Klasyfikacja skończonych grup prostych

W matematyce klasyfikacja skończonych grup prostych jest wynikiem teorii grup stwierdzającej, że każda skończona grupa prosta jest albo cykliczna , albo naprzemienna , albo należy do szerokiej nieskończonej klasy zwanej grupami typu Liego , albo jest jedną z dwadzieścia sześć lub dwadzieścia siedem wyjątków, zwanych sporadycznymi . Dowód składa się z dziesiątek tysięcy stron w kilkuset artykułach prasowych napisanych przez około 100 autorów, opublikowanych głównie w latach 1955-2004.

Proste grupy mogą być postrzegane jako podstawowe elementy składowe wszystkich grup skończonych , co przypomina sposób, w jaki liczby pierwsze są podstawowymi elementami składowymi liczb naturalnych . Twierdzenie Jordana – Höldera jest dokładniejszym sposobem stwierdzenia tego faktu w odniesieniu do grup skończonych. Jednak znacząca różnica w stosunku do faktoryzacji liczb całkowitych polega na tym, że takie „cegiełki” niekoniecznie określają unikalną grupę, ponieważ może istnieć wiele nieizomorficznych grup o tej samej serii składu lub, innymi słowy, problem rozszerzenia nie ma unikalne rozwiązanie.

Gorenstein (zm. 1992), Lyons i Solomon stopniowo publikują uproszczoną i poprawioną wersję dowodu.

Stwierdzenie twierdzenia klasyfikacyjnego

Twierdzenie — Każda skończona grupa prosta jest izomorficzna z jedną z następujących grup:

członek jednej z trzech nieskończonych klas takich, a mianowicie:
- cykliczne grupy pierwszego rzędu,
- naprzemienne grupy stopnia co najmniej 5,
- grupy typu Lie
jedna z 26 grup zwanych „ grupami sporadycznymi ”
grupa cycków ( która jest czasami uważana za 27. grupę sporadyczną).

Klasyfikacja skończonych grup prostych

Twierdzenie o klasyfikacji ma zastosowanie w wielu gałęziach matematyki, ponieważ pytania dotyczące struktury skończonych grup (i ich działania na inne obiekty matematyczne) można czasami sprowadzić do pytań o skończone grupy proste. Dzięki twierdzeniu klasyfikacyjnemu na takie pytania można czasami odpowiedzieć, sprawdzając każdą rodzinę grup prostych i każdą grupę sporadyczną.

Daniel Gorenstein ogłosił w 1983 r., że wszystkie skończone grupy proste zostały sklasyfikowane, ale było to przedwczesne, ponieważ został źle poinformowany o dowodzie klasyfikacji grup quasitynowych . Ukończony dowód klasyfikacji został ogłoszony przez Aschbachera (2004) po tym, jak Aschbacher i Smith opublikowali 1221-stronicowy dowód brakującego quasithin przypadku.

Przegląd dowodu twierdzenia o klasyfikacji

Gorenstein ( 1982 , 1983 ) napisał dwa tomy przedstawiające niską rangę i dziwną charakterystyczną część dowodu, a Michael Aschbacher , Richard Lyons i Stephen D. Smith et al. ( 2011 ) napisali trzeci tom obejmujący pozostały charakterystyczny 2 przypadek. Dowód można podzielić na kilka głównych części w następujący sposób:

Grupy małe 2-rzędowe

Proste grupy niskiego rzędu 2 to głównie grupy typu Liego o małym stopniu nad polami o nieparzystej charakterystyce, wraz z pięcioma naprzemiennymi i siedmioma grupami charakterystycznymi typu 2 i dziewięcioma grupami sporadycznymi.

Proste grupy małych 2-rzędowych obejmują:

