Regały i kwandle

W matematyce stojaki i kwandle to zbiory z operacjami binarnymi spełniającymi aksjomaty analogiczne do ruchów Reidemeistera używanych do manipulowania diagramami węzłów .

Chociaż są używane głównie do uzyskiwania niezmienników węzłów, można je postrzegać jako samodzielne konstrukcje algebraiczne . W szczególności definicja kwandla aksjomatyzuje właściwości koniugacji w grupie .

Historia

W 1943 roku Mituhisa Takasaki (高崎光久) wprowadził strukturę algebraiczną, którą nazwał Kei (圭), która później stała się znana jako kwandel inwolucyjny. Jego motywacją było znalezienie nieasocjacyjnej struktury algebraicznej, aby uchwycić pojęcie odbicia w kontekście skończonej geometrii . Pomysł został ponownie odkryty i uogólniony w (nieopublikowanej) korespondencji z 1959 roku między Johnem Conwayem i Gavinem Wraithem, którzy w tym czasie byli studentami studiów licencjackich na Uniwersytecie w Cambridge . To tutaj po raz pierwszy pojawiają się współczesne definicje quandli i stojaków. Wraith zainteresował się tymi strukturami (które początkowo nazwał sekwencjami ) w szkole. Conway nadał im nazwę wracks , częściowo jako gra słów z imienia swojego kolegi, a częściowo dlatego, że powstają jako pozostałości (lub „zniszczenie i ruina”) grupy, gdy odrzuca się strukturę multiplikatywną i bierze się pod uwagę tylko strukturę koniugacji . Pisownia „stojak” stała się teraz powszechna.

artykule Davida Joyce'a z 1982 r . (gdzie Matwiejewa ukuto termin quandle ) , w artykule Siergieja z 1982 r. nazywano zbiorami automorficznymi ). Szczegółowy przegląd stojaków i ich zastosowań w teorii węzłów można znaleźć w artykule Colina Rourke'a i Rogera Fenna.

Regały

Stojak można zdefiniować jako zbiór $z$ $taką$ binarną , że dla każdego za $\ in \mathrm {R} } obowiązuje$ prawo samodzielności :

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt (b \ lewy trójkąt c) = (a \ lewy trójkąt b) \ lewy trójkąt (a \ lewy trójkąt c)}

$\ in \ operatorname {R}}$ dla każdego ${\ Displaystyle a, b$ unikalny , że

{\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo c = b.}

Ta definicja, choć zwięzła i powszechnie stosowana, jest nieoptymalna do pewnych celów, ponieważ zawiera kwantyfikator egzystencjalny, który tak naprawdę nie jest konieczny. $_$ możemy ${\ displaystyle b \ triangleright a.}$ $.$ tak jako Mamy więc

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt c = b \ iff c = b \ trójkąt w prawo a,}

a zatem

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt (b \ prawy trójkąt a) = b,}

I

{\ Displaystyle (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w prawo a = b.}

Korzystając z tego pomysłu, stojak można równoważnie zdefiniować jako zbiór $i$ $\$ operacjami binarnymi takimi , że dla wszystkich ${\ Displaystyle a, b, c \ w \ operatorname {R} {\ tekst {:}}}$ $triangleleft}$

${\ Displaystyle a \ lewy trójkąt (b \ lewy trójkąt c) = (a \ lewy trójkąt b) \ lewy trójkąt (a \ lewy trójkąt c)} (lewy$ ja -prawo rozdzielcze)
${\ Displaystyle (c \ trójkąt w prawo b) \ trójkąt w prawo a = (c \ trójkąt w prawo a) \ trójkąt w prawo (b \ trójkąt w prawo a)} ($ prawo siebie -prawo rozdzielcze)
${\ Displaystyle (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w prawo a = b}$
${\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo (b \ trójkąt w prawo a) = b}$

Wygodnie jest powiedzieć, że element ${\ Displaystyle a \ in \ operatorname {R$ $}$ lewej w wyrażeniu od prawej w wyrażeniu za wyrażenie ${\ displaystyle b \ triangleright a.}$ Aksjomaty trzeciego i czwartego stojaka mówią wtedy, że te lewe i prawe działania są do siebie odwrotne. Używając tego, możemy wyeliminować jedno z tych działań z definicji stojaka. Jeśli wyeliminujemy prawą czynność i pozostawimy lewą, otrzymamy zwięzłą definicję podaną na początku.

