Płytki Penrose'a

Dachówka Penrose'a z rombami wykazującymi pięciokrotną symetrię

Dachówka Penrose'a jest przykładem aperiodycznego kafelkowania . Tutaj kafelkowanie jest pokryciem płaszczyzny przez nienakładające się na siebie wielokąty lub inne kształty, a aperiodyczne oznacza, że ​​przesuwanie dowolnego kafelka z tymi kształtami o dowolną skończoną odległość, bez obrotu, nie może wytworzyć tego samego kafelka. Jednak pomimo braku symetrii translacyjnej , nachylenia Penrose'a mogą mieć zarówno symetrię odbicia , jak i pięciokrotną symetrię obrotową . Tilings Penrose'a zostały nazwane na cześć matematyka i fizyka Roger Penrose , który badał je w latach 70.

Istnieje kilka różnych odmian płytek Penrose o różnych kształtach płytek. Oryginalna forma płytek Penrose'a wykorzystywała płytki o czterech różnych kształtach, ale później zostało to zredukowane do tylko dwóch kształtów: albo dwóch różnych rombów , albo dwóch różnych czworoboków zwanych latawcami i rzutkami. Nachylenia Penrose'a uzyskuje się poprzez ograniczenie sposobów, w jakie te kształty mogą pasować do siebie w sposób, który pozwala uniknąć okresowego nachylenia. Można to zrobić na kilka różnych sposobów, w tym reguły dopasowywania, kafelkowanie podstawień lub reguły skończonego podziału , schematy cięć i projektów oraz pokrycia. Nawet ograniczona w ten sposób, każda wariacja daje nieskończenie wiele różnych nachyleń Penrose'a.

Roger Penrose w foyer Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University , stojąc na podłodze z płytkami Penrose'a

Nachylenia Penrose'a są samopodobne : można je przekształcić na równoważne nachylenia Penrose'a z różnymi rozmiarami płytek, stosując procesy zwane inflacją i deflacją . Wzór reprezentowany przez każdą skończoną łatę płytek w kafelkach Penrose'a występuje nieskończenie wiele razy w całym kafelku. Są to kwazikryształy : zaimplementowane jako struktura fizyczna płytki Penrose'a będą generować wzory dyfrakcyjne z pikami Bragga i pięciokrotną symetrię, ujawniającą powtarzające się wzory i ustalone orientacje płytek. Badanie tych nachyleń było ważne dla zrozumienia materiałów fizycznych, które również tworzą kwazikryształy. Płytki Penrose były również stosowane w architekturze i dekoracji, jak na pokazanej płytce podłogowej.

Tło i historia

Tilingi okresowe i aperiodyczne

Rysunek 1. Część okresowego kafelkowania z dwoma prototylami

Pokrycie płaskiej powierzchni („płaszczyzny”) pewnym wzorem geometrycznych kształtów („płytek”), bez zachodzenia na siebie lub przerw, nazywa się kafelkowaniem . Najbardziej znane kafelki, takie jak pokrycie podłogi kwadratami stykającymi się krawędziami, są przykładami okresowych kafelków . Jeśli kwadratowa płytka zostanie przesunięta o szerokość płytki, równolegle do boków płytki, wynikiem jest ten sam układ płytek, co przed przesunięciem. Przesunięcie (formalnie tłumaczenie ), które zachowuje kafelkowanie w ten sposób, nazywane jest kropką płytek. Kafelkowanie nazywa się okresowym, gdy ma okresy, które przesuwają kafelki w dwóch różnych kierunkach.

Płytki w kwadratowym kafelku mają tylko jeden kształt, a inne kafelki często mają tylko skończoną liczbę kształtów. Te kształty nazywane są prototiles , a zbiór prototiles dopuszcza kafelkowanie lub kafelkowanie płaszczyzny , jeśli istnieje kafelkowanie płaszczyzny przy użyciu tylko tych kształtów. Oznacza to, że każdy kafelek w kafelku musi być zgodny z jednym z tych prototylów.

Dachówka, która nie ma kropek, jest nieokresowa . Mówi się, że zbiór prototylów jest aperiodyczny , jeśli wszystkie jego nachylenia są nieokresowe, iw tym przypadku jego nachylenia są również nazywane aperiodycznymi nachyleniami . Nachylenia Penrose'a należą do najprostszych znanych przykładów aperiodycznych nachyleń płaszczyzny przez skończone zbiory prototylów.

Najwcześniejsze aperiodyczne nachylenia

Aperiodyczny zestaw kostek domina Wanga .

Temat aperiodycznych nachyleń zyskał nowe zainteresowanie w latach sześćdziesiątych XX wieku, kiedy logik Hao Wang zauważył powiązania między problemami decyzyjnymi a nachyleniem. W szczególności wprowadził układanie płytek za pomocą kwadratowych płytek z kolorowymi krawędziami, obecnie znanych jako domino Wang lub płytki , i postawił „ Problem domina ”: aby określić, czy dany zestaw kostek domina Wanga może pokryć płaszczyznę pasującymi kolorami na sąsiednich krawędziach domina. Zauważył, że gdyby ten problem był nierozstrzygalny , to musiałby istnieć aperiodyczny zestaw kostek domina Wanga. W tamtym czasie wydawało się to nieprawdopodobne, więc Wang przypuszczał, że taki zestaw nie może istnieć.