Grupy o 2-rangu 0, innymi słowy grupy nieparzystego rzędu, z których wszystkie można rozwiązać za pomocą twierdzenia Feita – Thompsona .
Grupy 2-rzędowe 1. Podgrupy Sylowa 2 są albo cykliczne, co jest łatwe w obsłudze za pomocą mapy transferu, albo uogólnione kwaterniony , które są obsługiwane za pomocą twierdzenia Brauera – Suzuki : w szczególności nie ma prostych grup 2- ranga 1, z wyjątkiem grupy cyklicznej rzędu drugiego.
Grupy 2-rzędowe 2. Alperin wykazał, że podgrupa Sylow musi być dwuścienna, quasidihedralna, spleciona lub podgrupa Sylow 2 U ₃ (4). W pierwszym przypadku zastosowano twierdzenie Gorensteina-Waltera , które wykazało, że jedyne grupy proste są izomorficzne z L ₂ ( q ) dla q nieparzystej lub A ₇ , w drugim i trzecim przypadku zastosowano twierdzenie Alperina-Brauera-Gorensteina , które implikuje że jedyne grupy proste są izomorficzne z L ₃ ( q ) lub U ₃ ( q ) dla q nieparzyste lub M ₁₁ , a ostatni przypadek został przeprowadzony przez Lyonsa, który wykazał, że U ₃ (4) jest jedyną prostą możliwością.
Grupy przekrojowe 2-rzędowe co najwyżej 4, sklasyfikowane według twierdzenia Gorensteina-Harady .

Klasyfikacja grup o małych rangach 2, zwłaszcza rang najwyżej 2, w dużym stopniu wykorzystuje zwykłą i modułową teorię znaków, która prawie nigdy nie jest bezpośrednio używana w innym miejscu klasyfikacji.

Wszystkie grupy, które nie mają rangi małej 2, można podzielić na dwie główne klasy: grupy typu składowego i grupy typu charakterystycznego 2. Dzieje się tak, ponieważ jeśli grupa ma przekrój 2-rzędowy co najmniej 5, to MacWilliams wykazał, że jej podgrupy Sylowa 2 są połączone, a twierdzenie o równowadze implikuje , że każda prosta grupa z połączonymi podgrupami Sylowa 2 jest albo typu składowego, albo charakterystycznego typu 2 . (Dla grup niskiego rzędu 2 dowód tego załamuje się, ponieważ twierdzenia, takie jak twierdzenie o funktorze sygnalizacyjnym, działają tylko dla grup z elementarnymi podgrupami abelowymi rangi co najmniej 3.)

Grupy typu komponentu

O grupie mówi się, że jest typu składowego, jeśli dla pewnego centralizatora C inwolucji C / O ( C ) ma składową (gdzie O ( C ) jest rdzeniem C , maksymalnej normalnej podgrupy nieparzystego rzędu). Są to mniej więcej grupy typu Liego o dziwacznej charakterystyce dużej rangi i grupy naprzemienne wraz z pewnymi grupami sporadycznymi. Głównym krokiem w tym przypadku jest wyeliminowanie niedrożności rdzenia inwolucji. Osiąga się to za pomocą twierdzenia B , które stwierdza, że każdy składnik C / O ( C ) jest obrazem składnika C.

Pomysł polega na tym, że grupy te mają centralizator inwolucji ze składnikiem, który jest mniejszą grupą quasiprostą, o której można założyć, że jest już znana przez indukcję. Aby więc sklasyfikować te grupy, bierze się każde centralne rozszerzenie każdej znanej skończonej grupy prostej i znajduje wszystkie grupy proste z centralizatorem inwolucji z tym jako składnikiem. Daje to dość dużą liczbę różnych przypadków do sprawdzenia: istnieje nie tylko 26 grup sporadycznych i 16 rodzin grup typu Lie i grup naprzemiennych, ale także wiele grup o małej randze lub o małych polach zachowuje się inaczej niż ogół przypadku i muszą być traktowane oddzielnie, a grupy typu Lie o parzystej i nieparzystej charakterystyce są również całkiem różne.

Grupy charakterystyczne typu 2

Grupa jest typu cechy 2, jeśli uogólniona podgrupa dopasowania F *( Y ) każdej 2-lokalnej podgrupy Y jest grupą 2-osobową. Jak sama nazwa wskazuje, są to z grubsza grupy typu Kłamstwa na polach o charakterystyce 2, plus kilka innych, które są naprzemienne, sporadyczne lub o nieparzystej charakterystyce. Ich klasyfikacja jest podzielona na przypadki małych i dużych rang, gdzie ranga jest największą rangą nieparzystej podgrupy abelowej normalizującej nietrywialną podgrupę 2, która często (ale nie zawsze) jest taka sama jak ranga podalgebry Cartana, gdy grupa jest grupą typu Lie w charakterystyce 2.

