Wielokąt Moufang

W matematyce wielokąty Moufang są uogólnieniem przez Jacquesa Titsa płaszczyzn Moufang badanych przez Ruth Moufang i są nieredukowalnymi budynkami drugiego rzędu, które dopuszczają działanie grup pierwiastków. W książce na ten temat Cycki i Richard Weiss klasyfikują je wszystkie. Wcześniejsze twierdzenie, udowodnione niezależnie przez Titsa i Weissa, wykazało, że wielokąt Moufanga musi być uogólnionym 3-gonem, 4-gonem, 6-gonem lub 8-gonem, więc celem wspomnianej książki była analiza tych czterech przypadków .

Definicje

Uogólniony 2 n -gon jest grafem dwudzielnym o średnicy n i obwodzie n .
Graf nazywamy grubym, jeśli wszystkie wierzchołki mają wartościowość co najmniej 3.
Pierwiastkiem uogólnionego n -gonu jest ścieżka o długości n .
Apartament uogólnionego n -gonu to cykl o długości 2 n .
Podgrupa pierwiastka pierwiastka to podgrupa automorfizmów grafu, które ustalają wszystkie wierzchołki przylegające do jednego z wewnętrznych wierzchołków pierwiastka.
Moufang n -gon jest grubym uogólnionym n -gonem (z n > 2) takim, że podgrupa pierwiastkowa dowolnego pierwiastka działa przechodnio na apartamenty zawierające pierwiastek.

Mufang 3-gons

Moufang 3-gon można zidentyfikować za pomocą wykresu padania płaszczyzny rzutowej Moufanga . W tej identyfikacji punkty i linie płaszczyzny odpowiadają wierzchołkom budynku. Prawdziwe formy grup Liego dają początek przykładom, które są trzema głównymi typami 3-gonów Moufang. Istnieją cztery algebry dzielenia rzeczywistego : liczby rzeczywiste, liczby zespolone , kwaterniony i oktoniony , o wymiarach odpowiednio 1,2,4 i 8. Płaszczyzna rzutowa na taką algebrę dzielenia daje następnie początek Moufang 3-gon.

Te płaszczyzny rzutowe odpowiadają odpowiednio budynkowi dołączonemu do SL ₃ ( R ), SL ₃ ( C ), rzeczywistej postaci A ₅ i rzeczywistej postaci E ₆ .

Na pierwszym schemacie ^{[ potrzebne wyjaśnienie jaki schemat? ]} zakreślone węzły reprezentują 1-przestrzeń i 2-przestrzeń w trójwymiarowej przestrzeni wektorowej. Na drugim schemacie ^{[ potrzebne doprecyzowanie jaki schemat? ]} zakreślone węzły reprezentują 1-przestrzeń i 2-przestrzenie w 3-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad kwaternionami , które z kolei reprezentują pewne 2-przestrzenie i 4-przestrzenie w 6-wymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej, wyrażone przez zakreślone węzły na schemacie _A5 . Czwarty przypadek — forma E ₆ — jest wyjątkowy, a jego odpowiednik dla Moufang 4-gons jest główną cechą książki Weissa.

Przechodząc od liczb rzeczywistych do dowolnego pola, Moufang 3-gons można podzielić na trzy przypadki, jak powyżej. Podzielony przypadek na pierwszym diagramie istnieje na dowolnym polu. Drugi przypadek obejmuje wszystkie asocjacyjne, nieprzemienne algebry dzielenia; w liczbach rzeczywistych są one ograniczone do algebry kwaternionów, która ma stopień 2 (i wymiar 4), ale niektóre dziedziny dopuszczają algebry z podziałem centralnym innych stopni. Trzeci przypadek dotyczy „alternatywnych” algebr dzielenia (które spełniają osłabioną postać prawa asocjacji), a twierdzenie Richarda Brucka i Erwina Kleinfelda pokazuje, że są to algebry Cayleya-Dicksona. To kończy dyskusję o Moufang 3-gons.

