Lista skończonych grup prostych

W matematyce klasyfikacja skończonych grup prostych stwierdza, że ​​każda skończona grupa prosta jest cykliczna lub naprzemienna , albo należy do jednej z 16 rodzin grup typu Lie , albo do jednej z 26 grup sporadycznych .

Poniższa lista zawiera wszystkie skończone grupy proste, wraz z ich kolejnością , wielkością mnożnika Schura , wielkością zewnętrznej grupy automorfizmów , zazwyczaj małymi reprezentacjami i listami wszystkich duplikatów.

Streszczenie

Poniższa tabela zawiera pełną listę 18 rodzin skończonych grup prostych i 26 sporadycznych grup prostych, wraz z ich rzędami. Wymienieni są wszyscy nieprosti członkowie każdej rodziny, a także wszyscy członkowie zduplikowani w obrębie rodziny lub między rodzinami. (Przy usuwaniu duplikatów warto zauważyć, że żadne dwie skończone grupy proste nie mają tego samego rzędu, z wyjątkiem tego, że grupa A 8 ₌ A 3 ₍ 2) i A ₂ (4) mają rząd 20160, a grupa B _n ( q ) ma taki sam rząd jak C _n ( q ) dla q nieparzyste, n > 2. Najmniejszą z ostatnich par grup są B ₃ (3) i C ₃ (3), które mają rząd 4585351680.)

Występuje niefortunny konflikt między zapisami dla naprzemiennych grup A _n i grup typu Liego A _n ( q ). Niektórzy autorzy używają różnych czcionek dla An, _aby je rozróżnić. W szczególności w tym artykule dokonujemy rozróżnienia, ustawiając naprzemienne grupy An _czcionką rzymską i grupy typu Lie A _n ( q ) kursywą.

Poniżej n jest dodatnią liczbą całkowitą, a q jest dodatnią potęgą liczby pierwszej p , z podanymi ograniczeniami. Notacja ( a , b ) reprezentuje największy wspólny dzielnik liczb całkowitych aib .

Klasa	Rodzina	Zamówienie	Wykluczenia	Duplikaty
Grupy cykliczne	Z str	P	Nic	Nic
Grupy naprzemienne	A n n > 4	${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {2}}}$	Nic	ZA 5 ≃ ZA 1 (4) ≃ ZA 1 (5) ZA 6 ≃ ZA 1 (9) ZA 8 ≃ ZA 3 (2)
Klasyczne grupy Chevalley	A n ( q )	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {{\ Frac {1} {2} }n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	A 1 (2), A 1 (3)	ZA 1 (4) ≃ ZA 1 (5) ≃ ZA 5 ZA 1 (7) ≃ ZA 2 (2) ZA 1 (9) ≃ ZA 6 ZA 3 (2) ≃ ZA 8
	B n ( q ) n > 1	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _{i=1}^{n}\lewo(q^{2i}-1\prawo)}$	B2 ( 2)	B n (2 m ) ≃ C n (2 m ) B 2 (3) ≃ 2 ZA 3 (2 2 )
	do n ( q ) n > 2	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _{i=1}^{n}\lewo(q^{2i}-1\prawo)}$	Nic	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	re n ( q ) n > 3	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n (n-1 )}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1 \Prawidłowy)}$	Nic	Nic
Wyjątkowe grupy Chevalley	mi 6 ( q )	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {36}} {(3, q- 1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Nic	Nic
	mi 7 ( q )	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {63}} {(2, q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}$	Nic	Nic
	mi 8 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {120} \ prod _ {i \ in \ {2,8,12 ,14,18,20,24,30\}}\lewo(q^{i}-1\prawo)}$	Nic	Nic
	fa 4 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {24} \ prod _ {i \ in \ {2,6,8,12 \}} \ lewo ( q^{i}-1\prawo)}$	Nic	Nic
	G 2 ( q )	${\ Displaystyle q ^ {6} \ prod _ {i \ in \ {2,6 \}} \ lewo (q ^ {i} -1 \ Prawidłowy)}$	G 2 (2)	Nic
Klasyczne grupy Steinberga	2 ZA n ( q 2 ) n > 1	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {{\ Frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}- (-1)^{i+1}\prawo)}$	2 za 2 (2 2 )	2 ZA 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 re n ( q 2 ) n > 3	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n (n-1 )}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{ 2i}-1\prawo)}$	Nic	Nic
Wyjątkowe grupy Steinberga	2 mi 6 ( q 2 )	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {36}} {( 3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right )}$	Nic	Nic
	3 re 4 ( q 3 )	${\ Displaystyle q ^ {12} \ lewo (q ^ {8} + q ^ {4} + 1 \ prawo) \left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$	Nic	Nic
grupy Suzuki	2 b 2 ( q ) q = 2 2 n +1 n ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {2} \ lewo (q ^ {2} + 1 \ prawo) \ lewo (q-1 \ prawo)}$	Nic	Nic
Grupy ree + grupa cycków	2 fa 4 ( q ) q = 2 2 n +1 n ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {12} \ lewo (q ^ {6} + 1 \ prawo) \ lewo (q ^{4}-1\prawo)\lewo(q^{3}+1\prawo)\lewo(q-1\prawo)}$	Nic	Nic
	2 F 4 (2) ′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 − 1)(2 3 + 1)(2 − 1)/2 = 17 971 200
	2 sol 2 ( q ) q = 3 2 n +1 n ≥ 1	${\ Displaystyle q ^ {3} \ lewo (q ^ {3} + 1 \ prawo) \ lewo (q-1 \ prawo)}$	Nic	Nic
grupy Mathieu	M 11	7920
	M 12	95 040
	M 22	443 520
	M 23	10 200 960
	M 24	244 823 040
grupy Janka	J 1	175 560
	J 2	604 800
	J 3	50 232 960
	J 4	86 775 571 046 077 562 880
grupy Conwaya	Co 3	495 766 656 000
	Co 2	42 305 421 312 000
	Co 1	4 157 776 806 543 360 000
grupy Fischera	fi 22	64 561 751 654 400
	fi 23	4 089 470 473 293 004 800
	fi 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
Grupa Higman-Sims	HS	44 352 000
zespół McLaughlina	McL	898 128 000
Trzymana grupa	On	4 030 387 200
grupa Rudvalisa	ru	145 926 144 000
Sporadyczna grupa Suzuki	Suz	448 345 497 600
Grupa O’Nan	NA	460 815 505 920
Grupa Harada-Norton	HN	273 030 912 000 000
Grupa Lyons	Ly	51 765 179 004 000 000
grupa Thompsona	Cz	90 745 943 887 872 000
Grupa Małych Potworów	B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Grupa potworów	M	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Grupy cykliczne , Z _p

