Grupa Lyons

W obszarze współczesnej algebry zwanej teorią grup grupa Lyonsa Ly lub grupa Lyonsa-Simsa LyS jest sporadyczną prostą grupą rzędu

2 ⁸ · 3 ⁷ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67

= 51765179004000000

≈ 5 × 10 ¹⁶ .

Historia

Ly jest jedną z 26 sporadycznych grup i została odkryta przez Richarda Lyonsa i Charlesa Simsa w latach 1972-73. Lyons scharakteryzował 51765179004000000 jako unikalny możliwy rząd dowolnej skończonej grupy prostej, w której centralizator pewnej inwolucji jest izomorficzny z nietrywialnym centralnym przedłużeniem naprzemiennej grupy A11 stopnia 11 przez _grupę cykliczną C2 _. Simowie (1973) udowodnił istnienie takiej grupy i jej wyjątkowość aż do izomorfizmu za pomocą połączenia teorii grup permutacji i obliczeń maszynowych.

Kiedy odkryto grupę sporadyczną McLaughlina , zauważono, że centralizator jednej z jej inwolucji był doskonałym podwójnym pokryciem grupy naprzemiennej A ₈ . Sugerowało to rozważenie podwójnych osłon innych naprzemiennych grup An jako _możliwych centralizatorów inwolucji w prostych grupach. Przypadki n ≤ 7 są wykluczone przez twierdzenie Brauera – Suzuki , przypadek n = 8 prowadzi do grupy McLaughlina, przypadek n = 9 został wykluczony przez Zvonimir Janko sam Lyons wykluczył przypadek n = 10 i znalazł grupę Lyonsa dla n = 11, natomiast przypadki n ≥ 12 wykluczyli JG Thompson i Ronald Solomon .

mnożnik Schura , jak i zewnętrzna grupa automorfizmów są trywialne .

Ponieważ 37 i 67 nie są superosobliwymi liczbami pierwszymi, grupa Lyonsa nie może być podilorazem grupy potworów . Jest więc jedną z 6 sporadycznych grup zwanych pariasami .

Reprezentacje

Meyer, Neutsch i Parker (1985) wykazali, że grupa Lyonsa ma modularną reprezentację wymiaru 111 na polu pięciu elementów, co jest najmniejszym wymiarem każdej wiernej reprezentacji liniowej i jest jednym z najłatwiejszych sposobów obliczania z jej pomocą. Dało to również kilka skomplikowanych prezentacji pod względem generatorów i relacji, na przykład te przedstawione przez Simsa (1973) czy Gebhardta (2000) .

Najmniejszą wierną reprezentacją permutacji jest reprezentacja permutacji rangi 5 na 8835156 punktach ze stabilizatorem G ₂ (5). Istnieje również nieco większa reprezentacja permutacji rangi 5 na 9606125 punktach ze stabilizatorem 3.McL:2.

Maksymalne podgrupy

Wilson (1985) znalazł 9 klas koniugacji maksymalnych podgrup Ly w następujący sposób:

G2 ₍ 5)
3.McL:2
5 ³ .PSL ₃ (5)
2.A ₁₁
5 ¹⁺⁴ :4.S ₆
3 ⁵ :(2 × M ₁₁ )
3 ²⁺⁴ :2.A ₅ .D ₈
67:22
37:18

Richard Lyons (1972,5) „Dowody na nową skończoną grupę prostą”, Journal of Algebra 20: 540–569 i 34: 188–189.
Gebhardt, Volker (2000). „Dwie krótkie prezentacje dla sporadycznej, prostej grupy Lyonsa” . Matematyka eksperymentalna . 9 (3): 333–8. doi : 10.1080/10586458.2000.10504410 . S2CID 8361971 .
Meyer, Werner; Neutsch, Wolfram; Parker, Richard (1985), „Minimalna 5-reprezentacja sporadycznej grupy Lyonu”, Mathematische Annalen , 272 (1): 29–39, doi : 10.1007 / BF01455926 , ISSN 0025-5831 , MR 0794089 , S2CID 120696430
Sims, Charles C. (1973), „Istnienie i wyjątkowość grupy Lyonsa”, grupy skończone '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Floryda, 1972) , North-Holland Math. Studia, tom. 7, Amsterdam: Holandia Północna, s. 138–141, MR 0354881
Wilson, Robert A. (1985), „Maksymalne podgrupy grupy Lyons”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 433–436, doi : 10.1017 / S0305004100063003 , ISSN 0305-0041 , MR 0778677 , S2CID 119577612

Linki zewnętrzne