Grupy rangi 1 to grupy cienkie, sklasyfikowane przez Aschbachera, a grupy rangi 2 to znane grupy quasitynowe , sklasyfikowane przez Aschbachera i Smitha. Odpowiadają one z grubsza grupom typu Lie rang 1 lub 2 nad polami o charakterystyce 2.

Grupy o randze co najmniej 3 są dalej podzielone na 3 klasy przez twierdzenie o trichotomii , udowodnione przez Aschbachera dla rangi 3 oraz przez Gorensteina i Lyonsa dla rangi co najmniej 4. Te trzy klasy to grupy typu GF (2) (sklasyfikowane głównie przez Timmesfelda ), grupy „typu standardowego” dla jakiejś nieparzystej liczby pierwszej (sklasyfikowane przez twierdzenie Gilmana – Griessa i prace kilku innych) oraz grupy typu unikalności, gdzie wynik Aschbachera implikuje, że nie ma grup prostych. Ogólny przypadek wyższego rzędu składa się głównie z grup typu Kłamstwo nad polami o charakterystyce 2 o randze co najmniej 3 lub 4.

Istnienie i niepowtarzalność grup prostych

Główna część klasyfikacji tworzy charakterystykę każdej prostej grupy. Następnie należy sprawdzić, czy istnieje prosta grupa dla każdej charakterystyki i czy jest ona niepowtarzalna. Daje to dużą liczbę oddzielnych problemów; na przykład oryginalne dowody istnienia i wyjątkowości grupy potworów liczyły łącznie około 200 stron, a identyfikacja grup Ree przez Thompsona i Bombieriego była jedną z najtrudniejszych części klasyfikacji. Wiele dowodów istnienia i niektóre dowody wyjątkowości dla grup sporadycznych pierwotnie wykorzystywały obliczenia komputerowe, z których większość została od tego czasu zastąpiona krótszymi dowodami ręcznymi.

Historia dowodu

programu Gorensteina

W 1972 roku Gorenstein (1979 , Dodatek) ogłosił program dokończenia klasyfikacji skończonych grup prostych, składający się z następujących 16 kroków:

Grupy o niskim 2-ranku. Zostało to zasadniczo zrobione przez Gorensteina i Haradę, którzy sklasyfikowali grupy z najwyżej 4 rangą sekcyjną 2. Większość przypadków z najwyżej 2 rangą została wykonana do czasu, gdy Gorenstein ogłosił swój program.
Półprostość 2-warstw. Problem polega na udowodnieniu, że warstwa 2 centralizatora inwolucji w grupie prostej jest półprosta.
Forma standardowa w nieparzystej charakterystyce. Jeśli grupa ma inwolucję z dwuskładnikową, która jest grupą typu Liego o nieparzystej charakterystyce, celem jest pokazanie, że ma ona centralizator inwolucji w „formie standardowej”, co oznacza, że centralizator inwolucji ma komponent, który jest typu Kłamstwo w charakterystyce nieparzystej, a także posiada centralizator 2-rzędowy 1.
Klasyfikacja grup typu nieparzystego. Problem polega na pokazaniu, że jeśli grupa ma centralizator inwolucji w „formie standardowej”, to jest to grupa typu Liego o nieparzystej charakterystyce. klasyczne twierdzenie Aschbachera o inwolucji .
Forma quasi-standardowa
Inwolucje centralne
Klasyfikacja grup naprzemiennych.
Niektóre sporadyczne grupy
Cienkie grupy. Proste, cienkie grupy skończone , te z 2-lokalnym p -rangiem co najwyżej 1 dla nieparzystych liczb pierwszych p , zostały sklasyfikowane przez Aschbachera w 1978 r.
Grupy z silnie osadzoną podgrupą p dla p nieparzystych
Metoda funktora sygnalizującego dla nieparzystych liczb pierwszych. Głównym problemem jest udowodnienie funktorze sygnalizacyjnym dla nierozwiązywalnych funktorów sygnalizacyjnych. Zostało to rozwiązane przez McBride'a w 1982 roku.
Grupy charakterystycznego typu p . Jest to problem grup z silnie p -osadzoną 2-lokalną podgrupą z p nieparzystymi, którymi zajmował się Aschbacher.
Grupy quasihin. Grupa quasitynowa to taka, której podgrupy 2-lokalne mają rangę p co najwyżej 2 dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p , a problemem jest sklasyfikowanie podgrup prostych typu charakterystycznego 2. Zostało to ukończone przez Aschbachera i Smitha w 2004 roku.
Grupy o niskiej 2-lokalnej 3-randze. Zostało to zasadniczo rozwiązane przez twierdzenie Aschbachera o trychotomii dla grup z e ( G ) = 3. Główna zmiana polega na tym, że 2-lokalny 3-rank został zastąpiony przez 2-lokalny p -rank dla nieparzystych liczb pierwszych.
Centralizatory 3-elementowe w standardowej formie. Zostało to zasadniczo zrobione przez twierdzenie o trychotomii .
Klasyfikacja grup prostych typu charakterystycznego 2. Poradziło sobie z tym twierdzenie Gilmana-Griessa , w którym elementy 3 zastąpiono elementami p dla liczb pierwszych nieparzystych.

