Samolot Moufang
W geometrii płaszczyzna Moufanga , nazwana na cześć Ruth Moufang , jest typem płaszczyzny rzutowej , a dokładniej specjalnym typem płaszczyzny translacji . Płaszczyzna translacji to płaszczyzna rzutowa, która ma linię translacji , to znaczy linię z właściwością, że grupa automorfizmów, która ustala każdy punkt linii, działa przechodnio na punkty płaszczyzny, a nie na prostej. Płaszczyzna translacji to Moufang, jeśli każda linia płaszczyzny jest linią translacji.
Charakteryzacje
Płaszczyzna Moufanga może być również opisana jako płaszczyzna rzutowa, w której zachodzi małe twierdzenie Desarguesa . Twierdzenie to stwierdza, że ograniczona postać twierdzenia Desarguesa zachodzi dla każdej linii na płaszczyźnie. Na przykład każda płaszczyzna Desarguesa jest płaszczyzną Moufanga.
W kategoriach algebraicznych płaszczyzna rzutowa na dowolny alternatywny pierścień podziału jest płaszczyzną Moufanga, co daje zgodność 1: 1 między klasami izomorfizmu alternatywnych pierścieni podziału i płaszczyznami Moufanga.
W konsekwencji algebraicznego twierdzenia Artina – Zorna , że każdy skończony alternatywny pierścień podziału jest polem, każda skończona płaszczyzna Moufanga jest desarguesowska, ale niektóre nieskończone płaszczyzny Moufanga są płaszczyznami niedesarguezowskimi . W szczególności płaszczyzna Cayleya , nieskończona płaszczyzna rzutowa Moufanga na oktoniony , jest jedną z nich, ponieważ oktoniony nie tworzą pierścienia podziału.
Nieruchomości
Następujące warunki na płaszczyźnie rzutowej P są równoważne:
- P to samolot Moufang.
- Grupa automorfizmów ustalających wszystkie punkty dowolnej linii działa przechodnio na punkty nie leżące na prostej.
- Jakiś trójskładnikowy pierścień płaszczyzny jest alternatywnym pierścieniem podziału.
- P jest izomorficzne z płaszczyzną rzutową nad alternatywnym pierścieniem podziału.
Również w samolocie Moufang:
- Grupa automorfizmów działa przechodnio na czworokąty.
- Dowolne dwa trójskładnikowe pierścienie płaszczyzny są izomorficzne.
Zobacz też
Notatki
- Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), płaszczyzny rzutowe , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
- Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen (red. Zweite Auflage), Springer-Verlag, ISBN 0-387-07280-2
- Stevenson, Frederick W. (1972), płaszczyzny projekcyjne , WH Freeman & Co., ISBN 0-7167-0443-9
Dalsza lektura
- cycki, Jacques ; Weiss, Richard M. (2002), wielokąty Moufanga , Springer Monographs in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43714-7 , MR 1938841