Geometria afiniczna

W geometrii afinicznej używa się aksjomatu Playfaira, aby znaleźć linię przechodzącą przez C1 i równoległą do B1B2 oraz znaleźć linię przechodzącą przez B2 i równoległą do B1C1: ich przecięcie C2 jest wynikiem wskazanego translacji.

W matematyce geometria afiniczna jest tym, co pozostaje z geometrii euklidesowej , gdy ignoruje się (matematycy często mówią „zapominając”) metryczne pojęcia odległości i kąta.

Ponieważ pojęcie linii równoległych jest jedną z głównych właściwości niezależnych od jakiejkolwiek metryki, geometria afiniczna jest często uważana za badanie linii równoległych. Dlatego aksjomat Playfaira (biorąc pod uwagę prostą L i punkt P nie leżący na L, istnieje dokładnie jedna prosta równoległa do L przechodząca przez P.) jest fundamentalny w geometrii afinicznej. Porównania figur w geometrii afinicznej są dokonywane za pomocą przekształceń afinicznych , które są odwzorowaniami zachowującymi wyrównanie punktów i równoległość linii.

Geometrię afiniczną można opracować na dwa sposoby, które są zasadniczo równoważne.

W geometrii syntetycznej przestrzeń afiniczna to zbiór punktów , z którymi związany jest zbiór linii, które spełniają pewne aksjomaty (np. aksjomat Playfaira).

Geometrię afiniczną można również opracować na podstawie algebry liniowej . W tym kontekście przestrzeń afiniczna jest zbiorem punktów wyposażonych w zbiór przekształceń (czyli odwzorowań bijektywnych ), translacji, które tworzą przestrzeń wektorową (nad zadanym polem , najczęściej liczbami rzeczywistymi ) i takie, że dla dowolnych danych uporządkowanej parze punktów następuje jednoznaczna translacja wysyłająca pierwszy punkt do drugiego; skład tłumaczeń jest ich sumą w przestrzeni wektorowej tłumaczeń.

Mówiąc bardziej konkretnie, sprowadza się to do posiadania operacji, która przypisuje dowolnej uporządkowanej parze punktów wektor i innej operacji, która umożliwia przesunięcie punktu przez wektor w celu uzyskania innego punktu; operacje te są wymagane, aby spełnić szereg aksjomatów (w szczególności, że dwie kolejne translacje dają efekt translacji przez wektor sumy). Wybierając dowolny punkt jako „początek”, punkty są w relacji jeden do jednego z wektorami, ale nie ma preferowanego wyboru początku; zatem przestrzeń afiniczną można postrzegać jako uzyskaną z powiązanej z nią przestrzeni wektorowej przez „zapomnienie” pochodzenia (wektor zerowy).

Idea zapominania o metryce może być zastosowana w teorii rozmaitości . Jest to rozwinięte w artykule na temat połączenia afinicznego .

Historia

W 1748 r. Leonhard Euler wprowadził termin affine (łac. affinis , „spokrewniony”) w swojej książce Introductio in analysin infinitorum (tom 2, rozdział XVIII). W 1827 r. August Möbius pisał o geometrii afinicznej w swoim Der barycentrische Calcul (rozdział 3).

Po programie Erlangena Felixa Kleina geometria afiniczna została uznana za uogólnienie geometrii euklidesowej .

W 1918 roku Hermann Weyl odniósł się do geometrii afinicznej w swoim tekście Przestrzeń, czas, materia . Użył geometrii afinicznej, aby wprowadzić dodawanie i odejmowanie wektorów na najwcześniejszych etapach rozwoju fizyki matematycznej . Później ET Whittaker napisał:

Geometria Weyla jest interesująca historycznie, ponieważ była pierwszą szczegółowo opracowaną geometrią afiniczną: opiera się na specjalnym typie transportu równoległego [… wykorzystującego] światowe linie sygnałów świetlnych w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Krótki element jednej z tych linii świata można nazwać wektorem zerowym ; wtedy rozważany transport równoległy jest taki, że przenosi dowolny wektor zerowy w jednym punkcie na pozycję wektora zerowego w sąsiednim punkcie.

