Prezentacja Wirtingera

W matematyce , zwłaszcza w teorii grup , prezentacja Wirtingera jest skończoną prezentacją , w której relacje mają postać w $\ Displaystyle wg_ {i} w ^ {- 1} = g_ {j}}$ gdzie $,$ słowem w generatorach ${\ Displaystyle \ {g_ {1}, g_ {2}, \ ldots, g_ {k} \}.}$ Wilhelm Wirtinger zauważył, że dopełnienia węzłów w przestrzeni 3 mają podstawowe grupy z prezentacjami tej postaci.

Wstępy i definicja

Węzeł K jest osadzeniem jednosfery S ^{1 w} przestrzeni trójwymiarowej R ³ . (Alternatywnie przestrzeń otoczenia można również przyjąć jako trójkulową S ³ , co nie ma znaczenia dla celów prezentacji Wirtingera.) Otwarta podprzestrzeń, która jest dopełnieniem węzła, ${ \displaystyle S^{3}\setminus K}$ to dopełnienie węzła. Jego podstawowa grupa $niezmiennikiem węzła$ w tym sensie, że węzły mają izomorficzne węzłów . Dlatego interesujące jest zrozumienie tej grupy w przystępny sposób.

Prezentacja Wirtingera wywodzi się z regularnego rzutu zorientowanego węzła . Taki rzut można zobrazować jako skończoną liczbę (zorientowanych) łuków na płaszczyźnie, oddzielonych przecięciami rzutu. Podstawowa grupa jest generowana przez pętle owijające się wokół każdego łuku. Każde skrzyżowanie powoduje powstanie pewnej relacji między generatorami odpowiadającej łukom spotykającym się na skrzyżowaniu.

Prezentacje Wirtingera węzłów wielowymiarowych

wiadomo, że współwymiarowe dwa węzły w sferach mają prezentacje Wirtingera. Michel Kervaire udowodnił, że grupa abstrakcyjna jest podstawową grupą zewnętrznego węzła (w prawdopodobnie wielowymiarowej sferze) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie następujące warunki:

1. Abelianizacja grupy to liczby całkowite .
2. Druga homologia grupy jest trywialna.
3. Grupa jest skończona .
4. Grupa jest normalnym zamknięciem pojedynczego generatora.

Warunki (3) i (4) są zasadniczo przekształconymi warunkami prezentacji Wirtingera. Kervaire udowodnił w wymiarach 5 i większych, że powyższe warunki są konieczne i wystarczające. Charakterystyka grup węzłów w wymiarze czwartym jest problemem otwartym.

Przykłady

W przypadku węzła koniczyny można pokazać prezentację Wirtingera

${\ Displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbb {R} ^ {3} \ ukośnik odwrotny {\ tekst {koniczyna}}) = \ langle x, y \ mid yxy = xyx \ rangle.}$

Zobacz też

• Grupa węzłów

Dalsza lektura

•   Rolfsen, Dale (1990), Węzły i linki , seria wykładów z matematyki, tom. 7, Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4 , sekcja 3D
•   Kawauchi, Akio (1996), Przegląd teorii węzłów , Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-9227-8 , ISBN 978-3-0348-9953-6
•   Hillman, Jonathan (2012), algebraiczne niezmienniki linków , Series on Knots and Everything, tom. 52, World Scientific, doi : 10.1142/9789814407397 , ISBN 9789814407397
• Livingston, Charles (1993), Teoria węzłów , The Mathematical Association of America