Uogólniony wielokąt

Podzielony sześciokąt Cayleya rzędu 2

W matematyce uogólniony wielokąt jest strukturą incydencyjną wprowadzoną przez Jacquesa Titsa w 1959 roku. Uogólnione n -kąty obejmują jako przypadki szczególne płaszczyzny rzutowe (trójkąty uogólnione, n = 3) i uogólnione czworokąty ( n = 4). Wiele wielokątów uogólnionych powstaje z grup typu Liego , ale są też wielokąty egzotyczne, których nie można otrzymać w ten sposób. Uogólnione wielokąty spełniające warunek techniczny znany jako Moufang nieruchomości zostały całkowicie sklasyfikowane przez Titsa i Weissa. Każdy uogólniony n -gon z n parzystym jest również bliskim wielokątem .

Definicja

Uogólniony 2 -kąt (lub dwukąt) to struktura incydencyjna z co najmniej 2 punktami i 2 prostymi, gdzie każdy punkt jest incydentny z każdą prostą.

Dla $}$ ${\ Displaystyle P$ uogólniony n -gon jest strukturą występowania ( ), gdzie jest zbiorem punktów $, L, I }$ , ${\ Displaystyle L}$ jest zbiorem linii i jest relacją częstości występowania , taką, że: ${\ Displaystyle I \ subseteq P \ razy L}$

Jest to częściowa przestrzeń liniowa .
Nie ma zwykłych m -gonów jako podgeometrii dla ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik m <n}$ .
Ma zwykły n -gon jako podgeometrię.
Dla każdego ${\ Displaystyle \ {A_ {1}, A_ {2} \} \ subseteq P \ kubek L}$ istnieje podgeometria ( $P', L', I'$ ) izomorficzny ze zwykłym n -gonem takim, że ${\ Displaystyle \ {A_ {1}, A_ {2} \} \ subseteq P '\ kubek L'}$ .

Równoważnym, ale czasami prostszym sposobem wyrażenia tych warunków jest: rozważ $wierzchołków$ wykres padania ze zbiorem krawędziami łączącymi incydentalne pary punktów i linii

Obwód wykresu padania jest dwukrotnie większy od średnicy n wykresu padania.

Z tego powinno być jasne, że wykresy występowania uogólnionych wielokątów są wykresami Moore'a .

Uogólniony wielokąt jest rzędu (s, t), jeśli:

wierzchołki wykresu $s$ odpowiadające elementom mają ten sam stopień s + 1 dla pewnej liczby naturalnej ; innymi słowy, każdy wiersz zawiera dokładnie s + 1 punktów,
$1$ odpowiadające elementom mają ten sam stopień t + dla pewnej liczby naturalnej t ; innymi słowy, każdy punkt leży na dokładnie t + 1 liniach.

Mówimy, że uogólniony wielokąt jest gruby, jeśli każdy punkt (prosta) pokrywa się z co najmniej trzema prostymi (punktami). Wszystkie grube uogólnione wielokąty mają porządek.

Liczba podwójna uogólnionego n -gonu ( $\ styl wyświetlania I}$ to struktura padania z odwróconym pojęciem punktów i linii, a relacją $padania$ relację . Można łatwo wykazać, że jest to znowu uogólniony n -gon.

Przykłady

Wykres częstości uogólnionego dwukąta jest kompletnym grafem dwudzielnym K _{s +1, t +1} .
Dla dowolnego naturalnego n ≥ 3 rozważ granicę zwykłego wielokąta o n bokach. Zadeklaruj, że wierzchołki wielokąta będą punktami, a boki prostymi, z włączeniem zestawu jako relacją padania. Powoduje to uogólniony n -gon z s = t = 1.
Dla każdej grupy Lie typu G rangi 2 jest skojarzony uogólniony n -gon X z n równym 3, 4, 6 lub 8, takim, że G działa przechodnio na zbiorze flag X . W przypadku skończonym, dla n=6 , otrzymujemy sześciokąt Split Cayley rzędu ( q , q ) dla G ₂ ( q ) i skręcony sześciokąt próbny rzędu ( q ³ , q ) dla ³ D ₄ ( q ³ ) , a dla n=8 otrzymujemy ośmiokąt Ree-Titsa rzędu ( q , q ² ) dla ² F ₄ ( q ) z q = 2 ^{· 2 n +1} . Aż do dualności są to jedyne znane grube skończone uogólnione sześciokąty lub ośmiokąty.

Ograniczenie parametrów

Walter Feit i Graham Higman udowodnili, że skończone uogólnione n -kąty rzędu ( s , t ) z s ≥ 2, t ≥ 2 mogą istnieć tylko dla następujących wartości n :

2, 3, 4, 6 lub 8. Kolejny dowód na wynik Feita-Higmana podali Kilmoyer i Solomon.

Uogólnione „n”-kąty dla tych wartości są określane jako uogólnione dwukąty, trójkąty, czworokąty, sześciokąty i ośmiokąty.

