy czworobok o promieniu $r v$ , którego styczne długości to mi gdzie $v$ może być dowolną liczbą rzeczywistą .

Bicentryczny czworobok ma większy promień niż jakikolwiek inny styczny czworobok mający tę samą sekwencję długości boków.

nierówności

Promień okręgu $R$ i promień $r$ spełniają nierówność

{\ Displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r}

co zostało udowodnione przez L. Fejes Tóth w 1948 r. Zachodzi z równością tylko wtedy, gdy dwa okręgi są koncentryczne (mają ten sam środek co drugi); wtedy czworokąt jest kwadratem . Nierówność można udowodnić na kilka różnych sposobów, z których jeden wykorzystuje podwójną nierówność dla powyższego obszaru.

Przedłużeniem poprzedniej nierówności jest

\ Displaystyle frac {r{\sqrt {2}}}{R}}\leq {\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B} {2}}+\sin {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}+\sin {\frac {C}{2}}\cos {\frac {D} {2}}+\sin {\frac {D}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\right)\leq 1}

gdzie jest równość po obu stronach wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest kwadratem .

Półobwód $s$ bicentrycznego czworoboku spełnia

{\ Displaystyle {\ sqrt {8r \ lewo ({\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}} }-r\right)}}\leq s\leq {\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}+r}

gdzie $r$ i $R$ to odpowiednio promień i promień okręgu.

Ponadto,

{\ Displaystyle 2sr ^ {2} \ równoważnik abc + abd + acd + bcd\leq 2r(r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}})^{2}}

I

{\ Displaystyle abc + abd + acd + bcd \ równoważnik 2 {\ sqrt {K}} (K + 2R ^ {2}).}

Odległość między środkiem a środkiem okręgu opisanego

Dwucentryczny czworobok

ABCD

ze środkiem I i środkiem okręgu opisanego na O

Twierdzenie Fussa

Twierdzenie Fussa podaje zależność między promieniem $r$ , promieniem obwodu $R$ i odległością $x$ między środkiem $I$ a środkiem okręgu opisanego $O$ , dla dowolnego czworoboku bicentrycznego. Relacja jest

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {(Rx) ^ {2}}} + {\ Frac {1} {(R + x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}

lub równoważnie

{\ Displaystyle \ Displaystyle 2r ^ {2} (R ^ {2} + x ^ {2}) = (R ^ {2} -x ^ {2}) ^ {2}.}

Został wyprowadzony przez Nicolausa Fussa (1755–1826) w 1792 r. Rozwiązanie dla $x$ wydajności

{\ Displaystyle x = {\ sqrt {R ^ {2} + r ^ {2} -r {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}}}}.}

Twierdzenie Fussa, które jest analogiem twierdzenia Eulera dla trójkątów dla czworokątów bicentrycznych, mówi, że jeśli czworokąt jest bicentryczny, to dwa powiązane z nim okręgi są powiązane zgodnie z powyższymi równaniami. W rzeczywistości zachodzi również sytuacja odwrotna: przy danych dwóch okręgach (jeden w drugim) o promieniach $R$ i $r$ oraz odległości $x$ między ich środkami, spełniających warunek z twierdzenia Fussa, istnieje wypukły czworobok wpisany w jeden z nich i styczny do drugiego (a następnie z twierdzenia Ponceleta o domknięciu , istnieje ich nieskończenie wiele).

Zastosowanie ${\ displaystyle x ^ {2} \ geq 0}$ do wyrażenia twierdzenia Fussa dla $x$ w kategoriach $r$ i $R$ to inny sposób na uzyskanie wspomnianej wyżej nierówności ${\ Displaystyle R \ geq {\ sqrt {2}} r.}$ Uogólnienie jest

{\ Displaystyle 2r ^ {2} + x ^ {2} \ równoważnik R ^ {2} \ równoważnik 2r ^ {2} + x ^ {2} + 2rx.}

tożsamość Carlitza

Inny wzór na odległość $x$ między środkami okręgu wpisanego i opisanego pochodzi od amerykańskiego matematyka Leonarda Carlitza (1907–1999). Twierdzi, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle x ^ {2} = R ^ {2} -2Rr \ cdot \ mu}

gdzie $r$ i $R$ to odpowiednio promień i promień obwodu , oraz

\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu = {\ sqrt {\ Frac {(ab + cd) (reklama + bc)} {(a + c) ^ {2} (ac + bd)}} }={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}

gdzie $a, b, c, d$ to boki bicentrycznego czworoboku.