Prostota: Prosta dla p liczby pierwszej.

Zamówienie: str

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: cykliczny porządek p - 1.

Inne nazwy: Z/ p Z, C _p

Uwagi: Są to jedyne proste grupy, które nie są doskonałe .

Naprzemienne grupy , An _, n > 4

Prostota: rozwiązywalna dla n <5, poza tym prosta.

Porządek: n !/2 gdy n > 1.

Mnożnik Schura: 2 dla n = 5 lub n > 7, 6 dla n = 6 lub 7; patrz Omówienie grup grup naprzemiennych i symetrycznych

Zewnętrzna grupa automorfizmów: Ogólnie 2. Wyjątki: dla n = 1, n = 2 jest trywialny, a dla n = 6 ma rząd 4 (elementarny abel).

Inne nazwy: Alt _n .

Izomorfizmy: A ₁ i A ₂ są trywialne. A ₃ jest cykliczny rzędu 3. A ₄ jest izomorficzny z A ₁ (3) (rozwiązywalny). A ₅ jest izomorficzne z A ₁ (4) i z A ₁ (5). A6 _{jest izomorficzne} z A1 (9) i z grupą pochodną B2 ₍ 2)′. A ₈ jest izomorficzne z A ₃ (2).

Uwagi: Podgrupa o indeksie 2 symetrycznej grupy permutacji n punktów, gdy n > 1.

Grupy typu Lie

Notacja: n jest dodatnią liczbą całkowitą, q > 1 jest potęgą liczby pierwszej p i jest rzędem jakiegoś leżącego u jej podstaw pola skończonego . Porządek zewnętrznej grupy automorfizmów jest zapisywany jako d ⋅ f ⋅ g , gdzie d jest rzędem grupy „diagonalnych automorfizmów”, f jest rzędem (cyklicznej) grupy „automorfizmów polowych” (generowanych przez Frobeniusa automorfizm ) i g jest rzędem grupy „automorfizmów grafowych” (wywodzących się z automorfizmów diagramu Dynkina ). Zewnętrzna grupa automorfizmów jest często, ale nie zawsze, izomorficzna z iloczynem półbezpośrednim $,$ fa $, F,G}$ są cykliczne odpowiednich rzędów d, f, g , z wyjątkiem typu ${\ Displaystyle D_ {n} (q)}$$Displaystyle C_ {2} \ razy C_ {2}}$ \ $q}$ nieparzyste, gdzie grupa rzędu jest $2 {$$= S_ {3}}$ tylko wtedy, gdy ) $Displaystyle$ symetryczna grupa trzech elementów. Notacja ( a , b ) reprezentuje największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a i b .

