Gwiazda wielokąta

Dwa rodzaje pięciokątów gwiazd
{5/2}	\|5/2\|
Pięciokąt gwiazdy foremnej {5/2} ma pięć wierzchołków narożnych i przecinających się krawędzi, podczas gdy dziesięciokąt wklęsły \| 5/2\| ma dziesięć krawędzi i dwa zbiory po pięć wierzchołków. Pierwsze są używane w definicjach gwiezdnych wielościanów i jednorodnych nachyleń gwiazd , podczas gdy drugie są czasami używane w płaskich nachyleniach.
Mały dwunastościan gwiaździsty	Teselacja

W geometrii gwiazda wielokąta jest typem niewypukłego wielokąta . Regularne wielokąty gwiazd zostały dogłębnie zbadane; podczas gdy generalnie wydaje się, że wielokąty gwiaździste nie zostały formalnie zdefiniowane, niektóre godne uwagi mogą powstać w wyniku operacji obcinania regularnych wielokątów prostych i gwiaździstych.

Branko Grünbaum zidentyfikował dwie podstawowe definicje używane przez Johannesa Keplera , z których jedna to wielokąty gwiazdy foremnej z przecinającymi się krawędziami , które nie generują nowych wierzchołków, a druga to proste wielokąty izotoksalne wklęsłe .

Pierwsze użycie jest zawarte w poligramach , które obejmują wielokąty, takie jak pentagram , ale także figury złożone, takie jak heksagram .

Jedna z definicji wielokąta gwiaździstego , używana w grafice żółwi , to wielokąt mający 2 lub więcej zwojów ( liczba skrętów i gęstość ), jak w spirolateralach .

Nazwy

Nazwy wielokątów gwiaździstych łączą przedrostek liczbowy , taki jak penta- , z greckim przyrostkiem -gram (w tym przypadku generującym słowo pentagram ). Przedrostek to zwykle grecki kardynał , ale istnieją synonimy używające innych przedrostków. Na przykład dziewięciopunktowy wielokąt lub enneagram jest również znany jako nonagram , używając porządkowej nona z łaciny . ^{[ potrzebne ]} źródło -gram przyrostek pochodzi od γραμμή ( grammḗ ) oznaczającego linię.

Regularny wielokąt gwiazdy

{5/2}	{7/2}	{7/3} ...

Regularne wypukłe i gwiazdowe wielokąty z 3 do 12 wierzchołkami oznaczonymi ich symbolami Schläfli

„Wielokąt gwiazdy foremnej” to samoprzecinający się, równoboczny wielokąt równokątny .

Wielokąt gwiazdy foremnej jest oznaczony symbolem Schläfliego { p / q }, gdzie p (liczba wierzchołków) i q ( gęstość ) są względnie pierwsze (nie mają wspólnych czynników), a q ≥ 2. Gęstość wielokąta może być również nazywany jego liczbą zwrotną , sumą kątów skrętu wszystkich wierzchołków podzieloną przez 360 °.

Grupa symetrii { n / k } jest grupą dwuścienną D _n rzędu 2 n , niezależną od k .

Regularne wielokąty gwiazd były najpierw systematycznie badane przez Thomasa Bradwardine'a , a później Johannesa Keplera .

Konstrukcja poprzez połączenie wierzchołkowe

Regularne wielokąty gwiezdne można tworzyć, łącząc jeden wierzchołek prostego, regularnego wielokąta p -bocznego z innym, nieprzylegającym wierzchołkiem i kontynuując proces, aż do ponownego osiągnięcia pierwotnego wierzchołka. Alternatywnie dla liczb całkowitych p i q , można uznać, że jest skonstruowany przez połączenie każdego q -tego punktu z p punkty regularnie rozmieszczone w okrągłym rozmieszczeniu. Na przykład w pięciokącie foremnym pięcioramienną gwiazdę można uzyskać, rysując linię od pierwszego do trzeciego wierzchołka, od trzeciego wierzchołka do piątego wierzchołka, od piątego wierzchołka do drugiego wierzchołka, od drugiego wierzchołka do czwartego wierzchołka i od czwartego wierzchołka do pierwszego wierzchołka.