Systemy aksjomatów

Zaproponowano kilka aksjomatycznych podejść do geometrii afinicznej:

Prawo Pappusa

Prawo Pappusa: jeśli czerwone linie są równoległe, a niebieskie linie są równoległe, to kropkowane czarne linie muszą być równoległe.

jako przesłankę przyjęto jedną z właściwości równoleżników odnotowanych przez Pappusa z Aleksandrii :

Załóżmy $_$ $że$ jednej _ Jeśli linie i $}$ $i$ a linie i są równoległe $'$ { ZA $}$ $,$ $_$ linie i _

Zaproponowany pełny system aksjomatów ma punkt , linię i linię zawierającą punkt jako pojęcia pierwotne :

Dwa punkty są zawarte w jednej prostej.
Dla dowolnej prostej l i dowolnego punktu P , a nie na l , istnieje tylko jedna prosta zawierająca P i niezawierająca żadnego punktu l . Mówimy, że prosta ta jest równoległa do l .
Każda linia zawiera co najmniej dwa punkty.
Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie należą do jednej prostej.

Według HSM Coxetera :

Zainteresowanie tych pięciu aksjomatów zwiększa fakt, że można je rozwinąć w obszerny zbiór twierdzeń, obejmujących nie tylko geometrię euklidesową , ale także geometrię czasu i przestrzeni Minkowskiego (w prostym przypadku wymiarów 1 + 1, podczas gdy szczególna teoria względności wymaga 1 + 3). Rozszerzenie geometrii euklidesowej lub Minkowskiego uzyskuje się przez dodanie różnych dalszych aksjomatów ortogonalności itp.

Różne typy geometrii afinicznej odpowiadają temu, jaką interpretację przyjmuje się dla obrotu . Geometria euklidesowa odpowiada zwykłej idei rotacji , podczas gdy geometria Minkowskiego odpowiada rotacji hiperbolicznej . W odniesieniu do prostopadłych pozostają one prostopadłe, gdy płaszczyzna jest poddawana zwykłemu obrotowi. W geometrii Minkowskiego linie, które są hiperboliczno-ortogonalne, pozostają w tej relacji, gdy płaszczyzna jest poddawana rotacji hiperbolicznej.

Uporządkowana struktura

Aksjomatyczne traktowanie płaskiej geometrii afinicznej można zbudować z aksjomatów uporządkowanej geometrii przez dodanie dwóch dodatkowych aksjomatów:

( Aksjomat afiniczny równoległości ) Mając punkt $A$ i prostą $r$ nie przechodzącą przez $A$ , istnieje co najwyżej jedna prosta przechodząca przez $A$ , która nie spotyka się $z r$ .
( Desargues ) Biorąc pod uwagę siedem różnych punktów $Displaystyle A, A', B, B', C, C', O}$ , tak że $AA'$ , ${\ displaystyle BB'}$ i do ${\ displaystyle CC'}$ są odrębnymi liniami przechodzącymi przez ${\ displaystyle O}$ i $displaystyle AB}$ są równoległe do ${\ Displaystyle A'B'}$ i ${\ displaystyle BC}$ jest równoległy do ${\ displaystyle B'C'}$ , wtedy ${\ displaystyle AC}$ jest równoległy do $\ styl wyświetlania A'C'}$ .

Pojęcie afiniczne równoległości tworzy relację równoważności na liniach. Ponieważ przedstawione tutaj aksjomaty uporządkowanej geometrii obejmują właściwości, które implikują strukturę liczb rzeczywistych, właściwości te przenoszą się tutaj, tak że jest to aksjomatyzacja geometrii afinicznej na polu liczb rzeczywistych.

Pierścienie trójskładnikowe

Pierwszą płaszczyznę niedesarguezowską zauważył David Hilbert w swoich Podstawach geometrii . Płaszczyzna Moultona jest standardową ilustracją. Aby zapewnić kontekst dla takiej geometrii, jak również dla tych, w których twierdzenie Desarguesa , koncepcja pierścienia trójskładnikowego została opracowana przez Marshalla Halla .

W tym podejściu płaszczyzny afiniczne są budowane z uporządkowanych par wziętych z pierścienia trójskładnikowego. Mówi się, że płaszczyzna ma „mniejszą właściwość afiniczną Desarguesa”, gdy dwa trójkąty w równoległej perspektywie, mające dwa równoległe boki, muszą również mieć równoległe trzecie boki. Jeśli ta właściwość zachodzi na płaszczyźnie afinicznej określonej przez trójkątny pierścień, to istnieje relacja równoważności między „wektorami” określonymi przez pary punktów z płaszczyzny. Ponadto wektory tworzą grupę abelową po dodaniu; pierścień trójskładnikowy jest liniowy i spełnia właściwą rozdzielność:

( za + b ) do = ac + pne .

