problem Einsteina
W geometrii płaszczyzny problem einsteina pyta o istnienie pojedynczego prototylu , który sam tworzy aperiodyczny zbiór prototylów , to znaczy kształt, który może mozaikować przestrzeń, ale tylko w sposób nieokresowy . Taki kształt nazywa się „einstein” (nie mylić z fizykiem Albertem Einsteinem ), co jest grą niemieckich słów ein Stein , oznaczających jedną płytkę . W zależności od konkretnych definicji nieokresowości i specyfikacji tego, jakie zestawy można kwalifikować jako płytki i jakie typy reguł dopasowywania są dozwolone, problem jest otwarty lub rozwiązany. Problem Einsteina można postrzegać jako naturalne rozszerzenie drugiej części osiemnastego problemu Hilberta , który wymaga pojedynczego wielościanu pokrywającego euklidesową 3-przestrzeń, ale takiego, że żadna teselacja tego wielościanu nie jest izoedryczna . Takie anizoedryczne płytki zostały znalezione przez Karla Reinhardta w 1928 r., Ale te anizoedryczne płytki okresowo zajmują całą powierzchnię płytek.
Proponowane rozwiązania
W 1988 roku Peter Schmitt odkrył pojedynczy aperiodyczny prototyl w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Chociaż żadne kafelkowanie tego prototylu nie dopuszcza translacji jako symetrii, niektóre mają symetrię śrubową . Operacja śrubowa obejmuje kombinację translacji i obrotu o niewymierną wielokrotność π, więc żadna liczba powtarzanych operacji nigdy nie daje czystego translacji. Ta konstrukcja została następnie rozszerzona przez Johna Hortona Conwaya i Ludwiga Danzera do wypukłego aperiodycznego prototylu, płytki Schmitt-Conway-Danzer . Obecność symetrii śrub spowodowała ponowną ocenę wymagań dotyczących nieokresowości. Chaim Goodman-Strauss zasugerował, że kafelek należy uważać za silnie aperiodyczny , jeśli nie dopuszcza żadnej nieskończonej cyklicznej grupy ruchów euklidesowych jako symetrii, i że tylko zestawy kafelków, które wymuszają silną aperiodyczność, można nazwać silnie aperiodycznymi, podczas gdy inne zestawy należy nazwać słabo aperiodycznymi .
W 1996 roku Petra Gummelt skonstruowała dekorowaną dziesięciokątną płytkę i wykazała, że gdy dozwolone są dwa rodzaje nakładania się par płytek, płytki mogą zakrywać płaszczyznę, ale tylko nieokresowo. Płytka jest zwykle rozumiana jako pokrycie bez zakładek, dlatego płytka Gummelt nie jest uważana za aperiodyczny prototyl. Aperiodyczna płytka ustawiona na płaszczyźnie euklidesowej , która składa się tylko z jednej płytki - płytki Socolar-Taylor - została zaproponowana na początku 2010 roku przez Joshua Socolar i Joan Taylor. Ta konstrukcja wymaga zasad dopasowywania, zasad, które ograniczają względną orientację dwóch płytek i które odnoszą się do dekoracji narysowanych na płytkach, a zasady te dotyczą par niesąsiadujących ze sobą płytek. Alternatywnie, można zbudować niedekorowany kafelek bez pasujących zasad, ale kafelek nie jest połączony. Konstrukcję można rozszerzyć do trójwymiarowej, połączonej płytki bez pasujących reguł, ale ta płytka pozwala na nachylenie, które jest okresowe w jednym kierunku, więc jest tylko słabo aperiodyczne. Co więcej, płytka nie jest po prostu połączona.
Istnienie silnie aperiodycznego zestawu płytek dla płaszczyzny euklidesowej, składającego się z jednego połączonego kafelka bez pasujących reguł, jest nierozwiązanym problemem.
Zobacz też
- Kafelkowanie binarne , słabo aperiodyczne kafelkowanie płaszczyzny hiperbolicznej za pomocą pojedynczego kafelka
