Samolot halowy

W matematyce płaszczyzna Halla jest niedesarguezowską płaszczyzną rzutową skonstruowaną przez Marshalla Halla Jr. (1943). Istnieją przykłady rzędu p ^{2 n} dla każdej liczby pierwszej p i każdej dodatniej liczby całkowitej n pod warunkiem , że p ^{2 n} > 4.

Konstrukcja algebraiczna za pomocą systemów Halla

Oryginalna konstrukcja płaszczyzn Halla była oparta na quasipolu Halla $($ zwanym systemem , H rzędu dla p a prim. Tworzenie płaszczyzny z quasipola jest zgodne ze standardową konstrukcją ( quasipolu ).

$dla$ quasipole Halla, zacznij od , a prim ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} -rx-s}$ nieredukowalnego nad fa . H. $\ razy F}$ , dwuwymiarowa przestrzeń wektorowa nad F , do quasipola przez zdefiniowanie mnożenia wektorów przez ${\ Displaystyle (a, b) \ circ (c, d) = (ac-bd ^ {-1} f (c), ad-bc + br)},$ gdy ${\ Displaystyle d \ neq 0}$ i $)}$ pne .

Zapisując elementy H w postaci bazy <1, λ>, czyli utożsamiając ( x , y ) z x + λ y jako x i y różniące się w F , możemy zidentyfikować elementy F jako uporządkowane pary ( x , 0), czyli x + λ0. Własnościami zdefiniowanego mnożenia, które zamieniają prawą przestrzeń wektorową H w quasi-ciało, są:

1. każdy element α z H nie w F spełnia równanie kwadratowe f(α) = 0;
2. F jest w jądrze H (co oznacza, że ​​(α + β)c = αc + βc i (αβ)c = α(βc) dla wszystkich α, β w H i wszystkich c w F ); I
3. każdy element F komutuje (multiplikatywnie) ze wszystkimi elementami H .

Pochodzenie

Inną konstrukcję, która tworzy płaszczyzny Halla, uzyskuje się przez zastosowanie wyprowadzenia do płaszczyzn Desarguesa .

Proces, za sprawą TG Ostroma, który zastępuje pewne zestawy prostych w płaszczyźnie rzutowej przez naprzemienne zbiory w taki sposób, że nowa struktura jest nadal płaszczyzną rzutową, nazywa się derywacją . Podajemy szczegóły tego procesu. Zacznij od $\ displaystyle n ^$ rzutowej rzędu $}$${2}$ i wyznacz jedną linię linię w nieskończoności . Niech A będzie płaszczyzną afiniczną ${\ Displaystyle \ pi \ setminus \ ell}$ . Zbiór punktów z $+ 1}$$nazywa$ się zbiorem wyprowadzeń , jeśli dla każdej pary różnych punktów X i Y z A , które określają spotkanie linii ℓ $\ displaystyle \ ell }$ w punkcie D istnieje podpłaszczyzna Baera zawierająca X , Y i D ${D} (A)}$ mówimy, że takie podpłaszczyzny Baera należą do D .) Zdefiniuj nową płaszczyznę afiniczną następujący sposób: re ${D} (A$$displaystyle \ operatorname$ to punkty A . Linie ${\ Displaystyle \ operatorname {D} (A)}$ to linie, które nie spełniają ${\ Displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle \ ell}$ w punkcie D (ograniczonym do A ) i podpłaszczyznami Baera należącymi do D (ograniczonymi do A ). Zbiór $jest$ płaszczyzną afiniczną rzędu $i$ to lub nazywa

Nieruchomości

1. Płaszczyzny Halla są płaszczyznami translacyjnymi .
2. Wszystkie skończone płaszczyzny Halla tego samego rzędu są izomorficzne.
3. Płaszczyzny Halla nie są samodualne .
4. Wszystkie skończone płaszczyzny Halla zawierają podpłaszczyzny rzędu 2 ( podpłaszczyzny Fano ).
5. Wszystkie skończone płaszczyzny Halla zawierają podpłaszczyzny rzędu innego niż 2.
6. Płaszczyzny Halla to płaszczyzny André .

Płaszczyzna Halla rzędu 9

Płaszczyzna hali zamówienia 9
Zamówienie	9
Klasa Lenza-Barlottiego	IVa.3
Automorfizmy	${\ Displaystyle 2 ^ {8} \ razy 3 ^ {5} \ razy 5}$
Długości orbity punktowej	10, 81
Długości linii orbit	1, 90
Nieruchomości	Płaszczyzna translacji

Halla rzędu 9 jest najmniejszą płaszczyzną Halla i jednym z trzech najmniejszych przykładów skończonej niedesargueskiej płaszczyzny rzutowej , wraz z jej podwójną i płaszczyzną Hughesa rzędu 9.

Budowa

Chociaż zwykle zbudowana w taki sam sposób jak inne płaszczyzny Halla, płaszczyzna Halla rzędu 9 została faktycznie znaleziona wcześniej przez Oswalda Veblena i Josepha Wedderburna w 1907 roku. Istnieją cztery quasipola rzędu dziewiątego, które można wykorzystać do skonstruowania płaszczyzny Halla rzędu dziewiątego . Trzy z nich to systemy Halla generowane przez nieredukowalne wielomiany ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 1}$ , ${\ Displaystyle g (x) = x ^ {2} -x-1}$ lub ${\ Displaystyle h (x) = x ^ {2} + x-1}$ . Pierwszy z nich wytwarza asocjacyjne quasipole, czyli pole bliskie , i właśnie w tym kontekście płaszczyzna została odkryta przez Veblena i Wedderburna. Ten samolot jest często określany jako samolot bliskiego pola rzędu dziewiątego.

Nieruchomości

Grupa automorfizmów

Płaszczyzna Halla rzędu 9 jest unikalną płaszczyzną rzutową, skończoną lub nieskończoną, która ma klasę IVa.3 Lenza-Barlottiego . Jego grupa automorfizmów działa na swojej (koniecznie unikalnej) linii translacji prymitywnie , mając 5 par punktów, które grupa zachowuje w sposób ustalony; grupa automorfizmu działa jak $.$ tych 5

Jednostki

Płaszczyzna Halla rzędu 9 dopuszcza cztery nierównoważne wbudowane jednostki . Dwie z tych jednostek wynikają z konstrukcji Buekenhouta: jedna jest paraboliczna , stykająca się z linią translacji w jednym punkcie, a druga hiperboliczna , stykająca się z linią translacji w 4 punktach. Grüning wykazał, że ta ostatnia z tych dwóch jednostek może być również osadzona w podwójnej płaszczyźnie Halla. Kolejna jednostka wynika z konstrukcji Barlotti i Lunardon. Czwarty ma grupę automorfizmów rzędu 8, izomorficzną z czwartorzędami i nie jest częścią żadnej znanej nieskończonej rodziny.

Notatki

• Dembowski, P. (1968), skończone geometrie , Berlin: Springer-Verlag
•     Hall, Marshall Jr. (1943), „Płaszczyzny rzutowe” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 54 (2): 229–277, doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
•   Hughes, D.; Piper, F. (1973). Płaszczyzny rzutowe . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90044-6 .
•   Stevenson, Frederick W. (1972), płaszczyzny projekcyjne , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
•   Veblen, Oskar ; Wedderburn, Joseph HM (1907), „geometrie niedesargueskie i niepascalowskie” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR 1988781
• Weibel, Charles (2007), „Survey of Non-Desarguesian Planes” (PDF) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 54 (10): 1294–1303