Grupy Chevalley , A _n ( q ), B _n ( q ) n > 1, C _n ( q ) n > 2, D _n ( q ) n > 3

	Grupy Chevalleya , An ( q ) grupy liniowe	Grupy Chevalleya , B n ( q ) n > 1 grupy ortogonalne	Grupy Chevalleya , C n ( q ) n > 2 grupy symplektyczne	Grupy Chevalleya , D n ( q ) n > 3 grupy ortogonalne
Prostota	A 1 (2) i A 1 (3) są rozwiązywalne, pozostałe są proste.	B 2 (2) nie jest grupą prostą, ale jej grupa pochodna B 2 (2)′ jest prostą podgrupą o indeksie 2; inne są proste.	Wszystko proste	Wszystko proste
Zamówienie	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {{\ Frac {1} {2} }n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _{i=1}^{n}\lewo(q^{2i}-1\prawo)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n ^ {2}}} {(2, q-1)}} \ prod _{i=1}^{n}\lewo(q^{2i}-1\prawo)}$	${\ Displaystyle {\ Frac {q ^ {n (n-1 )}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1 \Prawidłowy)}$
Mnożnik Schura	Dla prostych grup jest cykliczny rzędu ( n +1, q −1) z wyjątkiem A 1 (4) (rząd 2), A 1 (9) (rząd 6), A 2 (2) (rząd 2), A 2 (4) (rząd 48, iloczyn grup cyklicznych rzędów 3, 4, 4), A 3 (2) (rząd 2).	(2, q −1) z wyjątkiem B 2 (2) = S 6 (rząd 2 dla B 2 (2), rząd 6 dla B 2 (2)′) i B 3 (2) (rząd 2) i B 3 (3) (zamówienie 6).	(2, q −1) z wyjątkiem C 3 (2) (rząd 2).	Rząd to (4, q n −1) (cykliczny dla n nieparzystych, elementarny abel dla n parzystych) z wyjątkiem D 4 (2) (rząd 4, elementarny abel).
Zewnętrzna grupa automorfizmów	(2, q −1)⋅ fa ⋅1 dla n = 1; ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2 dla n > 1, gdzie q = p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1 dla q nieparzystego lub n > 2; (2, q −1)⋅ f ⋅2 dla q parzystego i n = 2, gdzie q = p f	(2, q −1)⋅ fa ⋅1, gdzie q = p fa	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 dla n = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 dla n > 4 parzysty, (4, q n −1)⋅ f ⋅2 dla n nieparzyste, gdzie q = p f , a S 3 jest grupą symetryczną rzędu 3! na 3 punkty.
Inne nazwy	Rzutowe specjalne grupy liniowe , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL ( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (dla q nieparzyste).	Rzutowa grupa symplektyczna, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (niezalecana), S 2 n ( q ), grupa abelowa (archaiczna).	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). „ Grupa hipoabelowa ” to archaiczna nazwa tej grupy w charakterystyce 2.
izomorfizmy	A 1 (2) jest izomorficzne z grupą symetryczną w 3 punktach rzędu 6. A 1 (3) jest izomorficzne z grupą naprzemienną A 4 (rozwiązywalną). Oba A1 ( 4) i A1 (5) są izomorficzne z przemienną grupą A5 . A 1 (7) i A 2 (2) są izomorficzne. A 1 (8) jest izomorficzne z grupą pochodną 2 G 2 (3)′. A 1 (9) jest izomorficzne z A 6 i do grupy pochodnej B2 ( 2)'. A3 (2) jest izomorficzne z A8 .	Bn Cn (2 m ) jest izomorficzne z ( 2 m ) . B2 (2) jest izomorficzna z grupą symetryczną w 6 punktach, a grupa pochodna B2 ( 2 )′ jest izomorficzna z A1 (9) iz A6 . B2 ( 3) jest izomorficzne z 2A3 ( 22 ) .	C n (2 m ) jest izomorficzne z B n (2 m )
Uwagi	Grupy te uzyskuje się z ogólnych grup liniowych GL n +1 ( q ) przez wzięcie elementów wyznacznika 1 (dając specjalne grupy liniowe SL n +1 ( q )), a następnie iloraz przez środek.	Jest to grupa otrzymana z grupy ortogonalnej w wymiarze 2 n + 1 przez wzięcie jądra wyznacznika i mapy norm spinorowych . B 1 ( q ) również istnieje, ale jest tym samym co A 1 ( q ). B 2 ( q ) ma nietrywialny automorfizm grafu, gdy q jest potęgą liczby 2.	Tę grupę otrzymuje się z grupy symplektycznej w 2 n wymiarach przez iloraz środka. C 1 ( q ) również istnieje, ale jest tym samym co A 1 ( q ). C 2 ( q ) również istnieje, ale jest tym samym co B 2 ( q ).	Jest to grupa uzyskana z podzielonej grupy ortogonalnej w wymiarze 2 n przez pobranie jądra wyznacznika (lub niezmiennika Dicksona w charakterystyce 2) i spinorowych map norm, a następnie zabicie środka. Grupy typu D 4 mają niezwykle dużą grupę automorfizmów diagramów rzędu 6, zawierającą automorfizm trialności . D 2 ( q ) również istnieje, ale jest tym samym co A 1 ( q )× A 1 ( q ). D 3 ( q ) również istnieje, ale jest tym samym co A 3 ( q ).

