Planarny pierścień trójskładnikowy

W matematyce struktura algebraiczna składająca $się$ niepustego zbioru $okrężnica R ^{3}\to R\,}$ trójskładnikowego $\$ można nazwać systemem trójskładnikowym . Planarny pierścień trójskładnikowy (PTR) lub pole trójskładnikowe to specjalny rodzaj układu trójskładnikowego używany przez Marshalla Halla do konstruowania płaszczyzny rzutowe za pomocą współrzędnych. Płaski pierścień trójskładnikowy nie jest ${\ Displaystyle T} (a,b,c)=ab+c}$ w tradycyjnym znaczeniu, ale każde daje płaski pierścień trójskładnikowy, w którym operacja jest zdefiniowana przez $)$ . Zatem możemy myśleć o płaskim trójskładnikowym pierścieniu jako uogólnieniu pola, w którym operacja trójskładnikowa zastępuje zarówno dodawanie, jak i mnożenie. W efekcie w architekturze komputerów ta trójskładnikowa operacja jest znana, np. jako operacja mnożenia-akumulacji (MAC).

Istnieje duże zróżnicowanie terminologii. Planarne pierścienie trójskładnikowe lub pola trójskładnikowe, jak zdefiniowano tutaj, były nazywane w literaturze innymi nazwami, a termin „płaski pierścień trójskładnikowy” może oznaczać wariant zdefiniowanego tutaj systemu. Termin „pierścień trójskładnikowy” często oznacza płaski pierścień trójskładnikowy, ale może również oznaczać po prostu układ trójskładnikowy.

Definicja

Płaski pierścień trójskładnikowy $to$ struktura , w której jest $zbiorem zawierającym$ ${\ Displaystyle T \ okrężnica R ^ {3} \ do R \,}$ , zwane 0 i jest odwzorowaniem, które spełnia te pięć aksjomatów:

${\ Displaystyle T (a, 0, b) = T (0, a, b) = b, \ quad$ ;
${\ Displaystyle T (1, a, 0) = T (a, 1,0) = a, \ quad \ dla wszystkich za \w R}$ ;
${\ Displaystyle \ forall a, b, c, d \ w R, a \ neq c}$ , istnieje unikalny ${\ Displaystyle x \ w R }$ takie, że : ${\ Displaystyle T (x, a, b) = T (x, c, d) \,}$ ;
${\ Displaystyle \ forall a, b, c \ in R}$ , istnieje unikalny ${\ Displaystyle x \ in R}$ że ${\ Displaystyle T (a, b, x) = c \,}$ ; I
${\ Displaystyle \ forall a, b, c, d \ in R, a \ neq c}$ , równania ${\ Displaystyle T (a, x, y) = b, T (c, x, y) = d \,}$ mają unikalne rozwiązanie ${\ Displaystyle (x, y) \ w R ^ {2}}$ .

Kiedy jest $skończony ,$ i piąty aksjomat są równoważne w obecności czwartego.

Żadnej innej pary (0 ', 1') w nie $znaleźć$ takiej, która $.$ pierwsze dwa aksjomaty

Operacje binarne

Dodatek

za ${\ Displaystyle a \ oplus b = T (a, 1, b)$ . Struktura ${\ Displaystyle (R \ oplus)}$ jest pętlą z elementem tożsamości 0.

Mnożenie

za ${\ Displaystyle a \ czasami b = T (a, b, 0)$ . Zbiór jest zamknięty pod tym mnożeniem ${\ Displaystyle R_ {0} = R \ setminus \ {0 \} \,} .$ Struktura ${\ Displaystyle (R_ {0}, \ czasami)}$ jest również pętlą z elementem tożsamości 1.

Liniowy PTR

$się$ $)$ pierścień jest liniowy jeśli . Na przykład płaski trójskładnikowy pierścień powiązany z quasipolem jest (z konstrukcji) liniowy. ^{[ potrzebne źródło ]}

Połączenie z płaszczyznami rzutowymi

Współrzędne płaszczyzny rzutowej w celu ustalenia płaskiego trójskładnikowego pierścienia

$,$ pierścień trójskładnikowy można skonstruować płaszczyznę rzutową ze zbiorem punktów P i zbiorem linii L w następujący sposób: (Zauważ, że jest to dodatkowe $infty}$ symbol nie w ${\ Displaystyle R}$ .)

Pozwalać

${\ Displaystyle P = \ {(a, b) | a, b \ w R \} \ kubek \ {(a) | a \ w R \} \ kubek \ {(( \infty )\}}$ , i
${\ Displaystyle L = \ {[a, b] | a, b \ w R \} \ kubek \ {[a] | a \ w R \} \ kubek \ {[ \infty ]\}}$ .

