Quasifield

W matematyce quasipole jest strukturą algebraiczną $}$ gdzie + i $+, \ cdot)$ operacjami binarnymi na Q, podobnie jak pierścień dzielenia, ( , ale na słabszych warunkach. Wszystkie pierścienie podziału, a tym samym wszystkie pola , są quasipolami.

Definicja

Quasifield $)}$ $cdot$ to struktura, gdzie + i operacjami binarnymi na Q, spełniającymi te aksjomaty:

${\ Displaystyle (Q, +) \,}$ to grupa
${\ Displaystyle (Q_ {0}, \ cdot)}$ to pętla , gdzie ${\ Displaystyle Q_ {0} = Q \ setminus \ {0 \} \,}$
${\ Displaystyle a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c \ quad \ forall a, b,c\in Q}$ ( rozdzielność lewa )
$cdot x+c}$ ma dokładnie jedno rozwiązanie ${\ displaystyle \ forall a, b, c \in Q,a\neq b}$

Ściśle mówiąc, jest to definicja lewego quasipola. Prawe quasipole jest podobnie zdefiniowane, ale zamiast tego spełnia prawą rozdzielność. Kwasipole spełniające oba prawa rozdzielności nazywane jest półpolem w takim sensie, w jakim tego terminu używa się w geometrii rzutowej .

$nie$ aksjomaty sugerują, że grupa addytywna jest abelowa . Zatem mówiąc o abelowym quasipolu $,$ mamy na myśli abelowe

Jądro

Jądro K quasipola Q jest zbiorem wszystkich elementów c takich, że:

${\ Displaystyle a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c \ quad \ forall a, b \w Q}$
${\ Displaystyle (a + b) \ cdot c = (a \ cdot c) + (b \ cdot c) \quad \forall a,b\in Q}$

$do$ operacje binarne + $można$ , , jest pierścień

Można teraz utworzyć przestrzeń wektorową Q przez K, wykonując następujące mnożenie przez skalar: ${\ displaystyle v \ otimes l = v \ cdot l \ quad \ forall v \w Q,l\w K}$

Ponieważ pierścień o skończonym podziale jest polem skończonym zgodnie z twierdzeniem Wedderburna , rząd jądra skończonego quasipola jest potęgą pierwszą . Konstrukcja przestrzeni wektorowej implikuje, że rząd dowolnego skończonego quasipola musi być również potęgą pierwszą.

Przykłady

Wszystkie pierścienie podziału, a tym samym wszystkie pola, są quasipolami.

(Prawe) pole bliskie , które jest (prawym) quasipolem, nazywane jest „płaskim polem bliskim”.

Najmniejsze quasipola są abelowe i unikalne. Są to skończone pola zamówień do ośmiu włącznie. Najmniejszymi quasipolami, które nie są pierścieniami podziału, są cztery nieabelowe quasiciała rzędu dziewiątego; prezentują je Hall (1959) i Weibel (2007) .

Płaszczyzny projekcyjne

Biorąc pod uwagę quasipole , definiujemy mapę trójskładnikową $\$ $Q \ razy Q \ razy Q \ do Q \,$ }

${\ Displaystyle T (a, b, c) = a \ cdot b + c \ quad \ forall a, b, c \ w Q}$

Można następnie $,$ spełnia płaskiego pierścienia Związana jest z odpowiadającą mu płaszczyzną rzutową . ${\ displaystyle (Q, T)}$ Zbudowane w ten sposób płaszczyzny rzutowe charakteryzują się następującymi cechami: szczegóły tej zależności podano w Hall (1959) . Płaszczyzna rzutowa jest płaszczyzną translacyjną względem linii w nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek (lub wszystkie) powiązane z nią płaskie pierścienie trójskładnikowe są prawymi quasipolami. Nazywa się to płaszczyzną ścinania , jeśli którykolwiek (lub wszystkie) jej potrójnych pierścieni pozostaje quasipolem.

Płaszczyzna nie określa jednoznacznie pierścienia; wszystkie 4 nieabelowe kwazilaki rzędu 9 są potrójnymi pierścieniami dla unikalnej, niedesarguezjańskiej płaszczyzny translacji rzędu 9. Różnią się one podstawowym czworobokiem użytym do skonstruowania płaszczyzny (patrz Weibel 2007).

Historia

Quasipola nazywano w literaturze przed 1975 rokiem „systemami Veblena-Wedderburna”, ponieważ po raz pierwszy zbadano je w artykule z 1907 roku (Veblen-Wedderburn 1907) autorstwa O. Veblena i J. Wedderburna . Badania quasipól i ich zastosowań w płaszczyznach rzutowych można znaleźć w Hall (1959) i Weibel (2007) .

Hall, Marshall, Jr. (1959), Teoria grup , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215 .
Veblen, O.; Wedderburn, JHM (1907), „Geometria niedesarguezjańska i niepascalowska” (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307/1988781 , JSTOR 1988781
Weibel, Charles (2007), „Przegląd samolotów niedesarguezjańskich” , Zawiadomienia AMS , 54 (10): 1294–1303

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Quasipola autorstwa Hauke Kleina.