Sześć prototiles Robinsona

Uczeń Wanga, Robert Berger, udowodnił, że problem domina jest nierozstrzygalny (więc przypuszczenie Wanga było błędne) w swojej pracy magisterskiej z 1964 roku i uzyskał aperiodyczny zestaw 20 426 kostek domina Wanga. Opisał również redukcję do 104 takich prototylów; ten ostatni nie pojawił się w jego opublikowanej monografii, ale w 1968 roku Donald Knuth szczegółowo opisał modyfikację zestawu Bergera wymagającą tylko 92 kostek domina.

Dopasowanie kolorów wymagane w kafelkach za pomocą kostek domina Wang można łatwo osiągnąć, modyfikując krawędzie płytek, tak jak kawałki układanki, tak aby pasowały do ​​​​siebie tylko zgodnie z kolorami krawędzi. Raphael Robinson w artykule z 1971 roku, który uprościł techniki Bergera i dowód nierozstrzygalności, wykorzystał tę technikę do uzyskania aperiodycznego zestawu zaledwie sześciu prototylów.

Rozwój płytek Penrose'a

Pierwsze kafelkowanie Penrose'a (kafelkowanie P1 poniżej) to aperiodyczny zestaw sześciu prototiles, wprowadzony przez Rogera Penrose'a w artykule z 1974 roku, oparty raczej na pięciokątach niż na kwadratach. Każda próba ułożenia płaszczyzny pięciokątami foremnymi z konieczności pozostawia luki, ale Johannes Kepler wykazał w swojej pracy Harmonices Mundi z 1619 r ., że te luki można wypełnić za pomocą pentagramów ( wielokątów gwiezdnych ), dziesięciokątów i powiązane kształty. Kepler rozszerzył to kafelkowanie o pięć wielokątów i nie znalazł żadnych okresowych wzorców, i już przypuszczał, że każde rozszerzenie wprowadzi nową cechę, tworząc w ten sposób aperiodyczne kafelkowanie. Ślady tych idei odnaleźć można także w twórczości Albrechta Dürera . Uznając inspirację Keplera, Penrose znalazł pasujące reguły dla tych kształtów, uzyskując zestaw aperiodyczny. Te zasady dopasowania można narzucić dekoracją krawędzi, jak w przypadku płytek Wang. Płytki Penrose'a można postrzegać jako uzupełnienie skończonego Aa Keplera .

Dachówka inna niż Penrose z pięciokątami i cienkimi rombami na początku XVIII wieku w kościele pielgrzymkowym św. Jana Nepomucena na Zelenej horze w Czechach

Penrose następnie zmniejszył liczbę prototylów do dwóch, odkrywając kafelkowanie latawca i rzutki (kafelkowanie P2 poniżej) oraz kafelkowanie rombowe (kafelkowanie P3 poniżej). Ułożenie rombów zostało niezależnie odkryte przez Roberta Ammanna w 1976 r. Penrose i John H. Conway zbadali właściwości ułożeń Penrose'a i odkryli, że właściwość podstawienia wyjaśnia ich hierarchiczny charakter; ich odkrycia zostały opublikowane przez Martina Gardnera w jego kolumnie „ Mathematical Games ” ze stycznia 1977 r. w Scientific American .

W 1981 roku NG de Bruijn przedstawił dwie różne metody konstruowania płytek Penrose'a. „Metoda wielosiatkowa ” De Bruijna pozwala uzyskać nachylenia Penrose'a jako podwójne wykresy układów pięciu rodzin równoległych linii. W jego „metodzie cięcia i projektowania” płytki Penrose'a są uzyskiwane jako dwuwymiarowe rzuty z pięciowymiarowej sześciennej struktury. W tych podejściach płytki Penrose'a są postrzegane jako zbiór punktów, ich wierzchołków, podczas gdy płytki są kształtami geometrycznymi uzyskanymi przez połączenie wierzchołków z krawędziami.

Płytki Penrose'a

Dachówka P1 przy użyciu oryginalnego zestawu sześciu prototiles Penrose'a

Trzy rodzaje płytek Penrose, P1 – P3, opisano osobno poniżej. Mają one wiele cech wspólnych: w każdym przypadku płytki są zbudowane z kształtów związanych z pięciokątem (a więc ze złotym podziałem ), ale podstawowe kształty płytek muszą być uzupełnione o pasujące reguły , aby płytki były układane aperiodycznie. Zasady te można opisać za pomocą oznaczonych wierzchołków lub krawędzi lub wzorów na powierzchniach płytek; alternatywnie profil krawędzi można zmodyfikować (np. przez wgłębienia i wypukłości) w celu uzyskania aperiodycznego zestawu prototylów.

Oryginalna pięciokątna płytka Penrose (P1)

Pierwsza płytka Penrose'a wykorzystuje pięciokąty i trzy inne kształty: pięcioramienną „gwiazdę” (pentagram), „łódkę” (około 3/5 gwiazdy) i „diament” (cienki romb). Aby upewnić się, że wszystkie kafelki nie są okresowe, istnieją reguły dopasowywania, które określają, w jaki sposób kafelki mogą się ze sobą stykać, oraz istnieją trzy różne typy reguł dopasowywania dla kafelków pięciokątnych. Traktowanie tych trzech typów jako różnych prototylów daje ogólny zestaw sześciu prototylów. Powszechne jest oznaczanie trzech różnych rodzajów pięciokątnych płytek za pomocą trzech różnych kolorów, jak na rysunku powyżej po prawej stronie.