Grupy Chevalley , E ₆ ( q ), E ₇ ( q ), E ₈ ( q ), F ₄ ( q ), G ₂ ( q )

	Grupy Chevalleya , E 6 ( q )	Grupy Chevalley , E 7 ( q )	Grupy Chevalley , E 8 ( q )	Grupy Chevalleya , F 4 ( q )	Grupy Chevalleya , G 2 ( q )
Prostota	Wszystko proste	Wszystko proste	Wszystko proste	Wszystko proste	G 2 (2) nie jest prostą, ale jej grupa pochodna G 2 (2)′ jest prostą podgrupą o indeksie 2; inne są proste.
Zamówienie	q 36 ( q 12 −1) ( q 9 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 5 −1) ( q 2 −1)/(3, q −1)	q 63 ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 10 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)/(2, q − 1)	q 120 ( q 30 −1) ( q 24 −1) ( q 20 −1) ( q 18 −1) ( q 14 −1) ( q 12 −1) ( q 8 −1) ( q 2 −1)	q 24 ( q 12 −1) ( q 8 −1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)	q 6 ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Mnożnik Schura	(3, q -1)	(2, q -1)	Trywialny	Trywialne z wyjątkiem F 4 (2) (kolejność 2)	Trywialne dla prostych grup z wyjątkiem G 2 (3) (rząd 3) i G 2 (4) (rząd 2)
Zewnętrzna grupa automorfizmów	(3, q −1)⋅ fa ⋅2, gdzie q = p fa	(2, q −1)⋅ fa ⋅1, gdzie q = p fa	1⋅ fa ⋅1, gdzie q = p fa	1⋅ f ⋅1 dla q nieparzystego, 1⋅ f ⋅2 dla q parzystego, gdzie q = p f	1⋅ f ⋅1 dla q nie potęgi 3, 1⋅ f ⋅2 dla q potęgi 3, gdzie q = p f
Inne nazwy	Wyjątkowa grupa Chevalley	Wyjątkowa grupa Chevalley	Wyjątkowa grupa Chevalley	Wyjątkowa grupa Chevalley	Wyjątkowa grupa Chevalley
izomorfizmy					Grupa pochodna G2 ( 2 )′ jest izomorficzna z 2A2 ( 32 ) .
Uwagi	Ma dwie reprezentacje wymiaru 27 i działa na algebrze Liego wymiaru 78.	Ma reprezentacje wymiaru 56 i działa na odpowiedniej algebrze Liego o wymiarze 133.	Działa na odpowiedniej algebrze Liego o wymiarze 248. E 8 (3) zawiera grupę prostą Thompsona.	Grupy te działają na 27-wymiarowych wyjątkowych algebrach Jordana , co daje im 26-wymiarowe reprezentacje. Działają również na odpowiednich algebrach Liego o wymiarze 52. F 4 ( q ) ma nietrywialny automorfizm grafu, gdy q jest potęgą liczby 2.	Grupy te są grupami automorfizmów 8-wymiarowych algebr Cayleya na polach skończonych, co daje im 7-wymiarowe reprezentacje. Działają również na odpowiednich algebrach Liego o wymiarze 14. G 2 ( q ) ma nietrywialny automorfizm grafu, gdy q jest potęgą 3. Ponadto pojawiają się jako grupy automorfizmów pewnych geometrii linii punktowych, zwanych podzielonymi uogólnionymi sześciokątami Cayleya .