Jeśli q jest większe niż połowa p , to konstrukcja da ten sam wielokąt co p - q ; połączenie co trzeciego wierzchołka pięciokąta da identyczny wynik jak połączenie co drugiego wierzchołka. Jednak wierzchołki zostaną osiągnięte w przeciwnym kierunku, co robi różnicę, gdy wsteczne wielokąty są włączone do politopów o wyższych wymiarach. Na przykład antygraniastosłup utworzony z pentagramu prograde {5/2} daje antygraniastosłup pentagramowy ; analogiczna konstrukcja z wstecznego „skrzyżowanego pentagramu” {5/3} skutkuje pentagramowym skrzyżowanym antypryzmatem . Innym przykładem jest czworościan , który można postrzegać jako „skrzyżowany trójkąt” {3/2} cuploid .

Zdegenerowane regularne wielokąty gwiazdowe

Jeśli p i q nie są względnie pierwsze, powstanie zdegenerowany wielokąt z pokrywającymi się wierzchołkami i krawędziami. Na przykład {6/2} pojawi się jako trójkąt, ale można go oznaczyć dwoma zestawami wierzchołków 1-6. Powinno to być postrzegane nie jako dwa nakładające się trójkąty, ale podwójne zwinięcie pojedynczego sześciokąta jednokierunkowego.

Budowa poprzez stellację

Alternatywnie, regularny wielokąt gwiazdy można również uzyskać jako sekwencję stelacji wypukłego regularnego rdzenia wielokąta. Konstrukcje oparte na stellacji pozwalają również na uzyskanie regularnych związków wielokątnych w przypadkach, gdy gęstość i liczba wierzchołków nie są względnie pierwsze. Jednak podczas konstruowania wielokątów gwiaździstych z gwiazd, jeśli q jest większe niż p / 2, zamiast tego linie będą się rozchodzić w nieskończoność, a jeśli q jest równe p /2, linie będą równoległe, a obie nie będą się przecinać w przestrzeni euklidesowej. Jednak może być możliwe skonstruowanie niektórych takich wielokątów w przestrzeni sferycznej, podobnie jak w przypadku monogonu i digonu ; wydaje się, że takie wielokąty nie zostały jeszcze szczegółowo zbadane.

Proste wielokąty gwiazd izotoksalnych

Kiedy przecinające się linie zostaną usunięte, wielokąty gwiazdy nie są już regularne, ale można je postrzegać jako proste wklęsłe izotoksalne 2 n -kąty, naprzemienne wierzchołki na dwóch różnych promieniach, które niekoniecznie muszą pasować do kątów regularnych wielokątów gwiazdy. Branko Grünbaum w Tilings and Patterns przedstawia te gwiazdy jako | n / d | które pasują do geometrii poligramu {n/d} z notacją {n _α } bardziej ogólnie, reprezentującą gwiazdę o bokach n z każdym kątem wewnętrznym α<180°(1-2/ n ) stopni. dla | n / d |, wierzchołki wewnętrzne mają kąt zewnętrzny β wynoszący 360° ( d -1) / n .

Proste przykłady gwiazd izotoksalnych
\|n/d\| {n _. }	{3 _30° }	{6 _30° }	\|5/2\| {5 _36° }	{4 _45° }	\|8/3\| {8 _45° }	\|6/2\| {6 _60° }	{5 _72° }
α	30°		36°	45°		60°	72°
β	150°	90°	72°	135°	90°	120°	144°
Gwiazda izotoksalna
Powiązany poligram {n/d}	{12/5}		{5/2}	{8/3}		2{3} figura gwiazdy	{10/3}

Przykłady w kafelkach

Te wielokąty są często widoczne we wzorach płytek. Kąt parametryczny α (stopnie lub radiany) można wybrać tak, aby pasował do wewnętrznych kątów sąsiednich wielokątów we wzorze teselacji. Johannes Kepler w swojej pracy Harmonices Mundi z 1619 r. , W tym między innymi nachylenia z epoki, nieokresowe nachylenia, takie jak trzy pięciokąty foremne i pięciokąt foremnej gwiazdy (5.5.5.5/2) mogą pasować wokół wierzchołka i są powiązane ze współczesnymi nachyleniami Penrose'a .