Układanie latawca i darta (P2)

Część samolotu pokryta dachówką Penrose'a typu P2 (latawiec i lotka). Utworzony przez zastosowanie kilku deflacji, patrz sekcja poniżej.

Druga płytka Penrose'a wykorzystuje czworoboki zwane „latawcem” i „strzałką”, które można połączyć, tworząc romb. Jednak przepisy dotyczące dopasowywania zabraniają takiej kombinacji. Zarówno latawiec, jak i lotka składają się z dwóch trójkątów, zwanych trójkątami Robinsona , od notatek Robinsona z 1975 roku.

Kafelki latawca i rzutki (u góry) oraz siedem możliwych figur wierzchołków w kafelku P2, z których każdy ma następujące pseudonimy - Pierwszy rząd: gwiazda, as, słońce. Drugi rząd: król, walet, dama, dwójka

• Latawiec jest czworokątem, którego cztery kąty wewnętrzne wynoszą 72, 72, 72 i 144 stopnie . Latawiec można podzielić na pół wzdłuż jego osi symetrii, tworząc parę ostrych trójkątów Robinsona (o kątach 36, 72 i 72 stopni).
• Strzałka jest niewypukłym czworobokiem, którego cztery kąty wewnętrzne wynoszą 36, 72, 36 i 216 stopni . Rzutkę można podzielić na pół wzdłuż jej osi symetrii, tworząc parę rozwartych trójkątów Robinsona (o kątach 36, 36 i 108 stopni), które są mniejsze niż trójkąty ostre.

Reguły dopasowywania można opisać na kilka sposobów. Jednym ze sposobów jest pokolorowanie wierzchołków (dwoma kolorami, np. czarnym i białym) i wymaganie, aby sąsiednie kafelki miały pasujące wierzchołki. Innym jest użycie wzoru okrągłych łuków (jak pokazano powyżej po lewej stronie na zielono i czerwono), aby ograniczyć rozmieszczenie płytek: kiedy dwie płytki mają wspólną krawędź w kafelku, wzory muszą pasować na tych krawędziach.

Zasady te często wymuszają umieszczenie niektórych płytek: na przykład wklęsły wierzchołek dowolnej rzutki jest koniecznie wypełniony dwoma latawcami. Odpowiednia figura (środek górnego rzędu na dolnym obrazie po lewej) jest nazywana przez Conwaya „asem”; chociaż wygląda jak powiększony latawiec, nie układa się w ten sam sposób. Podobnie wklęsły wierzchołek utworzony, gdy dwa latawce spotykają się wzdłuż krótkiej krawędzi, jest koniecznie wypełniony dwiema rzutkami (na dole po prawej). W rzeczywistości istnieje tylko siedem możliwych sposobów spotkania płytek w wierzchołku; dwie z tych figur - a mianowicie „gwiazda” (lewy górny róg) i „słońce” (prawy górny róg) – mają 5-krotny symetria dwuścienna (poprzez obroty i odbicia), podczas gdy pozostałe mają pojedynczą oś odbicia (pionową na obrazie). Oprócz asa (u góry w środku) i słońca, wszystkie te figury wierzchołków wymuszają ułożenie dodatkowych płytek.

Dachówka w romby (P3)

Reguła dopasowywania rombów Penrose'a przy użyciu okrągłych łuków lub modyfikacji krawędzi w celu wyegzekwowania zasad układania płytek

Reguła dopasowywania rombów Penrose'a przy użyciu krawędzi parabolicznych w celu wyegzekwowania zasad układania płytek

Płytki Penrose'a wykorzystujące romby Penrose'a z parabolicznymi krawędziami

Trzecia płytka wykorzystuje parę rombów (często określanych w tym kontekście jako „ romby ”) o równych bokach, ale różnych kątach. Zwykłe płytki w kształcie rombu mogą być używane do okresowego układania płaszczyzny, dlatego należy wprowadzić ograniczenia dotyczące sposobu układania płytek: żadne dwie płytki nie mogą tworzyć równoległoboku, ponieważ pozwoliłoby to na okresowe układanie płytek, ale to ograniczenie nie jest wystarczające, aby wymusić aperiodyczność, jak pokazano na rycinie 1 powyżej .

Istnieją dwa rodzaje płytek, z których oba można rozłożyć na trójkąty Robinsona.

• Cienki romb t ma cztery rogi o kątach 36, 144, 36 i 144 stopni. Romb pół wzdłuż jego krótkiej przekątnej, tworząc parę ostrych trójkątów Robinsona.
• Gruby romb T ma kąty 72, 108, 72 i 108 stopni. Romb T można podzielić na pół wzdłuż jego długiej przekątnej, tworząc parę rozwartych trójkątów Robinsona; w przeciwieństwie do płytek P2 są one większe niż ostre trójkąty.