grupy Steinberga , ² A _n ( q ² ) n > 1, ² D _n ( q ² ) n > 3, ² mi ₆ ( q ² ), ³ re ₄ ( q ³ )

	Grupy Steinberga , 2 A n ( q 2 ) n > 1 grupy unitarne	Grupy Steinberga , 2 D n ( q 2 ) n > 3 grupy ortogonalne	grupy Steinberga , 2 E 6 ( q 2 )	grupy Steinberga , 3 D 4 ( q 3 )
Prostota	2 A 2 (2 2 ) jest rozwiązywalne, pozostałe są proste.	Wszystko proste	Wszystko proste	Wszystko proste
Zamówienie	${\ Displaystyle {1 \ ponad (n + 1, q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(- 1)^{i+1}\prawo)}$	${\ Displaystyle {1 \ ponad (4, q ^ {n }+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right )}$	q 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 +1)( q 2 −1)/(3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1) ( q 6 −1) ( q 2 −1)
Mnożnik Schura	Cykliczność rzędu ( n +1, q +1) dla grup prostych, z wyjątkiem 2 A 3 (2 2 ) (rząd 2), 2 A 3 (3 2 ) (rząd 36, iloczyn grup cyklicznych rzędów 3, 3,4), 2 A 5 (2 2 ) (rząd 12, iloczyn grup cyklicznych rzędów 2,2,3)	Cykl porządku (4, q n +1)	(3, q +1) oprócz 2 E 6 (2 2 ) (rząd 12, iloczyn grup cyklicznych rzędów 2,2,3).	Trywialny
Zewnętrzna grupa automorfizmów	( n +1, q +1)⋅ fa ⋅1, gdzie q 2 = p f	(4, q n +1)⋅ fa ⋅1, gdzie q 2 = p fa	(3, q +1)⋅ fa ⋅1, gdzie q 2 = p fa	1⋅ fa ⋅1, gdzie q 3 = p fa
Inne nazwy	Grupa Twisted Chevalley, rzutowa specjalna grupa unitarna, PSU n +1 ( q ), PSU ( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n − ( q ), PΩ 2 n − ( q ), skręcona grupa Chevalleya. „Grupa hipoabelowa” to archaiczna nazwa tej grupy w charakterystyce 2.	2 E 6 ( q ), pokręcona grupa Chevalley	3 re 4 ( q ), re 4 2 ( q 3 ), grupy Twisted Chevalley
izomorfizmy	Rozwiązywalna grupa 2 A 2 (2 2 ) jest izomorficzna z przedłużeniem grupy kwaternionów rzędu 8 przez elementarną grupę abelową rzędu 9. 2 A 2 (3 2 ) jest izomorficzna z grupą pochodną G 2 (2)'. 2 A 3 (2 2 ) jest izomorficzne z B 2 (3).
Uwagi	Uzyskuje się to z grupy unitarnej w wymiarach n + 1, biorąc podgrupę elementów wyznacznika 1, a następnie ilorazując przez środek.	Jest to grupa uzyskana z nierozdzielonej grupy ortogonalnej w wymiarze 2 n przez pobranie jądra wyznacznika (lub niezmiennika Dicksona w charakterystyce 2) i spinorowych map norm, a następnie zabicie środka. 2 D 2 ( q 2 ) również istnieje, ale jest tym samym co A 1 ( q 2 ). 2 D 3 ( q 2 ) również istnieje, ale jest tym samym co 2 A 3 ( q 2 ).	Jedna z wyjątkowych podwójnych osłon 2 E 6 (2 2 ) jest podgrupą grupy małych potworów, a wyjątkowym centralnym przedłużeniem elementarnej grupy abelowej rzędu 4 jest podgrupa grupy potworów.	3 D 4 (2 3 ) działa na unikalną, parzystą 26-wymiarową siatkę wyznacznika 3 bez pierwiastków.

Grupy Suzuki , ² B ₂ ( 2 ^{2 n +1} )

Prostota: Prosta dla n ≥ 1. Grupa ² B ₂ (2) jest rozwiązywalna.

Rząd: q ² ( q ² + 1) ( q - 1), gdzie q = 2 ^{2 n +1} .