Transformacje afiniczne

Geometrycznie, transformacje afiniczne (powinowactwa) zachowują współliniowość: przekształcają więc linie równoległe w linie równoległe i zachowują stosunki odległości wzdłuż linii równoległych.

twierdzenia afiniczne identyfikujemy każdy wynik geometryczny, który jest niezmienny w grupie afinicznej (w programie Erlangen Felixa Kleina jest to podstawowa grupa przekształceń symetrii dla geometrii afinicznej). Rozważmy w przestrzeni wektorowej V ogólną grupę liniową GL( V ). Nie jest to cała grupa afiniczna , ponieważ musimy dopuścić również translacje przez wektory v w V . (Takie tłumaczenie odwzorowuje dowolne w w V na w + v .) Grupa afiniczna jest generowana przez ogólną grupę liniową i translacje i jest w rzeczywistości ich produktem półbezpośrednim ${\ Displaystyle V \ rtimes \ mathrm {GL} (V)}$ . (Tutaj myślimy o V jako o grupie podlegającej operacji dodawania i używamy definiującej reprezentacji GL( V ) na V , aby zdefiniować iloczyn półprosty.)

Na przykład twierdzenie z płaskiej geometrii trójkątów o zbieżności linii łączących każdy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku (w środku ciężkości lub w środku ciężkości ) zależy od pojęcia punktu środkowego i środka ciężkości jako niezmienników afinicznych. Inne przykłady obejmują twierdzenia Ceva i Menelaosa .

Niezmienniki afiniczne mogą również pomóc w obliczeniach. Na przykład linie, które dzielą obszar trójkąta na dwie równe połowy, tworzą obwiednię wewnątrz trójkąta. Stosunek pola obwiedni do pola trójkąta jest niezmiennikiem afinicznym, więc wystarczy go obliczyć z prostego przypadku, takiego jak jednostka równoramiennego trójkąta prostokątnego, aby otrzymać ${\ Displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2) - {\ tfrac {1} {2}}}, tj.$ 0,019860 ... lub mniej niż 2% dla wszystkich trójkątów .

Znane wzory, takie jak połowa podstawy razy wysokość dla pola trójkąta lub jedna trzecia podstawy razy wysokość dla objętości piramidy, są również niezmiennikami afinicznymi. Chociaż ta ostatnia jest mniej oczywista niż pierwsza w przypadku ogólnym, jest łatwo widoczna dla jednej szóstej sześcianu jednostkowego utworzonego przez ścianę (obszar 1) i środek sześcianu (wysokość 1/2). Stąd odnosi się to do wszystkich piramid, nawet skośnych, których wierzchołek nie znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy, oraz tych, których podstawa jest równoległobokiem zamiast kwadratu. Formuła dalej uogólnia się na piramidy, których podstawę można podzielić na równoległoboki, w tym stożki, dopuszczając nieskończenie wiele równoległoboków (z należytą uwagą na zbieżność). To samo podejście pokazuje, że czterowymiarowa piramida ma hiperobjętość 4D o jedną czwartą objętości 3D jej równoległościanu pomnożonej przez wysokość i tak dalej dla wyższych wymiarów.

Kinematyka

kinematyce stosowane są dwa rodzaje transformacji afinicznej , zarówno klasyczna, jak i współczesna. Prędkość v jest opisana za pomocą długości i kierunku, gdzie zakłada się, że długość jest nieograniczona. Ta odmiana kinematyki, stylizowana na Galileusza lub Newtona, wykorzystuje współrzędne absolutnej przestrzeni i czasu . Odwzorowanie ścinania płaszczyzny z osią dla każdej reprezentuje zmianę współrzędnych dla obserwatora poruszającego się z prędkością v w spoczynkowym układzie odniesienia.

Skończona prędkość światła, zauważona po raz pierwszy przez opóźnienie pojawienia się księżyców Jowisza, wymaga nowoczesnej kinematyki. Metoda obejmuje szybkość zamiast prędkości i zastępuje mapowanie ścinania stosowane wcześniej. Ta afiniczna geometria została opracowana syntetycznie w 1912 r., aby wyrazić szczególną teorię względności . W 1984 roku Graciela Birman i Katsumi Nomizu opisali „płaszczyznę afiniczną związaną z przestrzenią wektorową Lorentza L ^{2 ”} w artykule zatytułowanym „Trigonometria w geometrii Lorentza”.