Zasady dopasowywania rozróżniają strony płytek i oznaczają, że płytki mogą być zestawione w określony sposób, ale nie w inny. Na obrazku po prawej stronie pokazano dwa sposoby opisania tych reguł dopasowywania. W jednej formie płytki muszą być ułożone w taki sposób, aby krzywe na powierzchniach pasowały kolorem i położeniem wzdłuż krawędzi. W drugim płytki należy ułożyć w taki sposób, aby wypukłości na ich krawędziach pasowały do ​​siebie.

Istnieje 54 cyklicznie uporządkowanych kombinacji takich kątów, które sumują się do 360 stopni w wierzchołku, ale zasady kafelkowania pozwalają na pojawienie się tylko siedmiu z tych kombinacji (chociaż jedna z nich powstaje na dwa sposoby).

Różne kombinacje kątów i krzywizn twarzy umożliwiają konstruowanie dowolnie skomplikowanych płytek, takich jak kurczaki Penrose .

Cechy i konstrukcje

Złoty podział i lokalna symetria pięciokątna

Kilka właściwości i wspólnych cech płytek Penrose'a obejmuje złoty podział (około 1,618). ${\ Displaystyle \ varphi = {\ Frac {1 + {\ sqrt {5}}}}$ Jest to stosunek długości cięciwy do długości boków w pięciokącie foremnym i spełnia warunek φ = 1 + 1/ φ .

Pięciokąt z wpisanym grubym rombem (jasny), ostrymi trójkątami Robinsona (lekko zacienionymi) i małym rozwartym trójkątem Robinsona (ciemniejszy). Kropkowane linie dają dodatkowe krawędzie dla latawców z napisami i rzutek.

W konsekwencji stosunek długości długich boków do krótkich boków w ( równoramiennych ) trójkątach Robinsona wynosi φ :1. Wynika z tego, że stosunek długości długich boków do krótkich zarówno w latawcu, jak iw rzutkach również wynosi φ : 1, podobnie jak stosunek długości boków do krótkiej przekątnej w cienkim rombie t i długiej przekątnej do boków w grubym rombie T. _ Zarówno w nachyleniu P2, jak i P3 stosunek pola większego trójkąta Robinsona do mniejszego wynosi φ : 1, stąd takie są stosunki powierzchni latawca do strzałki i grubego rombu do cienkiego rombu. (Zarówno większe, jak i mniejsze rozwarte trójkąty Robinsona można znaleźć w pięciokącie po lewej stronie: większe trójkąty u góry - połówki grubego rombu - mają wymiary liniowe powiększone o φ w porównaniu z małym zacienionym trójkątem u podstawy i więc stosunek powierzchni wynosi φ ² :1.)

Każda płytka Penrose'a ma lokalną symetrię pięciokątną w tym sensie, że w płytkach znajdują się punkty otoczone symetryczną konfiguracją płytek: takie konfiguracje mają pięciokrotną symetrię obrotową wokół punktu środkowego, a także pięć lustrzanych linii symetrii odbicia przechodzących przez punkt , dwuścienna grupa symetrii . Ta symetria na ogół zachowuje tylko fragment płytek wokół punktu środkowego, ale plaster może być bardzo duży: Conway i Penrose udowodnili, że ilekroć kolorowe krzywe na płytkach P2 lub P3 zamykają się w pętli, obszar w pętli ma pięciokątny symetrii, a ponadto w każdym kafelku są co najwyżej dwie takie krzywe każdego koloru, które się nie zamykają.

Może istnieć co najwyżej jeden punkt środkowy globalnej pięciokrotnej symetrii: gdyby było więcej niż jeden, to obracanie każdego wokół drugiego dałoby dwa bliższe środki pięciokrotnej symetrii, co prowadzi do matematycznej sprzeczności. Istnieją tylko dwa nachylenia Penrose'a (każdego typu) z globalną symetrią pięciokątną: w przypadku nachylenia P2 za pomocą latawców i rzutek punktem środkowym jest wierzchołek „słońca” lub „gwiazdy”.

Inflacja i deflacja

Pięciokąt rozłożony na sześć mniejszych pięciokątów (połowa dwunastościennej sieci) z przerwami

Wiele wspólnych cech nachyleń Penrose'a wynika z hierarchicznej pięciokątnej struktury nadanej przez reguły zastępowania : jest to często określane jako inflacja i deflacja lub skład i rozkład nachyleń lub (kolekcji) płytek. Zasady zastępowania rozkładają każdy kafelek na mniejsze kafelki o takim samym kształcie, jak te użyte w kafelku (a tym samym pozwalają „ułożyć” większe kafelki z mniejszych). To pokazuje, że kafelki Penrose'a mają skalujące się samopodobieństwo, a zatem można je traktować jako fraktal , przy użyciu tego samego procesu, co pentaflake .

na sześć mniejszych pięciokątów (połówka siatki dwunastościanu ) i pięć pół-diamentów; następnie zauważył, że kiedy powtórzył ten proces, wszystkie luki między pięciokątami mogły zostać wypełnione gwiazdami, diamentami, łodziami i innymi pięciokątami. Powtarzając ten proces w nieskończoność, uzyskał jedno z dwóch nachyleń P1 o symetrii pięciokątnej.