Mnożnik Schura: trywialny dla n ≠ 1, elementarny abelowy rzędu 4 dla ² B ₂ (8).

Zewnętrzna grupa automorfizmów:

1⋅ fa ⋅1,

gdzie f = 2 n + 1.

Inne nazwy: Suz(2 ^{2 n +1} ), Sz(2 ^{2 n +1} ).

Izomorfizmy: ² B ₂ (2) to grupa Frobeniusa rzędu 20.

Uwagi: Grupy Suzuki to grupy Zassenhausa działające na zbiorach o wielkości (2 ^{2 n +1} ) ² + 1 i posiadające 4-wymiarowe reprezentacje na polu z 2 ^{2 n +1} elementami. Są to jedyne niecykliczne grupy proste, których kolejność nie jest podzielna przez 3. Nie są spokrewnione ze sporadyczną grupą Suzuki.

Grupy Ree i grupa cycków , ² F ₄ (2 ^{2 n +1} )

Prostota: prosta dla n ≥ 1. Grupa pochodna ² F ₄ (2)′ jest grupą prostą o indeksie 2 w ² F ₄ (2) i nosi nazwę grupy cycków , nazwanej na cześć belgijskiego matematyka Jacquesa Titsa .

Rząd: q ¹² ( q ⁶ + 1) ( q ⁴ - 1) ( q ³ + 1) ( q - 1), gdzie q = 2 ^{2 n +1} .

Grupa cycków ma rząd 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Mnożnik Schura: Trywialny dla n ≥ 1 i dla grupy cycków.

Zewnętrzna grupa automorfizmów:

1⋅ fa ⋅1,

gdzie f = 2 n + 1. Rząd 2 dla grupy cycków.

Uwagi: W przeciwieństwie do innych prostych grup typu Lie, grupa cycków nie ma pary BN , chociaż jej grupa automorfizmów ją posiada, więc większość autorów uważa ją za swego rodzaju grupę honorową typu Lie.

Ree grupy , ² G ₂ (3 ^{2 n +1} )

Prostota: Prosta dla n ≥ 1. Grupa ² G ₂ (3) nie jest prosta, ale jej grupa pochodna ² G ₂ (3)′ jest prostą podgrupą o indeksie 3.

Rząd: q ³ ( q ³ + 1) ( q − 1), gdzie q = 3 ^{2 n +1}

Mnożnik Schura: Trywialny dla n ≥ 1 i dla ² G ₂ (3) ′.

Zewnętrzna grupa automorfizmów:

1⋅ fa ⋅1,

gdzie f = 2 n + 1.

Inne nazwy: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) .

Izomorfizmy: Grupa pochodna ² G ₂ (3)′ jest izomorficzna z A ₁ (8).

Uwagi: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) ma podwójnie przechodnią permutację na 3 ^{3(2 n +1)} + 1 punktach i działa na 7-wymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem o 3 ^{2 n +1} elementach.

Sporadyczne grupy

Grupy Mathieu , M ₁₁ , M ₁₂ , M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄

	Grupa Mathieu, M 11	Grupa Mathieu, M 12	Grupa Mathieu, M 22	Grupa Mathieu, M 23	Grupa Mathieu, M 24
Zamówienie	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Mnożnik Schura	Trywialny	Zamówienie 2	Cykl zleceń 12	Trywialny	Trywialny
Zewnętrzna grupa automorfizmów	Trywialny	Zamówienie 2	Zamówienie 2	Trywialny	Trywialny
Uwagi	4-przechodnia grupa permutacji w 11 punktach i jest stabilizatorem punktowym M 12 (w 5-przechodniej 12-punktowej reprezentacji permutacji M 12 ). Grupa M11 jest również zawarta w M23 . Podgrupa M11 ustalająca punkt w 4-przechodniej 11-punktowej reprezentacji permutacji jest czasami nazywana M10 i ma podgrupę o indeksie 2 izomorficzną z grupą przemienną A6 .	Grupa permutacji 5-przechodnich w 12 punktach, zawarta w M 24 .	3-przechodnia grupa permutacji w 22 punktach i jest stabilizatorem punktowym M 23 (w 4-przechodniej 23-punktowej reprezentacji permutacji M 23 ). Podgrupa M 22 ustalająca punkt w 3-przechodniej 22-punktowej reprezentacji permutacyjnej jest czasami nazywana M 21 i jest izomorficzna z PSL(3,4) (tj. izomorficzna z A 2 (4)).	4-przechodnia grupa permutacji w 23 punktach i jest stabilizatorem punktowym M 24 (w 5-przechodniej 24-punktowej reprezentacji permutacji M 24 ).	5-przechodnia grupa permutacji w 24 punktach.

