Granica okręgu III

Granica koła III , 1959

Circle Limit III to drzeworyt wykonany w 1959 roku przez holenderskiego artystę MC Eschera , na którym „sznurki ryb wystrzeliwują jak rakiety z nieskończenie daleka”, a następnie „z powrotem opadają tam, skąd przybyły”.

Jest to jeden z serii czterech drzeworytów Eschera przedstawiających idee geometrii hiperbolicznej . Holenderski fizyk i matematyk Bruno Ernst nazwał to „najlepszym z czterech”.

Inspiracja

(6,4,2) trójkątne hiperboliczne kafelki, które zainspirowały Eschera

Escher zainteresował się mozaikami samolotu po wizycie w Alhambrze w Granadzie w Hiszpanii w 1936 roku, a od czasu swojego dzieła Metamorphosis I z 1937 roku zaczął włączać mozaikowe postacie ludzi i zwierząt do swoich dzieł.

W liście z 1958 roku od Eschera do HSM Coxetera , Escher napisał, że do stworzenia serii Circle Limit zainspirowała go postać z artykułu Coxetera „Crystal Symmetry and its Generalizations”. Rysunek Coxetera przedstawia teselację płaszczyzny hiperbolicznej za pomocą trójkątów prostokątnych o kątach 30 °, 45 ° i 90 °; trójkąty z tymi kątami są możliwe w geometrii hiperbolicznej, ale nie w geometrii euklidesowej. Ta teselacja może być interpretowana jako przedstawiająca linie odbicia i podstawowe domeny grupy trójkątów (6,4,2) . Elementarną analizę figury Coxetera, tak jak mógł ją rozumieć Escher, podaje Casselman (2010) .

Geometria

Naprzemienne ośmiokątne kafelki , hiperboliczne kafelki kwadratów i trójkątów równobocznych, nałożone na obraz Eschera

Wydaje się, że Escher wierzył, że białe krzywe jego drzeworytu, które przecinają rybę, reprezentują linie hiperboliczne w modelu dysku Poincarégo na płaszczyźnie hiperbolicznej, w którym cała płaszczyzna hiperboliczna jest modelowana jako dysk na płaszczyźnie euklidesowej, oraz linie hiperboliczne są modelowane jako łuki kołowe prostopadłe do granicy dysku. Rzeczywiście, Escher napisał, że ryby poruszają się „prostopadle do granicy”. Jednak, jak wykazał Coxeter, nie ma hiperbolicznego układu linii , których ściany są na przemian kwadratami i trójkątami równobocznymi, jak pokazano na rysunku. Białe krzywe są raczej hipercyklami , które spotykają się z okręgiem granicznym pod kątem cos ^-1 2 ^1/4 - 2 ^-1/4 / 2 , czyli około 80 °.

Osie symetrii trójkątów i kwadratów, które leżą między białymi liniami, są prawdziwymi liniami hiperbolicznymi. Kwadraty i trójkąty drzeworytu bardzo przypominają naprzemienne ośmiokątne kafelki płaszczyzny hiperbolicznej, na której znajdują się również kwadraty i trójkąty spotykające się w tym samym układzie. Jednak dokładna geometria tych kształtów nie jest taka sama. W naprzemiennych ośmiokątnych płytkach boki kwadratów i trójkątów są hiperbolicznie prostymi odcinkami, które nie łączą się w gładkie krzywe; zamiast tego tworzą wielokątne łańcuchy z narożnikami. Na drzeworycie Eschera boki kwadratów i trójkątów są utworzone przez łuki hipercykli, które nie są proste w geometrii hiperbolicznej, ale łączą się ze sobą płynnie bez narożników.

Punkty w środkach kwadratów, gdzie cztery ryby stykają się płetwami, tworzą wierzchołki trójkątnej płytki rzędu 8 , podczas gdy punkty, w których spotykają się trzy rybie płetwy, i punkty, w których przecinają się trzy białe linie, tworzą wierzchołki jego podwójne , ośmiokątne płytki . Podobne teselacje za pomocą linii ryb można skonstruować dla innych hiperbolicznych nachyleń utworzonych przez wielokąty inne niż trójkąty i kwadraty lub z więcej niż trzema białymi krzywymi na każdym skrzyżowaniu.

Współrzędne euklidesowe okręgów zawierających trzy najbardziej widoczne białe krzywe na drzeworycie można otrzymać za pomocą obliczeń w dziedzinie liczb wymiernych rozszerzonych o pierwiastki kwadratowe z dwóch i trzech.

Symetria

Drzeworyt, widziany jako wzór, z pominięciem kolorów ryb, w płaszczyźnie hiperbolicznej, ma trzykrotną i czterokrotną symetrię obrotową w środkach odpowiednio trójkątów i kwadratów oraz symetrię dwuścienną rzędu trzeciego (symetria trójkąt równoboczny) w punktach, w których przecinają się białe krzywe. W notacji orbifold Johna Conwaya ten zestaw symetrii jest oznaczony jako 433. Każda ryba zapewnia podstawowy region dla tej grupy symetrii. Wbrew pozorom ryby nie mają dwustronnej symetrii : białe krzywe rysunku nie są osiami odbicia symetrii. Na przykład kąt z tyłu prawej płetwy wynosi 90° (gdzie stykają się cztery płetwy), ale z tyłu znacznie mniejszej lewej płetwy wynosi 120° (gdzie stykają się trzy płetwy).

Szczegóły drukowania

Ryby w Circle Limit III są przedstawione w czterech kolorach, dzięki czemu każdy ciąg ryb ma jeden kolor, a dwie sąsiednie ryby mają różne kolory. Wraz z czarnym tuszem użytym do obrysowania ryby, cały drzeworyt ma pięć kolorów. Jest drukowany z pięciu drewnianych bloków, z których każdy zapewnia jeden z kolorów w obrębie jednej czwartej dysku, w sumie 20 wrażeń. Średnica zewnętrznego koła, jak wydrukowano, wynosi 41,5 cm ( 16 + 3 / 8 cala).

Eksponaty

Oprócz tego, że znajduje się w zbiorach Muzeum Eschera w Hadze , kopia Circle Limit III znajduje się w zbiorach National Gallery of Canada .

Linki zewnętrzne

• Douglas Dunham Wydział Informatyki Uniwersytetu Minnesoty, Duluth
• Przykłady oparte na granicach okręgu III i IV , 2006: Więcej wzorów „Granica okręgu III” , 2007: Obliczanie „Granica okręgu III”