Rozkłady trójkąta Robinsona

Trójkąty Robinsona i ich rozkłady

Metodę podstawienia dla płytek P2 i P3 można opisać za pomocą trójkątów Robinsona o różnych rozmiarach. Trójkąty Robinsona powstające w nachyleniu P2 (poprzez przepołowienie latawców i rzutek) nazywane są płytkami A, podczas gdy trójkąty powstające w nachyleniu P3 (poprzez przepołowienie rombów) nazywane są płytkami B. Mniejsza płytka A, oznaczona jako _AS , jest rozwartym trójkątem Robinsona, podczas gdy większa płytka A, AL _, jest ostra ; w przeciwieństwie do tego, mniejsza płytka B, oznaczona jako BS _, jest ostrym trójkątem Robinsona, podczas gdy większa płytka B, BL _, jest rozwarta.

Konkretnie, jeśli _AS ma długości boków (1, 1, φ ), to _AL ma długości boków ( φ , φ , 1). Płytki B mogą być powiązane z takimi kafelkami A na dwa sposoby:

• Jeśli B _S ma taki sam rozmiar jak A _L , to B _L jest powiększoną wersją φ A _S z A _S , o długościach boków ( φ , φ , φ ² = 1 + φ ) – to rozkłada się na płytkę A _L i A _S płytka połączona wzdłuż wspólnego boku o długości 1.
• Jeśli zamiast tego BL _jest utożsamiany z A _S , to BS _jest wersją zredukowaną (1/ φ )AL _z A _L o długościach boków (1/ φ ,1/ φ ,1) – łączącą płytkę BS _i płytkę B Płytka _L wzdłuż wspólnego boku o długości 1 daje następnie (rozkład) płytkę _AL .

Wydaje się, że w tych dekompozycjach istnieje dwuznaczność: trójkąty Robinsona można rozłożyć na dwa sposoby, które są swoimi lustrzanymi odbiciami na (równoramiennej) osi symetrii trójkąta. W kafelkach Penrose'a wybór ten jest ustalany przez reguły dopasowywania. Co więcej, zasady dopasowywania również , w jaki sposób mniejsze trójkąty w kafelku składają się na większe.

Częściowa inflacja gwiazdy daje romby, a zbioru rombów daje asa.

Wynika z tego, że kafelki P2 i P3 są wzajemnie lokalnie wyprowadzane : kafelkowanie przez jeden zestaw kafelków może być użyte do generowania kafelkowania przez inny. Na przykład kafelki za pomocą latawców i rzutek można podzielić na kafelki A, które można złożyć w sposób kanoniczny, tworząc kafelki B, a tym samym romby. Kafelki P2 i P3 są również wzajemnie lokalnie wyprowadzane z kafelkami P1 (patrz rysunek 2 powyżej ).

Można zapisać rozkład płytek B na płytki A

b _S = ZA _L , b _L = ZA _L + ZA _S

(zakładając konwencję większego rozmiaru dla płytek B), co można podsumować równaniem macierzy podstawienia :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} B_ {L} \\ B_ {S} \ koniec {pmatrix}} = {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}} {\ rozpocząć {pmatrix} A_ { L}\\A_{S}\end{pmacierz}}\,.}$

Połączenie tego z rozkładem powiększonych płytek φ A na płytki B daje podstawienie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} \ varphi A_ {L} \ \\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$

tak, że powiększony kafelek φ A _L rozkłada się na dwa kafelki A _L i jeden kafelek A _S. Reguły dopasowywania wymuszają określoną zamianę: dwa kafelki A _L na kafelku φ A _L muszą tworzyć latawiec, a zatem latawiec rozkłada się na dwa latawce i dwie półrzutki, a strzałka rozkłada się na latawiec i dwie pół-rzutki rzutki. Powiększone φ B rozkładają się na płytki B w podobny sposób (poprzez płytki φ A).

Skład i rozkład można iterować, tak aby np

${\ Displaystyle \ varphi ^ {n} {\ początek {pmatrix} A_ {L} \\ A_ {S} \ koniec {pmatrix}} = {\ początek {pmatrix} 2 i 1 \\ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}} ^ { n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

Liczba latawców i rzutek w n -tej iteracji konstrukcji jest określona przez n- tą potęgę macierzy podstawień:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i 1 \\ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}} ^ {n} ={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$

gdzie Fn jest n- tą liczbą _Fibonacciego . Stosunek liczby latawców do rzutek w każdym wystarczająco dużym układzie płytek P2 Penrose jest zatem zbliżony do złotego podziału φ . Podobny wynik dotyczy stosunku liczby rombów grubych do rombów cienkich w płytkach P3 Penrose.

Deflacja dla płytek P2 i P3

Kolejne deflacje wierzchołka „słońca” w kafelku Penrose'a typu P2

Kolejne deflacje zestawu dachówek w dachówce Penrose'a typu P3

Ósma deflacja wierzchołka „słońca” w kafelku Penrose'a typu P2

Rozpoczynając od zbioru kafelków z danego kafelka (którym może być pojedynczy kafelek, kafelek płaszczyzny lub dowolna inna kolekcja), deflacja przebiega sekwencją kroków zwanych generacjami. W jednej generacji deflacji każdy kafelek jest zastępowany dwoma lub więcej nowymi kafelkami, które są pomniejszonymi wersjami kafelków używanych w oryginalnym kafelku. Zasady zastępowania gwarantują, że nowe kafelki zostaną ułożone zgodnie z zasadami dopasowywania. Powtarzające się generacje deflacji tworzą kafelki pierwotnego kształtu aksjomatu z coraz mniejszymi kafelkami.