Grupy Janko , J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄

	Grupa Janko, J 1	Grupa Janko, J 2	Grupa Janko, J 3	Grupa Janko, J 4
Zamówienie	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Mnożnik Schura	Trywialny	Zamówienie 2	Zamówienie 3	Trywialny
Zewnętrzna grupa automorfizmów	Trywialny	Zamówienie 2	Zamówienie 2	Trywialny
Inne nazwy	J(1), J(11)	Grupa Hall-Janko, HJ	Grupa Higmana – Janko – McKaya, HJM
Uwagi	Jest to podgrupa G 2 (11), a więc ma 7-wymiarową reprezentację na polu z 11 elementami.	Grupa automorfizmów J 2 :2 z J 2 to grupa automorfizmów grafu rangi 3 na 100 punktach, nazywanego grafem Halla-Janko . Jest to również grupa automorfizmów regularnego bliskiego ośmiokąta, zwana Hall-Janko blisko ośmiokąta. Grupa J 2 jest zawarta w G 2 (4).	J 3 wydaje się nie mieć związku z żadnymi innymi grupami sporadycznymi (ani z czymkolwiek innym). Jego potrójna okładka ma 9-wymiarową jednolitą reprezentację na polu z 4 elementami.	Ma 112-wymiarową reprezentację na polu z 2 elementami.

Grupy Conwaya , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃

	Grupa Conwaya, Co 1	Grupa Conwaya, Co 2	Grupa Conwaya, Co 3
Zamówienie	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Mnożnik Schura	Zamówienie 2	Trywialny	Trywialny
Zewnętrzna grupa automorfizmów	Trywialny	Trywialny	Trywialny
Inne nazwy	·1	·2	·3, C 3
Uwagi	0 Idealne podwójne pokrycie Co z Co 1 to grupa automorfizmów sieci Leecha i jest czasami oznaczana przez ·0.	0 podgrupa spółki ; naprawia wektor normy 4 w sieci Leecha .	0 podgrupa spółki ; naprawia wektor normy 6 w sieci Leecha . Ma podwójnie przechodnią reprezentację permutacji w 276 punktach.

Grupy Fischera , Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ ′

	grupa Fischera, Fi 22	grupa Fischera, Fi 23	grupa Fischera, Fi 24 ′
Zamówienie	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Mnożnik Schura	Zamówienie 6	Trywialny	Zamówienie 3
Zewnętrzna grupa automorfizmów	Zamówienie 2	Trywialny	Zamówienie 2
Inne nazwy	M (22)	M (23)	M (24)′, F 3+
Uwagi	Grupa 3-transpozycyjna, której podwójne pokrycie jest zawarte w Fi 23 .	Grupa 3-transpozycyjna zawarta w Fi 24 ′.	Potrójna osłona jest zawarta w grupie potworów.

Grupa Higman – Sims , HS

Kolejność: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Mnożnik Schura: zamówienie 2.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Uwagi: Działa jako grupa permutacji rangi 3 na wykresie Higmana Simsa ze 100 punktami i jest zawarta w Co ₂ iw Co ₃ .

Grupa McLaughlina , McL

Kolejność: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Mnożnik Schura: zamówienie 3.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Uwagi: Działa jak grupa permutacji rzędu 3 na wykresie McLaughlina z 275 punktami i jest zawarta w Co ₂ iw Co ₃ .

Trzymana grupa , He

Kolejność: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Inne nazwy: grupa Held–Higman–McKay, HHM, F ₇ , HTH

Uwagi: Centralizuje element rzędu 7 w grupie potworów.

Grupa Rudvalis , Ru

Kolejność: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Mnożnik Schura: zamówienie 2.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: Trywialne.

Uwagi: Podwójne pokrycie działa na 28-wymiarową siatkę nad liczbami całkowitymi Gaussa .

Grupa sporadyczna Suzuki , Suz

Kolejność: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Mnożnik Schura: zamówienie 6.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Inne nazwy: Sz

Uwagi: 6-krotna pokrywa działa na 12-wymiarową siatkę nad liczbami całkowitymi Eisensteina . Nie jest powiązany z grupami Suzuki typu Lie.

