Bliskie pole (matematyka)

W matematyce pole bliskie jest strukturą algebraiczną podobną do pierścienia podziału , z tą różnicą, że ma tylko jedno z dwóch praw rozdzielności. Alternatywnie, bliskie pole to bliski pierścień , w którym istnieje multiplikatywna tożsamość , a każdy element niezerowy ma multiplikatywną odwrotność .

Definicja

Pole bliskie to zbiór wraz z dwiema $)$ binarnymi (dodawanie i (mnożenie), spełniający następujące aksjomaty: Q $\$ $displaystyle Q$

A1:

{\ Displaystyle (Q, +)}

jest grupą abelową .

A2:

{\ Displaystyle (a \ cdot b) \ cdot c}

=

{\ Displaystyle a \ cdot (b \ cdot c)}

dla wszystkich elementów

{\ Displaystyle za}

,

{\ displaystyle b}

,

{\ displaystyle c}

z

{\ displaystyle Q}

( prawo asocjacyjne mnożenia).

A3:

{\ Displaystyle (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c}

dla wszystkich elementów

{\ Displaystyle a}

,

{\ displaystyle b}

,

{\ displaystyle c}

z

{\ displaystyle Q}

(właściwe prawo dystrybucji ).

A4:

{\ Displaystyle Q}

zawiera element 1 taki, że dla

} \displaystyle Q}

\ Displaystyle 1 \ cdot a = a

\

\

( tożsamość multiplikatywna ).

Q}

: Dla każdego niezerowego elementu z

displaystyle

istnieje element

{\ Displaystyle a ^ {-1}}

taki, że

{\ Displaystyle a \ cdot a ^ {-1} = 1 = a ^ {-1} \ cdot a}

( Multiplikatywna odwrotność ).

Uwagi dotyczące definicji

Powyższe jest, ściśle mówiąc, definicją prawego pola bliskiego. Zastępując A3 przez lewe prawo rozdzielności ${\ Displaystyle c \ cdot (a + b) = c \ cdot a + c \ cdot b}$ dostajemy lewą blisko -pole zamiast tego. Najczęściej „bliskie pole” jest rozumiane jako „prawo bliskie pola”, ale nie jest to uniwersalna konwencja.
(Prawe) pole bliskie nazywa się „płaskim”, jeśli jest również prawym quasipolem . Każde skończone pole bliskie jest płaskie, ale nieskończone pola bliskie nie muszą.
Nie trzeba określać, że grupa addytywna jest abelowa, gdyż wynika to z innych aksjomatów, czego dowiedli BH Neumann i JL Zemmer. Dowód jest jednak dość trudny i wygodniej jest włączyć go do aksjomatów, aby postęp w ustaleniu własności pól bliskich mógł rozpocząć się szybciej.
Czasami podaje się listę aksjomatów, w których A4 i A5 zastępuje się następującym pojedynczym stwierdzeniem:

A4*: Elementy niezerowe tworzą grupę podlegającą mnożeniu.

$)$ $która$ nie spełnia różnych podstawowych twierdzeń (takich dla . Dlatego o wiele wygodniej i częściej jest używać aksjomatów w postaci podanej powyżej. Różnica polega na tym, że A4 wymaga, aby 1 było tożsamością dla wszystkich elementów, a A4* tylko dla elementów niezerowych.

Wyjątkową strukturę można zdefiniować, biorąc addytywną grupę rzędu 2 i definiując mnożenie przez ${\ displaystyle x \ cdot y = x}$ $\ displaystyle y}$ wszystkich i ${$ .

Przykłady

Każdy pierścień podziału (w tym dowolne pole ) jest polem bliskim.
Poniżej zdefiniowano (prawe) pole bliskie rzędu 9. Jest to najmniejsze pole bliskie, które nie jest polem.

Niech ${\ displaystyle K}$ będzie polem Galois rzędu 9. Oznacz mnożenie w ${\ displaystyle K}$ przez ' ${\ displaystyle *}$ '. Zdefiniuj nową operację binarną ' · ' przez:

Jeśli jest dowolnym elementem $kwadratem$ i $za$ $\ displaystyle a}$ jest dowolnym elementem $}$ za $\ Displaystyle a \ cdot b = a * b$ .