Ta zasada podziału kafelków jest regułą podziału .

Nazwa	Płytki początkowe	Generacja 1	Generacja 2	Generacja 3
Pół-latawiec
Pół-dart
Sun
Star

Z powyższej tabeli należy korzystać ostrożnie. Deflacja w połowie latawca i w połowie darta jest użyteczna tylko w kontekście deflacji większego wzoru, jak pokazano na deflacji słońca i gwiazdy. Dają nieprawidłowe wyniki, jeśli są stosowane do pojedynczych latawców i rzutek.

Ponadto prosta reguła podziału generuje otwory w pobliżu krawędzi płytek, które są widoczne na górnej i dolnej ilustracji po prawej stronie. Przydatne są dodatkowe zasady wymuszania.

Konsekwencje i zastosowania

Inflacja i deflacja dają metodę konstruowania nachyleń latawca i rzutki (P2) lub nachylenia rombu (P3), znaną jako generowanie góra-dół .

Nachylenia Penrose'a, będąc nieokresowymi, nie mają symetrii translacyjnej - wzoru nie można przesunąć, aby pasował do siebie na całej płaszczyźnie. Jednak każdy ograniczony obszar, bez względu na to, jak duży, zostanie powtórzony nieskończoną liczbę razy w kafelku. Dlatego żadna skończona łata nie może jednoznacznie określić pełnego kafelka Penrose'a, ani nawet określić, która pozycja w kafelku jest pokazana.

Pokazuje to w szczególności, że liczba różnych nachyleń Penrose'a (dowolnego typu) jest niepoliczalnie nieskończona . Generowanie góra-dół daje jedną metodę parametryzacji nachyleń, ale inne metody wykorzystują słupki Ammanna, pentagridy lub schematy cięcia i projektowania.

Powiązane kafelki i tematy

Pokrycia dziesięciokątne i kwazikryształy

Dekagon Gummelta (po lewej) z rozkładem na latawce i rzutki zaznaczonymi liniami przerywanymi; grubsze, ciemniejsze linie łączyły wpisanego asa i gruby romb; możliwe nakładanie się (po prawej) to jeden lub dwa czerwone asy.

W 1996 roku niemiecka matematyk Petra Gummelt wykazała, że ​​pokrycie (tak zwane w celu odróżnienia go od nienakładających się płytek) równoważne z płytkami Penrose'a można zbudować przy użyciu pojedynczej dziesięciokątnej płytki, jeśli dozwolone są dwa rodzaje nakładających się regionów. Dekagonalna płytka jest ozdobiona kolorowymi łatami, a zasada zakrywania dopuszcza tylko takie zakładki, które są zgodne z kolorystyką. Odpowiednie rozłożenie płytki dziesięciokątnej na latawce i rzutki przekształca takie pokrycie w dachówkę Penrose (P2). Podobnie, płytki P3 można uzyskać, wpisując gruby romb w każdy dziesięciokąt; pozostałą przestrzeń wypełniają cienkie romby.

Pokrycia te zostały uznane za realistyczny model wzrostu kwazikryształów : nakładające się dziesięciokąty to „quasi-jednostkowe komórki” analogiczne do komórek elementarnych , z których zbudowane są kryształy, a reguły dopasowania maksymalizują gęstość niektórych klastrów atomowych. Aperiodyczny charakter powłok może utrudniać teoretyczne badania właściwości fizycznych, takich jak struktura elektronowa, ze względu na brak twierdzenia Blocha . Jednak widma kwazikryształów nadal można obliczać z kontrolą błędów.

Powiązane płytki

Krawat i kafelki Navette (w kolorze czerwonym na tle Penrose)

Trzy warianty płytek Penrose'a można wzajemnie lokalnie wyprowadzić. Wybranie pewnych podzbiorów z wierzchołków kafelkowania P1 pozwala na utworzenie innych nieokresowych nachyleń. Jeśli rogi jednego pięciokąta w P1 są oznaczone kolejno 1,3,5,2,4 , ustala się jednoznaczne oznaczenie we wszystkich pięciokątach, w kolejności zgodnej lub przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Punkty z tą samą etykietą definiują kafelkowanie przez trójkąty Robinsona, podczas gdy punkty z numerami 3 i 4 na nich definiują wierzchołki kafelkowania Tie-and-Navette.

Wariant płytki, który nie jest kwazikryształem. Nie jest to dachówka Penrose'a, ponieważ nie spełnia zasad układania płytek.

Istnieją również inne powiązane nierównoważne nachylenia, takie jak sześciokątna gwiazda-łódka i nachylenia Mikulla – Rotha. Na przykład, jeśli reguły dopasowywania dla układania rombów zostaną zredukowane do określonego ograniczenia kątów dozwolonych w każdym wierzchołku, uzyskuje się układanie binarne. Jego podstawowa symetria jest również pięciokrotna, ale nie jest to kwazikryształ. Można to uzyskać albo dekorując romby oryginalnej płytki mniejszymi, albo stosując zasady zastępowania, ale nie metodą wycinania i projektowania de Bruijna.