Przestrzeń afiniczna

Geometrię afiniczną można postrzegać jako geometrię przestrzeni afinicznej o danym wymiarze n , skoordynowanej w polu K . Istnieje również (w dwóch wymiarach) kombinatoryczne uogólnienie skoordynowanej przestrzeni afinicznej, opracowane w syntetycznej geometrii skończonej . W geometrii rzutowej przestrzeń afiniczna oznacza dopełnienie hiperpłaszczyzny w nieskończoności w przestrzeni rzutowej . Przestrzeń afiniczną można również postrzegać jako przestrzeń wektorową, której operacje są ograniczone do tych kombinacji liniowych, których współczynniki sumują się do jednego, na przykład 2 x − y , x − y + z , ( x + y + z )/3, i x + (1 − ja ) y , itd.

Syntetycznie płaszczyzny afiniczne to dwuwymiarowe geometrie afiniczne zdefiniowane w kategoriach relacji między punktami i liniami (lub czasami, w wyższych wymiarach, hiperpłaszczyznami ). Definiując geometrie afiniczne (i rzutowe) jako konfiguracje punktów i linii (lub hiperpłaszczyzn) zamiast używania współrzędnych, otrzymuje się przykłady bez pól współrzędnych. Główną właściwością jest to, że wszystkie takie przykłady mają wymiar 2. Skończone przykłady w wymiarze 2 ( skończone płaszczyzny afiniczne ) były cenne w badaniu konfiguracji w nieskończonych przestrzeniach afinicznych, w teorii grup i kombinatoryce .

Pomimo tego, że są one mniej ogólne niż podejście konfiguracyjne, inne omówione podejścia były bardzo skuteczne w wyjaśnianiu części geometrii, które są związane z symetrią .

Widok projekcyjny

W tradycyjnej geometrii geometria afiniczna jest uważana za studium między geometrią euklidesową a geometrią rzutową . Z jednej strony geometria afiniczna to geometria euklidesowa z pominiętą kongruencją ; z drugiej strony geometrię afiniczną można uzyskać z geometrii rzutowej przez wyznaczenie określonej linii lub płaszczyzny do reprezentowania punktów w nieskończoności . W geometrii afinicznej nie ma metrycznej , ale obowiązuje postulat równoległości . Geometria afiniczna stanowi podstawę struktury euklidesowej, gdy definiowane są proste prostopadłe , lub podstawę geometrii Minkowskiego poprzez pojęcie ortogonalności hiperbolicznej . Z tego punktu widzenia transformacja afiniczna jest transformacją rzutową , która nie permutuje skończonych punktów punktami w nieskończoności, a geometria transformacji afinicznej to badanie właściwości geometrycznych poprzez działanie grupy transformacji afinicznych.

Zobacz też

Geometria nieeuklidesowa

Dalsza lektura

Emil Artin (1957) Geometric Algebra , rozdział 2: „Geometria afiniczna i rzutowa” , za pośrednictwem Internet Archive
VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Idee i metody geometrii afinicznej i rzutowej (w języku rosyjskim ), Ministerstwo Edukacji, Moskwa.
MK Bennett (1995) Geometria afiniczna i rzutowa , John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8 .
HSM Coxeter (1955) „The Affine Plane”, Scripta Mathematica 21: 5–14, wykład wygłoszony przed Forum Towarzystwa Przyjaciół Scripta Mathematica w poniedziałek 26 kwietnia 1954 r.
Felix Klein (1939) Matematyka elementarna z zaawansowanego punktu widzenia: geometria , przetłumaczone przez ER Hedricka i CA Noble, s. 70–86, Macmillan Company .
Bruce E. Meserve (1955) Podstawowe pojęcia geometrii , rozdział 5 Geometria afiniczna ,, s. 150–84, Addison-Wesley .
Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry , Mathematical Expositions # 20, University of Toronto Press .
Wanda Szmielew (1984) Od geometrii afinicznej do euklidesowej: podejście aksjomatyczne , D. Reidel , ISBN 90-277-1243-3 .
Oswald Veblen (1918) Geometria rzutowa , tom 2, rozdział 3: Grupa afiniczna na płaszczyźnie, strony 70 do 118, Ginn & Company.

Linki zewnętrzne

Rzutowe i afiniczne geometrie Petera Camerona z Uniwersytetu Londyńskiego .
Jean H. Gallier (2001). Geometryczne metody i zastosowania w informatyce i inżynierii , Rozdział 2: „Podstawy geometrii afinicznej” (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics # 38, rozdział online z University of Pennsylvania .