Twierdzenie o fladze brytyjskiej

Zgodnie z twierdzeniem o brytyjskiej fladze, czerwone kwadraty mają taką samą całkowitą powierzchnię jak niebieskie kwadraty

Twierdzenie o brytyjskiej fladze w przestrzeni, czerwone kwadraty mają taką samą całkowitą powierzchnię jak niebieskie kwadraty

W geometrii euklidesowej twierdzenie brytyjskiej flagi mówi, że jeśli punkt P jest wybrany wewnątrz prostokąta ABCD , to suma kwadratów odległości euklidesowych od P do dwóch przeciwległych rogów prostokąta jest równa sumie dwóch pozostałych przeciwległych rogów. Jako równanie :

${\ Displaystyle AP ^ {2} + CP ^ {2} = BP ^ {2} + DP ^ {2}. \,}$

Twierdzenie dotyczy również punktów poza prostokątem, a bardziej ogólnie odległości od punktu w przestrzeni euklidesowej do rogów prostokąta osadzonego w przestrzeni. Jeszcze bardziej ogólnie, jeśli porównamy sumy kwadratów odległości od punktu P do dwóch par przeciwległych rogów równoległoboku , te dwie sumy na ogół nie będą równe, ale różnica tych dwóch sum będzie zależała tylko od kształtu równoległoboku, a nie od wyboru P .

Twierdzenie to można również traktować jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa . Umieszczenie punktu P na dowolnym z czterech wierzchołków prostokąta daje kwadrat przekątnej prostokąta równy sumie kwadratów szerokości i długości prostokąta, co jest twierdzeniem Pitagorasa.

Dowód

Ilustracja na dowód

Opuść proste prostopadłe z punktu P do boków prostokąta, tak aby boki AB , BC , CD i AD przecinały się odpowiednio w punktach W , X , Y i Z , jak pokazano na rysunku. Te cztery punkty WXYZ tworzą wierzchołki czworoboku ortodiagonalnego . Stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego AWP i obserwując, że WP = AZ , wynika, że

${\ Displaystyle AP ^ {2} = AW ^ {2} + WP ^ {2} = AW ^ {2} + AZ ^ {2} }}$

i za pomocą podobnego argumentu kwadraty długości odległości od P do pozostałych trzech rogów można obliczyć jako

${\ Displaystyle PC ^ {2} = WB ^ {2} + ZD ^ {2}}$

${\ Displaystyle BP ^{2}=WB^{2}+AZ^{2},}$ i

${\ Displaystyle PD ^ {2} = ZD ^ {2} + AW ^ {2}.}$

Dlatego:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} AP ^ {2} + PC ^ {2} & = \ lewo (AW ^ {2} + AZ ^ {2} \ prawo) + \ lewo (WB ^ {2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2 }\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{wyrównane}}}$

Nazewnictwo

Flaga Wielkiej Brytanii .

Twierdzenie to bierze swoją nazwę od faktu, że po narysowaniu odcinków linii od P do rogów prostokąta wraz z liniami prostopadłymi użytymi w dowodzie, ukończona figura przypomina flagę Unii .

Zobacz też

• Twierdzenie o pizzy

Dalsza lektura

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: Ciekawe zastosowanie twierdzenia o brytyjskiej fladze . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, tom 4 (2015), wydanie 1, s. 31–34.
•   Martin Gardner , Dana S. Richards (red.): The Colossal Book of Short Puzzles and Problems . WW Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7 , s. 147, 159 (problem 6.16)

Linki zewnętrzne

• Twierdzenie o fladze brytyjskiej na stronie artofproblemsolve.com
• Czy potrafisz rozwiązać pytanie z wywiadu dotyczące prostokątnych rogów firmy Microsoft? (wideo, 5:41 min)