Jeśli jest ${\ Displaystyle$ elementem z $K}$ , który nie jest kwadratem i jest dowolnym elementem z $Displaystyle K},$ $\$ to $\ styl wyświetlania a\cdot b=a^{3}*b}$ .

Wtedy jest $.$ bliskie pole z tym nowym mnożeniem i tym samym dodatkiem co poprzednio

Historia i zastosowania

Pojęcie pola bliskiego zostało po raz pierwszy wprowadzone przez Leonarda Dicksona w 1905 r. Wziął pierścienie podziału i zmodyfikował ich mnożenie, pozostawiając dodawanie bez zmian, iw ten sposób stworzył pierwsze znane przykłady pól bliskich, które nie były pierścieniami podziału. Pola bliskie wytwarzane tą metodą są znane jako pola bliskie Dicksona; pole bliskie rzędu 9 podane powyżej jest polem bliskim Dicksona. Hans Zassenhaus udowodnił, że wszystkie skończone pola bliskie z wyjątkiem 7 to albo pola, albo pola bliskie Dicksona.

Najwcześniejsze zastosowanie koncepcji pola bliskiego dotyczyło badania geometrii padania, takich jak geometrie rzutowe . Wiele geometrii rzutowych można zdefiniować za pomocą układu współrzędnych na pierścieniu podziału, ale inne nie. Stwierdzono, że dopuszczając współrzędne z dowolnego bliskiego pierścienia, rozszerzono zakres geometrii, które można było skoordynować. Na przykład Marshall Hall użył pola bliskiego rzędu 9 podanego powyżej do wytworzenia płaszczyzny Halla , pierwszej z sekwencji takich płaszczyzn opartej na polach bliskich Dicksona rzędu kwadratu liczby pierwszej. W 1971 r. Pokój TG i PB Kirkpatrick zapewniły alternatywny rozwój.

Istnieje wiele innych zastosowań, głównie do geometrii. Nowsze zastosowanie pól bliskich polega na konstruowaniu szyfrów do szyfrowania danych, takich jak szyfry Hilla .

Opis w kategoriach grup Frobeniusa i automorfizmów grupowych

Niech $będzie$ polem bliskim Niech $będzie$ $.$ multiplikatywną i niech jego grupą Niech ${\ Displaystyle c \ w K_ {m}}$ działa na ${\ Displaystyle b \ w K_ {a}}$ $mapsto b \ cdot c}$ { . Aksjomaty bliskiego pola pokazują, że jest to właściwe działanie grupowe na podstawie automorfizmów grupowych $K_ {a}}$ $displaystyle$ niezerowe elementy tworzą pojedynczą orbitę z trywialnymi stabilizator.

I odwrotnie, jeśli jest $abelową$ i jest podgrupą, która działa swobodnie i $Displaystyle$ na wartości niezerowej $\ operatorname {Aut} (A)}$ elementy , to możemy zdefiniować bliskie pole z grupą addytywną $}$ $multiplikatywną$ ZA $\ displaystyle A$ . Wybierz element w ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle 1}$ $\$ bijekcją m $1\ast m}$ $m \ mapsto 1 {$ \ . Następnie definiujemy dodawanie na $i$ $b$ grup addytywnych na mnożenie przez ${\ Displaystyle a \ cdot b = 1 \ ast \ phi ^ {- 1} (a) \ phi ^ {- 1} (b)}$ .

Grupę Frobeniusa można zdefiniować $A$ skończoną grupę postaci, w której działa bez stabilizatora na niezerowe elementy ZA $⋊$ $\$ . Zatem bliskie pola są w bijekcji z grupami Frobeniusa, gdzie ${\ Displaystyle | M | = | A | -1}$ .

Klasyfikacja

Jak wspomniano powyżej, Zassenhaus udowodnił, że wszystkie skończone pola bliskie albo wynikają z konstrukcji Dicksona, albo są jednym z siedmiu wyjątkowych przykładów. Opiszemy tę klasyfikację, podając pary, $gdzie$ $jest$ grupą $abelową$ a grupą grupa automorfizmów $A}$ $}$ , który działa swobodnie i przechodnie na niezerowych elementach ${\ displaystyle A}$ .