Sztuka i architektura

• 

  Pięciokątny i dziesięciokątny wzór płytek Girih na spandrelu ze świątyni Darb-i Imam , Isfahan , Iran (1453 n.e.)

• 

  Salesforce Transit Center w San Francisco. Zewnętrzna „skóra”, wykonana z białego aluminium, jest perforowana we wzór płytki Penrose.

• 

  Płytki Penrose'a na podłodze w Computer Center 3 (CC-3), IIIT Allahabad

Walory estetyczne płytek od dawna są doceniane i nadal budzą zainteresowanie; stąd wygląd wizualny (a nie formalne właściwości definiujące) płytek Penrose'a przyciągnął uwagę. Zauważono podobieństwo z niektórymi wzorami zdobniczymi używanymi w Afryce Północnej i na Bliskim Wschodzie; fizycy Peter J. Lu i Paul Steinhardt przedstawili dowody na to, że płytki Penrose'a leżą u podstaw przykładów średniowiecznych islamskich wzorów geometrycznych , takich jak płytki girih (tkaniny) w świątyni Darb-e Imam w Isfahan .

z Drop City , Clark Richert, użył rombów Penrose'a w dziełach sztuki w 1970 roku, uzyskanych przez rzutowanie rombowego cienia triacontahedru na płaszczyznę, obserwując osadzone „grube” romby i „chude” romby, które układają się razem, tworząc nieokresową teselację. Historyk sztuki Martin Kemp zauważył, że Albrecht Dürer naszkicował podobne motywy płytek rombowych.

W 1979 roku Miami University użył płytek Penrose wykonanych z lastryko do dekoracji dziedzińca Bachelor Hall na swoim Wydziale Matematyki i Statystyki.

W Indyjskim Instytucie Technologii Informatycznych w Allahabad od pierwszej fazy budowy w 2001 roku budynki akademickie projektowano w oparciu o „geometrię Penrose'a”, stylizowaną na teselacje opracowane przez Rogera Penrose'a. W wielu miejscach w tych budynkach na podłodze znajdują się geometryczne wzory skomponowane z płytek Penrose.

Podłoga atrium budynku Bayliss na Uniwersytecie Australii Zachodniej jest wyłożona płytkami Penrose.

Budynek Andrew Wiles , w którym od października 2013 r. Siedziba Wydziału Matematyki Uniwersytetu Oksfordzkiego , obejmuje sekcję płytek Penrose jako nawierzchnię wejścia.

Deptak na ulicy Keskuskatu w centrum Helsinek jest wyłożony płytkami Penrose. Prace zakończono w 2014 roku.

Transbay Transit Center w San Francisco 2018 ma perforacje w falującej białej metalowej powłoce zewnętrznej we wzór Penrose'a.

Zobacz też

• Płytki Girih
• Lista aperiodycznych zestawów płytek
• Płytki wiatraczek
• Płytki pięciokątne
• Kafelki Quaquaversal

Notatki

Podstawowe źródła

•   Berger, R. (1966). Nierozstrzygalność problemu domina . Wspomnienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego. Tom. 66. ISBN 9780821812662 . .
• de Bruijn, NG (1981). „Algebraiczna teoria nieokresowych nachyleń płaszczyzny I, II Penrose'a” (PDF) . Indagationes Mathematicae . 43 (1): 39–66. doi : 10.1016/1385-7258(81)90017-2 . .
•   Gummelt, Petra (1996). „Dachówki Penrose'a jako pokrycia przystających dziesięciokątów”. Geometria dedykowana . 62 (1). doi : 10.1007/BF00239998 . S2CID 120127686 . .
• Penrose, Roger (1974). „Rola estetyki w czystych i stosowanych badaniach matematycznych”. Biuletyn Instytutu Matematyki i Jej Zastosowań . 10 : 266ff. .
•   US 4133152 , Penrose, Roger , „Zestaw płytek do pokrywania powierzchni”, opublikowany 1979-01-09 .
•   Robinson, RM (1971). „Nierozstrzygalność i brak okresowości dla nachyleń płaszczyzny”. Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–190. Bibcode : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007/BF01418780 . S2CID 14259496 . .
• Schechtman, D.; Blech, I.; Gratias, D.; Cahn, JW (1984). „Faza metaliczna z uporządkowaniem orientacyjnym dalekiego zasięgu i bez symetrii translacyjnej” . Fizyczne listy przeglądowe . 53 (20): 1951–1953. Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
• Wang, H. (1961). „Dowodzenie twierdzeń przez rozpoznawanie wzorców II”. Dziennik techniczny systemu Bell . 40 : 1–42. doi : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x . .