Nierówności dla stycznych długości i boków

Dla długości stycznych $e, f, g, h$ zachodzą następujące nierówności:

{\ Displaystyle 4r \ równoważnik e + f + g + h \ równoważnik 4r \ cdot {\ Frac {R ^ {2 }+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}

I

{\ Displaystyle 4r ^ {2} \ równoważnik e ^ {2} + f ^ {2} + g ^{2}+h^{2}\równik 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}

gdzie $r$ to promień, $R$ to promień okręgu, a $x$ to odległość między środkiem a środkiem okręgu opisanego. Boki $a, b, c, d$ spełniają nierówności

{\ Displaystyle 8r \ równoważnik a + b + c + d \ równoważnik 8r \ cdot {\ Frac {R ^ {2 }+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}

I

{\ Displaystyle 4 (R ^ {2} -x ^ {2} + 2r ^ {2}) \ równoważnik a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ równoważnik 4(3R^{2}-2r^{2}).}

Inne właściwości centrum

Środek okręgu opisanego , środek okręgu i przecięcie przekątnych w bicentrycznym czworoboku są współliniowe .

Istnieje następująca równość odnosząca się do czterech odległości między środkiem $I$ a wierzchołkami bicentrycznego czworoboku $ABCD$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {{\ overline {AI}} ^ {2}}} +{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{ {\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}

gdzie $r$ jest promieniem.

Jeśli $P$ jest przecięciem przekątnych w bicentrycznym czworoboku $ABCD$ ze środkiem $I$ , to

{\ Displaystyle {\ Frac {\ overline {AP}} {\ overline {CP}}} = {\ frac {{\ overline {AI}} ^ {2}} {{\ overline {CI}} ^ {2} }}.}

Nierówność dotycząca promienia $r$ i promienia okręgu $R$ w bicentrycznym czworoboku $ABCD$ wynosi

\ Displaystyle 4r ^ {2} \ równoważnik {\ overline {AI}} \ cdot {\ overline {CI}} + {\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}\równoważnik 2R^{2}}

gdzie $ja$ jestem centrum.

Właściwości przekątnych

Długości przekątnych w bicentrycznym czworoboku można wyrazić za pomocą boków lub długości stycznych , które są wzorami, które zachodzą odpowiednio w czworoboku cyklicznym i czworoboku stycznym .

W bicentrycznym czworoboku o przekątnych $p, q$ obowiązuje następująca tożsamość:

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ Frac {pq} {4r ^ {2}}} - {\ Frac {4R ^ {2}} {pq}} = 1}

gdzie $r$ i $R$ to odpowiednio promień i promień okręgu . Tę równość można zapisać jako

{\ Displaystyle R = {\ Frac {pq} {2 {\ sqrt {pq + 4R ^ {2}}}}}}

lub rozwiązując to jako równanie kwadratowe iloczynu przekątnych, w postaci

{\ Displaystyle pq = 2r \ lewo (r + {\ sqrt {4R ^ {2} + r ^ {2}}} \ prawo).}

Nierówność dla iloczynu przekątnych $p, q$ w bicentrycznym czworoboku to

{\ Displaystyle \ Displaystyle 8pq \ równoważnik (a + b + c + re) ^ {2}}

gdzie $a, b, c, d$ to boki. Zostało to udowodnione przez Murraya S. Klamkina w 1967 roku.

Cztery centra leżą na okręgu

Niech $ABCD$ będzie czworokątem bicentrycznym, a $O$ środkiem okręgu opisanego na nim. Wtedy środki czterech trójkątów $△ OAB, △ OBC, △ OCD, △ ODA$ leżą na okręgu.

Zobacz też