W literaturze dotyczącej stojaków i kwandle stosuje się wiele różnych konwencji. Na przykład wielu autorów woli pracować z właściwą akcją . Co więcej, użycie symboli i nie jest bynajmniej uniwersalne: wielu autorów używa notacji wykładniczej ◃ $\ triangleleft}$ $displaystyle$

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt b = {} ^ {a} b}

I

{\ Displaystyle b \ trójkąt w prawo a = b ^ {a},}

podczas gdy wielu innych pisze

{\ Displaystyle b \ trójkąt w prawo a = b \ gwiazda a.}

Jeszcze inną równoważną definicją stojaka jest to, że jest to zbiór, w którym każdy element działa po lewej i prawej stronie jako automorfizm stojaka, przy czym lewe działanie jest odwrotnością prawego. W tej definicji fakt, że każdy element działa jako automorfizm, koduje lewe i prawe prawa samorozdzielności, a także te prawa:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a \ trójkąt w lewo (b \ trójkąt w prawo c) & = (a \ trójkąt w lewo b) \ trójkąt w prawo (a \ \ trójkąt w lewo c) \\ (c \ lewy trójkąt b) \ trójkąt w prawo a & = (c \ trójkąt w prawo a)\trójkąt w lewo (b\trójkąt w prawo a)\koniec {wyrównany}}}

które są konsekwencjami definicji podanej wcześniej.

Quandle

Kwandel jest definiowany jako stojak, $,$ że dla wszystkich za ${Q}}$

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt a = a,}

lub równoważnie

{\ Displaystyle a \ trójkąt w prawo a = a.}

Przykłady i zastosowania

Każda grupa daje kwandel, w którym operacje pochodzą z koniugacji:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a \ trójkąt w lewo b & = aba ^ {- 1} \\ b \ trójkąt w prawo a & =a^{-1}ba\\&=a^{-1}\trójkąt w lewo b\end{wyrównane}}}

W rzeczywistości każde prawo równań spełnione przez koniugację w grupie wynika z aksjomatów kwandle. Można więc myśleć o kwandle jako o tym, co zostaje z grupy, gdy zapominamy o mnożeniu, tożsamości i odwrotnościach, a pamiętamy tylko operację koniugacji.

Każdy oswojony węzeł w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej ma „fundamentalny problem”. Aby to zdefiniować, można zauważyć, że podstawowa grupa dopełnienia węzłów lub grupa węzłów ma prezentację ( prezentacja Wirtingera ), w której relacje obejmują tylko koniugację. Tak więc ta prezentacja może być również wykorzystana jako prezentacja kwandla. Podstawowy quandle jest bardzo potężnym niezmiennikiem węzłów. W szczególności, jeśli dwa węzły mają izomorficzne podstawowe problemy, to występuje homeomorfizm trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, która może być odwróceniem orientacji , przenosząc jeden węzeł do drugiego.

Mniej potężne, ale łatwiejsze do obliczenia niezmienniki węzłów można uzyskać, licząc homomorfizmy od kwandle węzła do kwandle ustalonego ${\ Displaystyle \ operatorname {Q}.}$ Ponieważ prezentacja Wirtingera ma jeden generator dla każdej nici na diagramie węzłów , te niezmienniki można obliczyć, licząc sposoby oznaczania każdej nici przez element ${\ displaystyle \ operatorname {Q} } ,}$ podlega pewnym ograniczeniom. Bardziej wyrafinowane niezmienniki tego rodzaju można skonstruować za pomocą kohomologii kwandle .