Następnie zdefiniuj relację częstości występowania w $Displaystyle$ sposób: $\ forall a, b, c, d \ in R}$

{\ Displaystyle ((a, b), [c, d]) \ w I \ Longleftrightarrow T (a ,c,d)=b}

{\ Displaystyle ((a, b), [c]) \ w ja \ Longleftrightarrow a = c}

{\ Displaystyle ((a, b), [\ infty] )\ notin ja}

\ in I \ Longleftrightarrow a = c}

{\ Displaystyle ((a), [c]} \ notin ja}

{\ Displaystyle ((a), [\ infty]) \ w ja}

{\ Displaystyle ((\ infty), [c, d]) \ notin ja}

{\ Displaystyle ((\ infty), [a ])\w I}

{\ Displaystyle ((\ infty), [\ infty]) \ w ja}

Każdą płaszczyznę rzutową można skonstruować w ten sposób, zaczynając od odpowiedniego płaskiego trójskładnikowego pierścienia. Jednak dwa nieizomorficzne płaskie pierścienie trójskładnikowe mogą prowadzić do konstrukcji izomorficznych płaszczyzn rzutowych.

I odwrotnie, biorąc pod uwagę dowolną płaszczyznę rzutową π, wybierając cztery punkty oznaczone o , e , u i v , z których żadne trzy nie leżą na tej samej prostej, współrzędne można wprowadzić do π, tak aby te specjalne punkty miały współrzędne: o = (0,0), mi = (1,1), v = ( ${\ Displaystyle \ infty}$ ) i u = (0). Operacja trójskładnikowa jest teraz zdefiniowana na symbolach współrzędnych (z wyjątkiem $przez$ y = T ( x , a , b ) wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ( x , y ) leży na prostej łączącej ( a ) z (0, b ). Aksjomaty definiujące płaszczyznę rzutową służą do pokazania, że daje to płaski pierścień trójskładnikowy.

Liniowość PTR jest równoważna warunkowi geometrycznemu utrzymywanemu w powiązanej płaszczyźnie rzutowej.

Powiązane struktury algebraiczne

PTR, które spełniają dodatkowe warunki algebraiczne, otrzymują inne nazwy. Nazwy te nie są jednolicie stosowane w literaturze. Poniższy wykaz nazwisk i właściwości pochodzi z Dembowskiego (1968 , s. 129).

Liniowy PTR, którego pętla addytywna jest asocjacyjna (a tym samym grupa ), nazywana jest grupą kartezjańską . W grupie kartezjańskiej odwzorowania

${\ Displaystyle x \ longrightarrow -x \ czasami a + x \ otimes b}$ i ${\ Displaystyle x \ longrightarrow a \ otimes xb \ otimes X}$

muszą być permutacjami, ilekroć ${\ Displaystyle a \ neq b}$ . Ponieważ grupy kartezjańskie są grupami w trakcie dodawania, wracamy do używania prostego „+” dla operacji dodawania.

Quasifield to grupa kartezjańska spełniająca prawo dystrybucji: ${\ Displaystyle (x + y) \ otimes z = x \ otimes z + y \ otimes z}$ . Dodawanie w każdym quasi-polu jest przemienne .

Półciało jest quasi- ciałem , które również spełnia lewe prawo rozdzielności: ${\ Displaystyle x \ otimes (y + z) = x \ otimes y + x \ otimes z.}$

Planarne . pole bliskie to quasipole, którego multiplikatywna pętla jest asocjacyjna (a zatem grupa) Nie wszystkie bliskie pola są planarnymi polami bliskimi.

Notatki

Albert, A. Adrian; Sandler, Ruben (1968). Wprowadzenie do skończonych płaszczyzn rzutowych . Nowy Jork: Holt, Rinehart i Winston.
Artzy, Rafael (2008) [1965], „Rozdział 4 Aksjomatyczna geometria płaszczyzny”, Geometria liniowa , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), „Groupoidy związane z trójskładnikowym pierścieniem płaszczyzny rzutowej”, Journal of Geometry , 61 (1–2): 17–31, doi : 10.1007 / bf01237490 , S2CID 123135402
Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
Grari, A. (2004), „Warunek konieczny i wystarczający, aby dwa płaskie pierścienie trójskładnikowe indukowały izomorficzne płaszczyzny rzutowe”, Arch. Matematyka (Bazylea) , 83 (2): 183–192, doi : 10.1007/s00013-003-4580-9 , S2CID 122203312
Hall, Marshall, Jr. (1943), „Płaszczyzny rzutowe”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society , 54 (2): 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
Hall, Marshall Jr. (1959), Teoria grup , Nowy Jork: The MacMillan Company, MR 0103215
Hughes, DR (1955), „Dodatkowe i multiplikatywne pętle płaskich pierścieni trójskładnikowych”, Proceedings of the American Mathematical Society , 6 (6): 973–980, doi : 10.1090 / s0002-9939-1955-0073568-8 , MR 0073568
Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Płaszczyzny rzutowe , Absolwent Teksty z matematyki (6) , New York: Springer-Verlag, ISBN 0387900446 , MR 0333959
Martin, GE (1967), „Płaszczyzny rzutowe i trójskładnikowe pierścienie izotopowe”, The American Mathematical Monthly , 74 (10): 1185–1195, doi : 10,2307/2315659 , hdl : 10338.dmlcz/101204 , JSTOR 2315659 , MR 0223972
Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
Stevenson, Frederick (1972), płaszczyzny projekcyjne , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9