Twierdzenie Ponceleta o domknięciu

Ilustracja poryzmu Ponceleta dla n = 3, trójkąta wpisanego w jedno koło i opisanego na drugim.

W geometrii twierdzenie Ponceleta o domknięciu , znane również jako poryzm Ponceleta , stwierdza, że ​​ilekroć wielokąt jest wpisany w jeden przekrój stożkowy i opisuje inny, wielokąt musi należeć do nieskończonej rodziny wielokątów, które wszystkie są wpisane i opisują te same dwa stożki. Jej nazwa pochodzi od francuskiego inżyniera i matematyka Jeana-Victora Ponceleta , który napisał o niej w 1822 roku; jednak trójkątny przypadek został odkryty znacznie wcześniej, w 1746 r. przez Williama Chapple'a .

Poryzm Ponceleta można udowodnić za pomocą argumentu wykorzystującego krzywą eliptyczną , której punkty reprezentują kombinację linii stycznej do jednego stożka i punktu przecięcia tej prostej z drugim stożkiem.

Oświadczenie

Niech C i D będą dwoma płaskimi stożkami . Jeśli dla danego n > 2 można znaleźć jeden wielokąt n -boczny , który jest jednocześnie wpisany w C (co oznacza, że ​​wszystkie jego wierzchołki leżą na C ) i opisany wokół D (co oznacza, że ​​wszystkie jego krawędzie są styczne do D ), to można znaleźć ich nieskończenie wiele. Każdy punkt C lub D jest wierzchołkiem lub stycznością (odpowiednio) jednego takiego wielokąta.

Jeśli stożki są okręgami , wielokąty wpisane w jeden okrąg i opisane wokół drugiego nazywamy wielokątami bicentrycznymi , więc ten szczególny przypadek poryzmu Ponceleta można wyrazić bardziej zwięźle, mówiąc, że każdy wielokąt bicentryczny jest częścią nieskończonej rodziny wielokątów bicentrycznych. wielokąty względem tych samych dwóch okręgów.

Szkic dowodowy

Zobacz C i D jako krzywe na zespolonej płaszczyźnie rzutowej P 2 . Dla uproszczenia załóżmy, że C i D przecinają się poprzecznie (co oznacza, że ​​każdy punkt przecięcia tych dwóch punktów jest prostym skrzyżowaniem). Następnie, zgodnie z twierdzeniem Bézouta , przecięcie C ∩ D dwóch krzywych składa się z czterech punktów zespolonych. Dla dowolnego punktu d w D niech ℓ d będzie linią styczną do D w re . Niech X będzie podrozmaitością C × D składającą się z ( c , d ) taką, że ℓ d przechodzi przez c . Biorąc pod uwagę c , liczba d z ( c , d ) ∈ X wynosi 1, jeśli c ∈ C ∩ D i 2 w przeciwnym razie. Zatem rzut X → C ≃ P 1 przedstawia X jako pokrycie stopnia 2 rozgałęzione powyżej 4 punktów, więc X jest krzywą eliptyczną (po ustaleniu punktu bazowego na X ). Niech będzie inwolucją wysyłającą generała ( do , re ) do innego punktu ( do , d ′ ) z tą samą pierwszą współrzędną. σ { } Każda inwolucja krzywej eliptycznej ze stałym punktem, wyrażona w prawie grupowym, ma postać x → p - x dla pewnego p , więc ma tę formę. Podobnie projekcja X → D jest morfizmem stopnia 2 rozgałęzionym na punkty styku na D czterech linii stycznych zarówno do C , jak i D , a odpowiadająca jej inwolucja ma postać x → q - x dla trochę q . Zatem kompozycja jest tłumaczeniem na X. . Jeśli potęga punkt, ta potęga musi być Przetłumaczone z powrotem na język C i D , oznacza to, że jeśli jeden punkt c ∈ C (wyposażony w odpowiednie d ) daje orbitę, która się zamyka (tj. daje n - gon), to tak samo dzieje się z każdym punktem. Zdegenerowane przypadki, w których C i D nie są poprzeczne, wynikają z argumentu granicznego.

Zobacz też

  • Bos, HJM ; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW „Twierdzenie Ponceleta o zamknięciu”. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289–364.

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Poncelet%27s_closure_theorem&oldid=1132541356 ”