Konstrukcja Dicksona przebiega w następujący sposób. Niech będzie potęgą pierwszą i wybierz taką dodatnią liczbę całkowitą, $że$ $wszystkie$ $pierwsze$ dzielą 1 $q-1}$ i jeśli ${\ Displaystyle q \ równoważnik 3 {\ bmod {4}}}$ , to $Displaystyle$ jest podzielna przez $4}$ . niech $F$ $F}$ będzie skończonym polem $będzie$ i niech grupą addytywną $}$ . Grupa multiplikatywna wraz z Frobeniusa $generuje$ grupę $}$ postaci $fa$ $Displaystyle C_ {n} \ ltimes C_ {q ^ {n} -1}}$ $C_ {$ , gdzie jest grupą cykliczną rzędu do $k }}$ . Warunki podzielności na $}$ nam znaleźć podgrupę rzędu $\ Displaystyle C_ {n} \ ltimes C_ {$ ^ ${\ displaystyle q ^ {n} -1}$ który działa swobodnie i przechodnie na ${\ displaystyle A}$ . Przypadek dotyczy $przemiennych$ powyższy przykład dziewięciu elementów to ${\ displaystyle q = 3}$ , ${\ displaystyle n = 2}$ .

W siedmiu wyjątkowych przykładach ma $displaystyle$ : do ${p} ^ {2}}$ . Ta tabela, w tym numeracja cyframi rzymskimi, pochodzi z artykułu Zassenhausa.

	${\ Displaystyle A = C_ {p} ^ {2}}$	Generatory dla ${\ displaystyle M}$	Opis (y) ${\ displaystyle M}$
I	${\ displaystyle p = 5}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ początek {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ( {\begin{małamacierz}1&-2\\-1&-2\\\koniec{małamacierz}}\right)}$	${\ Displaystyle 2T}$ , binarna grupa czworościenna .
II	${\ displaystyle p = 11}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ początek {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ({{ \ rozpocząć {mała macierz} 1 i 5 \\ -5 i -2 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)}$ ${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 4 i 0 \\ 0 i 4 \\\ koniec {mała macierz }}\Prawidłowy)}$	${\ Displaystyle 2 T \ razy C_ {5}}$
III	${\ displaystyle p = 7}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ({ \begin{małamacierz}1&3\\-1&-2\\\koniec{małamacierz}}\right)}$	${\ Displaystyle 2O}$ binarna grupa oktaedryczna .
IV	${\ displaystyle p = 23}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawej)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ({{ \ rozpocząć {małamacierz} 1&-6\\12&-2\\\koniec {małamacierz}}\prawo)}$ ${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 2 i 0 \\ 0 i 2 \\\ koniec { małamacierz}}\prawo)}$	${\ Displaystyle 2O \ razy C_ {11}}$
V	${\ displaystyle p = 11}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ({\ początek{małamacierz}2&4\\1&-3\\\koniec{małamacierz}}\prawo)}$	${\ Displaystyle 2I}$ , binarna grupa dwudziestościenna .
VI	${\ displaystyle p = 29}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ początek {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ( 1 - 7 -$ $( {\ rozpocząć {mała macierz} 1 i -7 \\ -12 i -2 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)}$ ${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 16 i 0 \\ 0 i 16 \\\ koniec {małamacierz}}\po prawej)}$	${\ Displaystyle 2I \ razy C_ {7}}$
VII	${\ displaystyle p = 59}$	${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 0 i - 1 \\ 1 i 0 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)} ($ $\ Displaystyle \ lewo ({ \ rozpocząć {mała macierz} 9 i 15 \\ -10 i -10 \\\ koniec {mała macierz}} \ prawo)}$ ${\ Displaystyle \ lewo ({\ rozpocząć {mała macierz} 4 i 0 \\ 0 i 4 \\\ koniec {mała macierz }}\Prawidłowy)}$	${\ Displaystyle 2I \ razy C_ {29}}$

Binarne grupy czworościenne, ośmiościenne i dwudziestościenne są centralnymi przedłużeniami obrotowych grup symetrii brył platońskich ; te obrotowe grupy symetrii to $S_ {4}}$ 4 { $i$ ZA ${5}} .$ $}$ $Displaystyle$ i można również opisać jako ${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {F} _ {3})}$ i ${\ Displaystyle SL (2, \ mathbb {F} _ {5})}$ .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Nearfields autorstwa Hauke Klein.