Kwandle Aleksandra są również ważne, ponieważ można ich użyć do obliczenia wielomianu węzła Aleksandra . Niech będzie modułem wielomianów Laurenta w jednej zmiennej ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [t, t ^ {-1}$ $[$ . Następnie kwandel Aleksandra jest przekształcany w ${\ Displaystyle \ operatorname {A}}$ z lewą akcją określoną przez ZA

{\ Displaystyle a \ trójkąt w lewo b = tb + (1-t) a.}

Stojaki są użytecznym uogólnieniem kwandli w topologii, ponieważ podczas gdy kwandle mogą reprezentować węzły na okrągłym obiekcie liniowym (takim jak lina lub nić), stojaki mogą reprezentować wstążki, które mogą być zarówno skręcone, jak i wiązane.

kwandla jest mimowolna , jeśli dla wszystkich $in \ operatorname {Q},}$ $\ Displaystyle a, b$

{\ Displaystyle a \ lewy trójkąt (a \ lewy trójkąt b) = b}

lub równoważnie,

{\ Displaystyle (b \ trójkąt w prawo a) \ trójkąt w prawo a = b.}

Każda symetryczna przestrzeń $}$ $kwandel$ inwolucyjny, gdzie jest odbicia przez ${\ displaystyle$ ”.

Zobacz też

^ Takasaki, Mituhisa (1943). „Abstrakcje funkcji symetrycznych”. Dziennik matematyczny Tohoku . 49 : 143–207.
Bibliografia _ Widmo, Gavin (1959). „(korespondencja niepublikowana)”. {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
Bibliografia _ „Osobista historia o węzłach” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2006-03-13.
^ Joyce, David (1982). „ Klasyfikujący niezmiennik węzłów: kwandel węzła ” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 23 : 37–65. doi : 10.1016/0022-4049(82)90077-9 .
Bibliografia _ „Pochodzenie słowa„ Quandle ” ” . Kawiarnia kategorii n . Źródło 5 czerwca 2015 r .
^ Matwiejew, Siergiej (1984). „ Dystrybucyjne groupoidy w teorii węzłów ”. Matematyka ZSRR Sbornik . 47 (1): 73–83. Bibcode : 1984SbMat..47...73M . doi : 10.1070/SM1984v047n01ABEH002630 .
^ Brieskorn, Egbert (1988). „ Zbiory automorficzne i osobliwości ”. W „Warkocze (Santa Cruz, Kalifornia, 1986)”, Współczesna matematyka . 78 : 45–115. doi : 10.1090/conm/078/975077 .
Bibliografia _ Fenn, Roger (1992). " Regały i ogniwa w kodzie 2 ". Journal of Knot Theory i jego konsekwencje . 1 (4): 343–406. doi : 10.1142/S0218216592000203 .

Linki zewnętrzne

Knot Quandaries Quelled by Quandles - licencjackie wprowadzenie do quandles i innych niezmienników węzłów
Przegląd pomysłów Quandle autorstwa Scotta Cartera
Niezmienniki węzłów wyprowadzone z Quandles and Racks autorstwa Seiichi Kamada
Półki, stojaki, wrzeciona i czółenka , s. 56 Lie 2-Algebras autorstwa Alissy Crans
https://ncatlab.org/nlab/show/quandle

[takasaki-1] Takasaki, Mituhisa (1943). „Abstrakcje funkcji symetrycznych”. Dziennik matematyczny Tohoku . 49 : 143–207.

[cw-2] Bibliografia _ Widmo, Gavin (1959). „(korespondencja niepublikowana)”. {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )

[wraith-3] Bibliografia _ „Osobista historia o węzłach” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2006-03-13.

[joyce-4] Joyce, David (1982). „ Klasyfikujący niezmiennik węzłów: kwandel węzła ” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 23 : 37–65. doi : 10.1016/0022-4049(82)90077-9 .

[5] Bibliografia _ „Pochodzenie słowa„ Quandle ” ” . Kawiarnia kategorii n . Źródło 5 czerwca 2015 r .

[matveev-6] Matwiejew, Siergiej (1984). „ Dystrybucyjne groupoidy w teorii węzłów ”. Matematyka ZSRR Sbornik . 47 (1): 73–83. Bibcode : 1984SbMat..47...73M . doi : 10.1070/SM1984v047n01ABEH002630 .

[brieskorn-7] Brieskorn, Egbert (1988). „ Zbiory automorficzne i osobliwości ”. W „Warkocze (Santa Cruz, Kalifornia, 1986)”, Współczesna matematyka . 78 : 45–115. doi : 10.1090/conm/078/975077 .

[fr-8] Bibliografia _ Fenn, Roger (1992). " Regały i ogniwa w kodzie 2 ". Journal of Knot Theory i jego konsekwencje . 1 (4): 343–406. doi : 10.1142/S0218216592000203 .