Bliski pierścień

W matematyce bliski pierścień (również bliski pierścień lub bliski pierścień ) jest strukturą algebraiczną podobną do pierścienia , ale spełniającą mniej aksjomatów . Bliskie pierścienie powstają naturalnie z funkcji na grupach .

Definicja

Zbiór N wraz z dwiema operacjami binarnymi + (zwanymi dodawaniem ) i ⋅ (zwanymi mnożeniem ) nazywamy (prawo) bliskim pierścieniem, jeśli :

N oznacza grupę (niekoniecznie abelową ) w trakcie dodawania;
mnożenie jest asocjacyjne (więc N jest półgrupą podczas mnożenia); I
mnożenie po prawej stronie rozkłada się na dodawanie: dla dowolnego x , y , z w N , zachodzi to ( x + y )⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ).

Podobnie, możliwe jest zdefiniowanie lewego bliskiego pierścienia poprzez zastąpienie prawego prawa rozdzielczego odpowiednim lewym prawem rozdzielczym. W literaturze występują zarówno prawe, jak i lewe bliskie pierścienie; na przykład księga Pilza używa prawych bliskich pierścieni, podczas gdy księga Claya używa lewych bliskich pierścieni.

Bezpośrednią konsekwencją tego jednostronnego prawa dystrybucji jest to, że prawdą jest, że 0⋅ x = 0, ale niekoniecznie jest prawdą, że x ⋅0 = 0 dla dowolnego x w N . Inną bezpośrednią konsekwencją jest to, że (− x )⋅ y = −( x ⋅ y ) dla dowolnego x , y w N , ale nie jest konieczne, aby x ⋅(− y ) = −( x ⋅ y ). Bliski pierścień to a pierścień (niekoniecznie z jednością) wtedy i tylko wtedy, gdy dodawanie jest przemienne, a mnożenie jest również rozdzielne względem dodawania po lewej stronie . Jeśli bliski pierścień ma tożsamość multiplikatywną, wówczas wystarczająca jest rozdzielność po obu stronach, a przemienność dodawania następuje automatycznie.

Odwzorowania z grupy na siebie

Niech G będzie grupą zapisaną addytywnie, ale niekoniecznie abelową i niech M ( G ) będzie zbiorem { f | f : G → G } wszystkich funkcji od G do G . Operację dodawania można zdefiniować na M ( G ): biorąc pod uwagę f , g w M ( G ), to odwzorowanie f + g z G do G jest określone wzorem ( f + g )( x ) = fa ( x ) + g ( x ) dla wszystkich x w G . Wtedy ( M ( G ), +) jest również grupą, która jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy G jest abelowa. Przyjmując skład odwzorowań jako iloczyn ⋅, M ( G ) staje się bliskim pierścieniem.

Element 0 bliskiego pierścienia M ( G ) jest odwzorowaniem zerowym , tj. odwzorowaniem, które przenosi każdy element G na element tożsamości G . Dodatkowa odwrotność − f od f w M ( G ) pokrywa się z naturalną definicją punktową , to znaczy (− f )( x ) = − ( f ( x )) dla wszystkich x w G .

Jeśli G ma co najmniej 2 elementy, M ( G ) nie jest pierścieniem, nawet jeśli G jest abelowe. (Rozważ stałe odwzorowanie g z G na stały element g ≠ 0 z G ; wtedy g ⋅0 = g ≠ 0 .) Istnieje jednak podzbiór E ( G ) z M ( G ) składający się ze wszystkich endomorfizmów grupowych G czyli wszystkie mapy fa : sol → sol takie , że fa ( x + y ) = fa ( x ) + fa ( y ) dla wszystkich x , y w G . Jeśli ( G , +) jest abelowe, obie operacje bliskiego pierścienia na M ( G ) są domknięte na E ( G ) i ( E ( G ), +, ⋅) jest pierścieniem. Jeśli ( G , +) jest nieabelowe, E ( G ) generalnie nie jest domknięte w operacjach bliskiego pierścienia; ale zamknięcie E ( G ) w operacjach zbliżonych do pierścienia jest zbliżone do pierścienia.

Wiele podzbiorów M ( G ) tworzy interesujące i użyteczne bliskie pierścienie. Na przykład:

Odwzorowania, dla których f (0) = 0 .
Stałe odwzorowania, tj. takie, które odwzorowują każdy element grupy na jeden stały element.
Zbiór map generowanych przez dodawanie i negację z endomorfizmów grupy („dodatkowe zamknięcie” zbioru endomorfizmów). Jeśli G jest abelowe, to zbiór endomorfizmów jest już addytywnie domknięty, tak że domknięcie addytywne jest po prostu zbiorem endomorfizmów G i tworzy nie tylko bliski pierścień, ale pierścień.

Dalsze przykłady występują, jeśli grupa ma dalszą strukturę, na przykład:

Ciągłe odwzorowania w grupie topologicznej .
Funkcje wielomianu na pierścieniu z tożsamością w ramach dodawania i składem wielomianu.
Odwzorowania afiniczne w przestrzeni wektorowej .

Każdy bliski pierścień jest izomorficzny z podbliskim pierścieniem M ( G ) dla pewnego G .

Aplikacje

Wiele zastosowań dotyczy podklasy bliskich pierścieni, znanych jako pola bliskie ; w tym celu zobacz artykuł o polach bliskich.

Istnieją różne zastosowania właściwych pierścieni bliskich, tj. takich, które nie są ani pierścieniami, ani polami bliskimi.

Najbardziej znany jest zrównoważony projekt niekompletnych bloków przy użyciu płaskich bliskich pierścieni. Są to sposoby na uzyskanie rodzin różnicowych przy użyciu orbit grupy automorfizmu swobodnego punktu stałego grupy. Clay i inni rozszerzyli te idee na bardziej ogólne konstrukcje geometryczne.

Zobacz też

Celestyna Cotti Ferrero; Giovanniego Ferrero (2002). Nearrings: niektóre zmiany związane z półgrupami i grupami . Wydawnictwa Naukowe Kluwer. ISBN 978-1-4613-0267-4 .

Linki zewnętrzne

Strona główna Near Ring na Johannes Kepler Universität Linz