Kiedy twierdzenie Feita-Higmana połączymy z nierównościami Haemersa-Roosa, otrzymamy następujące ograniczenia:

Jeśli n = 2, wykres częstości występowania jest pełnym wykresem dwudzielnym, a zatem „s”, „t” mogą być dowolnymi liczbami całkowitymi.
Jeśli n = 3, struktura jest skończoną płaszczyzną rzutową , a s = t .
Jeśli n = 4, struktura jest skończonym uogólnionym czworokątem , a t ^1/2 ≤ s ≤ t ² .
Jeśli n = 6, to st jest kwadratem i t ^1/3 ≤ s ≤ t ³ .
Jeśli n = 8, to 2. jest kwadratem, a t ^1/2 ≤ s ≤ t ² .
Jeśli s lub t może wynosić 1, a struktura nie jest zwykłym n -gonem, to poza wymienionymi już wartościami n , możliwe może być tylko n = 12.

Każdy znany skończony uogólniony sześciokąt rzędu ( s , t ) dla s , t > 1 ma porządek

( q , q ): podzielone sześciokąty Cayleya i ich liczby podwójne,
( q ³ , q ): skręcony sześciokąt trójkowy, lub
( q , q ³ ): podwójnie skręcony sześciokąt trójkowy,

gdzie q jest potęgą pierwszą.

Każdy znany skończony uogólniony ośmiokąt rzędu ( s , t ) dla s , t > 1 ma porządek

( q , q ² ): ośmiokąt Ree-Tits lub
( q ² , q ): podwójny ośmiokąt Ree-Tits,

gdzie q jest nieparzystą potęgą liczby 2.

Półskończone uogólnione wielokąty

Jeśli s i t są zarówno nieskończone, to uogólnione wielokąty istnieją dla każdego n większego lub równego 2. Nie wiadomo, czy istnieją uogólnione wielokąty, których jeden z parametrów jest skończony (i większy niż 1 ), a drugi nieskończony (te przypadki są zwany półskończonym ). Peter Cameron udowodnił nieistnienie półskończonych uogólnionych czworokątów z trzema punktami na każdej prostej, podczas gdy Andries Brouwer i Bill Kantor niezależnie udowodnili przypadek czterech punktów na każdej linii. Wynik nieistnienia dla pięciu punktów na każdej linii został udowodniony przez G. Cherlina za pomocą teorii modeli . Żadne takie wyniki nie są znane bez dalszych założeń dla uogólnionych sześciokątów lub ośmiokątów, nawet dla najmniejszego przypadku trzech punktów na każdej linii.

Zastosowania kombinatoryczne

Jak wspomniano wcześniej, wykresy występowania uogólnionych wielokątów mają ważne właściwości. Na przykład każdy uogólniony n -gon rzędu (s,s) jest klatką (s+1,2n) . Są one również związane z grafami ekspandera , ponieważ mają dobre właściwości rozszerzania. Z uogólnionych wielokątów uzyskuje się kilka klas ekstremalnych grafów ekspandera. W teorii Ramseya grafy skonstruowane przy użyciu uogólnionych wielokątów dają nam jedne z najlepiej znanych konstruktywnych dolnych granic liczb Ramseya poza przekątną.

Zobacz też

Godsil, Chris ; Royle, Gordon (2001), Algebraic Graph Theory , Graduate Texts in Mathematics, tom. 207, Nowy Jork: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4613-0163-9 , ISBN 978-0-387-95220-8 , MR 1829620 .
Feit, Walter ; Higman, Graham (1964), „Nieistnienie pewnych uogólnionych wielokątów”, Journal of Algebra , 1 (2): 114–131, doi : 10.1016/0021-8693 (64) 90028-6 , MR 0170955 .

Haemers, WH; Roos, C. (1981), „Nierówność dla uogólnionych sześciokątów”, Geometriae Dedicata , 10 (1–4): 219–222, doi : 10.1007 / BF01447425 , MR 0608143 .

Kantor, WM (1986). „Uogólnione wielokąty, SCAB i GAB”. Budynki i geometria diagramów . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 1181. Springer-Verlag, Berlin. s. 79–158. CiteSeerX 10.1.1.74.3986 . doi : 10.1007/BFb0075513 . ISBN 978-3-540-16466-1 .
Kilmoyer, Robert; Solomon, Louis (1973), „O twierdzeniu Feita-Higmana”, Journal of Combinatorial Theory , seria A , 15 (3): 310–322, doi : 10.1016/0097-3165 (73) 90076-9 , MR 0357157
Van Maldeghem, Hendrik (1998), Uogólnione wielokąty , Monografie z matematyki, tom. 93, Bazylea: Birkäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-0348-0271-0 , ISBN 978-3-7643-5864-8 , MR 1725957 .
Stanton, Dennis (1983), „Uogólnione n -gony i wielomiany Czebyczewa”, Journal of Combinatorial Theory , Seria A , 34 (1): 15–27, doi : 10.1016 / 0097-3165 (83) 90036-5 , MR 0685208 .
cycki, Jacques ; Weiss, Richard M. (2002), Wielokąty Moufanga , Springer Monographs in Mathematics , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-43714-7 , MR 1938841 .