Przykładowe nachylenia z izotoksalnymi wielokątami gwiazd
Trójkąty gwiazd	Kwadraty gwiazd	Sześciokąty gwiazd			Ośmiokąty gwiazd
(3,3 ^_α 0,3,3 ^*_α )	(8,4 ^_π/4 .8,4 ^_π/4 )	(6,6 ^_{π/3 ,} 6,6 ^_π/3 )	(3,6 ^_{π/3 ,} 6 ^*_π/3 )	(3,6,6 ^*_π/3,6 )	Nie od krawędzi do krawędzi

Wnętrza

Wnętrze wielokąta gwiazdy można traktować na różne sposoby. Dla pentagramu zilustrowano trzy takie zabiegi. Branko Grünbaum i Geoffrey Shephard uważają dwa z nich za regularne wielokąty gwiazdowe i wklęsłe izogonalne 2 n -kąty.

Obejmują one:

Tam, gdzie występuje strona, jedna strona jest traktowana jako zewnętrzna, a druga jako wewnętrzna. Jest to pokazane na ilustracji po lewej stronie i często występuje w komputerowej grafice wektorowej .
Liczba okrążeń wielokątnej krzywej wokół danego regionu określa jego gęstość . Zewnętrzna część ma gęstość równą 0, a każdy obszar o gęstości > 0 jest traktowany jako wewnętrzny. Jest to pokazane na centralnej ilustracji i często występuje w matematycznym traktowaniu wielościanów . (Jednakże w przypadku nieorientowanych wielościanów gęstość można uznać tylko za modulo 2, a zatem w takich przypadkach czasami zamiast tego stosuje się pierwszą obróbkę w celu zachowania spójności).
Tam, gdzie można narysować linię między dwoma bokami, obszar, w którym leży linia, jest traktowany jako obszar wewnątrz figury. Jest to pokazane na ilustracji po prawej stronie i często występuje podczas tworzenia modelu fizycznego.

Gdy oblicza się pole wielokąta, każde z tych podejść daje inną odpowiedź.

W sztuce i kulturze

Gwiezdne wielokąty zajmują ważne miejsce w sztuce i kulturze. Takie wielokąty mogą być regularne lub nie , ale zawsze są wysoce symetryczne . Przykłady obejmują:

Pięciokąt gwiazdy {5/2} ( pentagram ) jest również znany jako pentalfa lub pięciokąt i historycznie był uważany przez wiele kultów magicznych i religijnych za mający znaczenie okultystyczne .
Wielokąty gwiazd {7/2} i {7/3} ( heptagramy ) również mają znaczenie okultystyczne, szczególnie w kabale i wicca .
Wielokąt gwiazdy {8/3} ( oktagram ) jest częstym motywem geometrycznym w sztuce i architekturze islamu Mogołów ; pierwszy znajduje się na godle Azerbejdżanu .
Jedenastoramienna gwiazda zwana hendekagramem została użyta na grobowcu Shah Nemat Ollah Vali.

Ośmiokąt {8/3} zbudowany w regularnym ośmiokącie	Pieczęć Salomona z kółkiem i kropkami (figura gwiazdy)

Zobacz też

Cromwell, P.; Wielościany , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . P. 175
Grünbaum, B. i GC Shephard; Płytki i wzory , Nowy Jork: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 .
Grunbaum, B .; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes… etc. (Toronto 1993) , red. T. Bisztriczky i in., Kluwer Academic (1994) s. 43–70.
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Rozdział 26. s. 404: Zwykła gwiazda-politopy Wymiar 2)
Branko Grünbaum , Metamorfozy wielokątów , opublikowane w The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History (1994)