Mufang 4-gon

Czterokąty Moufang są również nazywane czworokątami Moufang. Klasyfikacja Moufang 4-gons była najtrudniejsza ze wszystkich, a kiedy zaczęli ją rozpisywać Tits i Weiss, powstał niezauważony dotąd typ, wywodzący się z grup typu F4. Można je podzielić na trzy klasy:

(i) Te, które wywodzą się z grup klasycznych.
(ii) Te wynikające z „grup mieszanych” (w których występują dwa pola niedoskonałe o charakterystyce 2, K i L, z K2 ⊂ L ⊂ K).
(iii) Te wynikające z algebr czworokątnych.

Występuje tutaj pewne nakładanie się, w tym sensie, że niektóre klasyczne grupy wynikające z przestrzeni pseudokwadratowych można uzyskać z algebr czworokątnych (które Weiss nazywa specjalnymi), ale są też inne, niespecjalne. Najważniejsze z nich wynikają z grup algebraicznych typów E6, E7 i E8. Są to k-formy grup algebraicznych należących do diagramów: E6 E7 E8. E6 istnieje na liczbach rzeczywistych, chociaż E7 i E8 nie. Weiss nazywa algebry czworokątne we wszystkich tych przypadkach Weiss regularnymi, ale nie specjalnymi. Istnieje jeszcze inny typ, który nazywa wadliwym, wynikający z grup typu F4. Są to najbardziej egzotyczne ze wszystkich - obejmują czysto nierozłączne rozszerzenia pola w charakterystyce 2 - a Weiss odkrył je dopiero podczas wspólnej pracy z cyckami nad klasyfikacją 4-gonów Moufang, badając dziwną lukę, która nie powinna była istnieć, ale istniała.

Klasyfikacja Moufang 4-gons dokonana przez Titsa i Weissa jest powiązana z ich intrygującą monografią na dwa sposoby. Jednym z nich jest to, że użycie algebr czworokątnych skraca niektóre znane wcześniej metody. Po drugie, koncepcja ta jest analogiczna do algebr octonionowych i kwadratowych algebr Jordana stopnia 3, które dają początek Moufangowi 3-gonowemu i 6-gonowemu.

W rzeczywistości wszystkie wyjątkowe płaszczyzny, czworokąty i sześciokąty Moufanga, które nie wynikają z „grup mieszanych” (o charakterystyce 2 dla czworokątów lub charakterystyce 3 dla sześciokątów), pochodzą z oktonionów, algebr czworokątnych lub algebr Jordana .

Mufang 6-gon

Sześciokąty Moufang są również nazywane sześciokątami Moufang. Klasyfikacja Moufang 6-gons została podana przez Tits, chociaż szczegóły pozostały nieudowodnione aż do wspólnej pracy z Weissem nad Moufang Polygons.

Mufang 8-gon

Moufang 8-gon są również nazywane ośmiokątami Moufang. Zostały one sklasyfikowane według cycków, gdzie wykazał, że wszystkie wywodzą się z grup Ree typu ² F ₄ .

Algebry czworokątne

Potencjalnym zastosowaniem algebr czworokątnych jest analiza dwóch otwartych pytań. Jedną z nich jest hipoteza Knesera-Titsa, która dotyczy pełnej grupy przekształceń liniowych budynku (np. GL _n ) wyodrębnionych przez podgrupę generowaną przez grupy pierwiastków (np. SL _n ).

Hipoteza została udowodniona dla wszystkich budynków Moufang z wyjątkiem 6-kątów i 4-kątów typu E8, w którym to przypadku zakłada się, że grupa przekształceń liniowych jest równa podgrupie utworzonej przez grupy pierwiastkowe. W przypadku sześciokątów E8 można to przeformułować jako pytanie dotyczące kwadratowych algebr Jordana, aw przypadku czworokątów E8 można je teraz przeformułować w kategoriach algebr czworokątnych.

Kolejne otwarte pytanie dotyczące czworokąta E8 dotyczy pól, które są kompletne w odniesieniu do wartościowania dyskretnego: czy w takich przypadkach istnieje budynek afiniczny, który daje czworokąt jako swoją strukturę w nieskończoności?

Zobacz też

Uwagi i odniesienia

Dalsza lektura

Cycki, Jacques (1966). „Klasyfikacja algebraicznych grup półprostych”. W Borel, Armand; Mostow, George D. (red.). Grupy algebraiczne i podgrupy nieciągłe . Materiały z sympozjów z matematyki czystej. Tom. 9. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 33–62. ISBN 0821814095 . OCLC 869830680 .