Drugorzędne źródła

• Austin, David (2005a). „Płytki Penrose rozmawiają przez mile” . Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. .
• Austin, David (2005b). „Penrose Tilings zawiązany wstążkami” . Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. .
•    Colbrook, Mateusz; Roman, Bogdan; Hansen, Anders (2019). „Jak obliczyć widma z kontrolą błędów” . Fizyczne listy przeglądowe . 122 (25): 250201. Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201 . PMID 31347861 . S2CID 198463498 .
•   Culik, Karel; Kari, Jarkko (1997). „O nieokresowych zestawach płytek Wanga”. Podstawy informatyki . Notatki z wykładów z informatyki. Tom. 1337. s. 153–162. doi : 10.1007/BFb0052084 . ISBN 978-3-540-63746-2 .
•    Gardner, Martin (1997). Płytki Penrose'a do szyfrów Trapdoor . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-88385-521-8 . . (Pierwsze opublikowanie przez WH Freemana, Nowy Jork (1989), ISBN 978-0-7167-1986-1 .)
  • Rozdział 1 (s. 1–18) jest przedrukiem Gardner, Martin (styczeń 1977). „Niezwykłe nieokresowe układanie płytek, które wzbogaca teorię płytek”. Naukowy Amerykanin . Tom. 236, nr. 1. s. 110–121. Bibcode : 1977SciAm.236a.110G . doi : 10.1038/scientificamerican0177-110 . .
•   Godreche, C; Lançon, F. (1992). „Prosty przykład układania płytek innych niż Pisot z pięciokrotną symetrią” (PDF) . Journal de Physique I . 2 (2): 207–220. Bibcode : 1992JPhy1...2..207G . doi : 10.1051/jp1:1992134 . S2CID 120168483 . .
•   Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Płytki i wzory . Nowy Jork: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3 . .
• Kemp, Martin (2005). „Nauka w kulturze: sztuczka z kafelkami” . Natura . 436 (7049): 332. Bibcode : 2005Natur.436..332K . doi : 10.1038/436332a . .
•   Lançon, Fryderyk; Billard, Luc (1988). „Dwuwymiarowy system z quasi-krystalicznym stanem podstawowym” (PDF) . Journal of Physique . 49 (2): 249–256. CiteSeerX 10.1.1.700.3611 . doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . .
•    Panie, EA; Ranganathan, S. (2001). „Dziesięciokąt Gummelt jako„ quasi komórka elementarna ” ” (PDF) . Acta Crystallographica . A57 (5): 531–539. CiteSeerX 10.1.1.614.3786 . doi : 10.1107/S0108767301007504 . PMID 11526302 .
•    Lu, Peter J.; Steinhardt, Paul J. (2007). „Dziesięciokątne i quasi-krystaliczne nachylenia w średniowiecznej architekturze islamu” (PDF) . nauka . 315 (5815): 1106–1110. Bibcode : 2007Sci...315.1106L . doi : 10.1126/science.1135491 . PMID 17322056 . S2CID 10374218 . .
• Szczęście, R. (2000). „Dürer-Kepler-Penrose: rozwój pięciokątnych nachyleń”. Nauka o materiałach i inżynieria . 294 (6): 263–267. doi : 10.1016/S0921-5093(00)01302-2 . .
•   Makowicki, E. (1992). „800-letnie pięciokątne płytki z Maragha w Iranie i nowe odmiany płytek aperiodycznych, które zainspirowały” . W I. Hargittai (red.). Pięciokrotna symetria . Singapur – Londyn: World Scientific. s. 67–86. ISBN 9789810206000 . .
• Penrose, Roger (1978). „Pentaplexity” (PDF) . Eureka . Tom. 39. s. 16–22. . (Cytowane tutaj numery stron pochodzą z reprodukcji Penrose'a, R. (1979–80). „Pentaplexity: A class of non-periodic tilings of the plane”. The Mathematical Intelligencer . 2 : 32–37. doi : 10.1007/BF03024384 S2CID 120305260 .. )   _
• Radin, Charles (kwiecień 1996). „Recenzja książki: kwazikryształy i geometria” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 43 (4): 416–421.
•   Senechal, Marjorie (1996). Kwazikryształy i geometria . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 978-0-521-57541-6 . .
•   Steinhardt, Paul J.; Jeong, Hyeong-Chai (1996). „Prostsze podejście do układania płytek Penrose'a z implikacjami dla tworzenia kwazikryształów”. Natura . 382 (1 sierpnia): 431–433. Bibcode : 1996Natur.382..431S . doi : 10.1038/382431a0 . S2CID 4354819 . .
• Zasławski, GM; Sagdeev, Roal'd Z.; Usikov, DA; Czernikow, AA (1988). „Minimalny chaos, sieć stochastyczna i struktury o symetrii kwazikryształów”. Radziecka fizyka Uspekhi . 31 (10): 887–915. Bibcode : 1988SvPhU..31..887Z . doi : 10.1070/PU1988v031n10ABEH005632 . .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Płytki Penrose'a” . MathWorld .
• Johna Savarda. „Penrose Tilings” . quadibloc.com . Źródło 28 listopada 2009 .
• Erica Hwanga. „Dachówka Penrose'a” . zamierzano.net . Źródło 28 listopada 2009 .
• F. Gählera; E. Harriss & D. Frettlöh. „Romb Penrose’a” . Encyklopedia Tilingsa . Wydział Matematyki Uniwersytetu w Bielefeld . Źródło 28 listopada 2009 .
• Kevina Browna. „O siatkach i płytkach de Bruijna” . mathpages.com . Źródło 28 listopada 2009 .
• Davida Eppsteina . „Płytki Penrose'a” . Złomowisko geometrii . ics.uci.edu/~eppstein . Źródło 28 listopada 2009 . To zawiera listę dodatkowych zasobów.
• Williama Chow. „Płytka Penrose'a w architekturze” . Źródło 28 grudnia 2009 .
• „Przeglądarka płytek Penrose'a” .