Kąty wewnętrzne i zewnętrzne

W geometrii kąt wielokąta jest tworzony przez dwa boki wielokąta, które mają wspólny punkt końcowy . W przypadku prostego (nieprzecinającego się) wielokąta, niezależnie od tego, czy jest wypukły, czy nie , kąt ten nazywany jest kątem wewnętrznym (lub kątem wewnętrznym ), jeśli punkt w obrębie kąta znajduje się we wnętrzu wielokąta. Wielokąt ma dokładnie jeden kąt wewnętrzny na wierzchołek .

Jeśli każdy kąt wewnętrzny prostego wielokąta jest mniejszy niż π radianów (180°), to wielokąt nazywamy wypukłym .

Natomiast kąt zewnętrzny (zwany także kątem zewnętrznym lub kątem skrętu ) jest kątem utworzonym przez jeden bok prostego wielokąta i linię przedłużoną z sąsiedniego boku .

Nieruchomości

Suma kąta wewnętrznego i zewnętrznego tego samego wierzchołka wynosi π radianów (180°).
Suma wszystkich kątów wewnętrznych prostego wielokąta wynosi π( n -2) radianów, czyli 180( n -2) stopni, gdzie n jest liczbą boków. Wzór można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej : zaczynając od trójkąta, dla którego suma kątów wynosi 180°, następnie zastępując jeden bok dwoma bokami połączonymi w innym wierzchołku i tak dalej.
Suma kątów zewnętrznych dowolnego prostego wielokąta wypukłego lub niewypukłego, jeśli w każdym wierzchołku przyjmuje się tylko jeden z dwóch kątów zewnętrznych, wynosi 2π radianów (360 °).
Miara kąta zewnętrznego w wierzchołku nie ma wpływu na to, która strona jest przedłużona: dwa kąty zewnętrzne, które można utworzyć w wierzchołku przez rozciąganie naprzemiennie jednej lub drugiej strony, są kątami pionowymi, a zatem są równe .

Rozszerzenie do skrzyżowanych wielokątów

Koncepcję kąta wewnętrznego można rozszerzyć w spójny sposób na przecinające się wielokąty , takie jak wielokąty gwiaździste , stosując koncepcję kątów skierowanych. Ogólnie rzecz biorąc, suma kątów wewnętrznych w stopniach dowolnego wielokąta zamkniętego, w tym wielokątów skrzyżowanych (przecinających się), jest wtedy dana wzorem 180 ( n – 2 k ) °, gdzie n to liczba wierzchołków, a ściśle dodatnia liczba całkowita k to liczba całkowitych (360°) obrotów, jakie wykonuje się, chodząc po obwodzie wielokąta . Innymi słowy, suma wszystkich kątów zewnętrznych wynosi 2π k radianów lub 360 tys. stopni. Przykład: dla zwykłych wielokątów wypukłych i wielokątów wklęsłych k = 1 , ponieważ suma kątów zewnętrznych wynosi 360°, a spacerując po obwodzie wykonuje się tylko jeden pełny obrót.

Linki zewnętrzne

Kąty wewnętrzne trójkąta
Suma kątów wewnętrznych wielokątów: formuła ogólna — udostępnia interaktywne działanie w języku Java, które rozszerza formułę sumy kątów wewnętrznych dla prostych wielokątów zamkniętych o wielokąty skrzyżowane (złożone).