Grupa O'Nan , O'N

Kolejność: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Mnożnik Schura: zamówienie 3.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Inne nazwy: grupa O'Nan-Sims, O'NS, O-S

Uwagi: Potrójna okładka ma dwie 45-wymiarowe reprezentacje nad polem z 7 elementami, zamienione zewnętrznym automorfizmem.

Grupa Harada – Norton , HN

Kolejność: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: rząd 2.

Inne nazwy: F ₅ , D

Uwagi: Centralizuje element rzędu 5 w grupie potworów.

Grupa Lyons , Ly

Kolejność: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: Trywialne.

Inne nazwy: grupa Lyons–Sims, LyS

Uwagi: Ma 111-wymiarową reprezentację na polu z 5 elementami.

Grupa Thompsona , Th

Kolejność: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmów: Trywialne.

Inne nazwy : F3 _, E

Uwagi: Centralizuje element rzędu 3 w potworze i jest zawarty w E ₈ (3), więc ma 248-wymiarową reprezentację na polu z 3 elementami.

Grupa Baby Monster , B

Zamówienie:

2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Mnożnik Schura: rząd 2.

Zewnętrzna grupa automorfizmu: trywialna.

Inne nazwy _: F2

Uwagi: Podwójna osłona jest zawarta w grupie potworów. Ma reprezentację wymiaru 4371 na liczbach zespolonych (bez nietrywialnego iloczynu niezmiennego) oraz reprezentację wymiaru 4370 na polu z 2 elementami zachowującymi iloczyn przemienny, ale nieasocjacyjny.

Grupa potworów Fischera-Griessa , M

Zamówienie:

2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 6 ^⋅ 11 ^{2 ⋅ 13 3} ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424 794512875886459904961710757005754368000000000

Mnożnik Schura: trywialny.

Zewnętrzna grupa automorfizmu: trywialna.

Inne nazwy: F ₁ , M ₁ , Grupa potworów, Przyjazny olbrzym, Potwór Fischera.

Uwagi: Zawiera wszystkie oprócz 6 innych grup sporadycznych jako podilorazy. Związane z monstrualnym bimberem . Potwór jest grupą automorfizmu 196 883-wymiarowej algebry Griessa i nieskończenie wymiarowej algebry operatora wierzchołków potwora i działa naturalnie na algebrę Liego potwora .

Niecykliczne grupy proste małego rzędu

Zamówienie	Zlecenie faktoryzowane	Grupa	Mnożnik Schura	Zewnętrzna grupa automorfizmów
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	ZA 5 = ZA 1 (4) = ZA 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	ZA 1 (7) = ZA 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	ZA 6 = ZA 1 (9) = B 2 (2)′	6	2×2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	ZA 1 (8) = 2 G 2 (3)′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	1 ( 11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	1 ( 17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	7 _	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	A 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	2 ( 3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 ZA 2 (9) = G 2 (2)′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	1 ( 25)	2	2×2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	M 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	1 ( 27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	1 ( 29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	1 ( 31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	ZA 3 (2) = ZA 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	2 ( 4)	3×4 2	12 _
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	1 ( 37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 ZA 3 (4) = B 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 B 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	1 ( 41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	1 ( 43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	1 ( 47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	1 ( 49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 A 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	1 ( 53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	M 12	2	2

(Wypełnij dla zamówień poniżej 100 000)

Hall (1972) wymienia 56 niecyklicznych prostych grup rzędu mniejszych niż milion.

Zobacz też

• Lista małych grup

Dalsza lektura

•   Proste grupy kłamstw , Roger W. Carter , ISBN 0-471-50683-4
• Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; i Wilson, RA : „ Atlas skończonych grup: maksymalne podgrupy i zwykłe znaki dla prostych grup ”. Oxford, Anglia 1985.
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon Klasyfikacja prostych grup skończonych (tom 1) , AMS, 1994 (tom 3) , AMS, 1998
•    Hall, Marshall Jr. (1972), „Proste grupy rzędu mniejsze niż milion”, Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016/0021-8693 (72) 90090-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0285603
•    Wilson, Robert A. (2009), Skończone proste grupy , Graduate Texts in Mathematics 251, tom. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012
• Atlas reprezentacji grup skończonych : zawiera reprezentacje i inne dane dla wielu prostych grup skończonych, w tym grup sporadycznych.
• Rzędy nieabelowych grup prostych do 10 ¹⁰ i dalej do 10 ⁴⁸ z ograniczeniami co do rangi.

Linki zewnętrzne

• Zamówienia nieabelowych grup prostych do rzędu 10 000 000 000.