Oś czasu dowodu

Wiele pozycji na poniższej liście pochodzi z pracy Solomon (2001) . Podana data jest zwykle datą publikacji pełnego dowodu wyniku, która jest czasem kilka lat późniejsza niż dowód lub pierwsze ogłoszenie wyniku, więc niektóre pozycje pojawiają się w „złej” kolejności.

Data publikacji
1832	Galois wprowadza podgrupy normalne i znajduje proste grupy A _n ( n ≥ 5) i PSL ₂ ( F _p ) ( p ≥ 5)
1854	Cayley definiuje grupy abstrakcyjne
1861	Mathieu opisuje dwie pierwsze grupy Mathieu M ₁₁ , M ₁₂ , pierwsze sporadyczne grupy proste i ogłasza istnienie M ₂₄ .
1870	Jordan wymienia kilka prostych grup: naprzemienne i rzutowe specjalne liniowe i podkreśla znaczenie prostych grup.
1872	Sylow udowadnia twierdzenia Sylowa
1873	Mathieu wprowadza trzy kolejne grupy Mathieu M ₂₂ , M ₂₃ , M ₂₄ .
1892	Hölder udowadnia, że rząd dowolnej nieabelowej skończonej grupy prostej musi być iloczynem co najmniej czterech (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych i prosi o klasyfikację skończonych grup prostych.
1893	Cole klasyfikuje proste grupy rzędu do 660
1896	Frobenius i Burnside rozpoczynają badanie teorii charakterów grup skończonych.
1899	Burnside klasyfikuje proste grupy w taki sposób, że centralizatorem każdej inwolucji jest nietrywialna elementarna abelowa 2-grupa.
1901	Frobenius udowadnia, że grupa Frobeniusa ma jądro Frobeniusa, więc w szczególności nie jest to proste.
1901	Dickson definiuje grupy klasyczne na dowolnych polach skończonych i grupy wyjątkowe typu G ₂ na polach o nieparzystej charakterystyce.
1901	Dickson wprowadza wyjątkowe skończone grupy proste typu E ₆ .
1904	Burnside używa teorii znaków, aby udowodnić twierdzenie Burnside'a , że rząd dowolnej nieabelowej skończonej grupy prostej musi być podzielny przez co najmniej 3 różne liczby pierwsze.
1905	Dickson wprowadza grupy proste typu G ₂ nad polami o parzystej charakterystyce
1911	Burnside przypuszcza, że każda nieabelowa skończona prosta grupa ma parzysty porządek
1928	Hall dowodzi istnienia podgrup Halla grup rozwiązywalnych
1933	Hall rozpoczyna badanie grup p
1935	Brauer rozpoczyna badanie postaci modułowych .
1936	Zassenhaus klasyfikuje skończone ostro 3-przechodnie grupy permutacji
1938	Dopasowanie wprowadza podgrupę Dopasowanie i udowadnia twierdzenie Dopasowania, że dla grup rozwiązywalnych podgrupa Dopasowanie zawiera swój centralizator.
1942	Brauer opisuje modularne postacie grupy podzielnej przez liczbę pierwszą do pierwszej potęgi.
1954	Brauer klasyfikuje proste grupy z GL ₂ ( F _q ) jako centralizatorem inwolucji.
1955	Brauera – Fowlera implikuje, że liczba skończonych grup prostych z danym centralizatorem inwolucji jest skończona, co sugeruje atak na klasyfikację przy użyciu centralizatorów inwolucji.
1955	Chevalley wprowadza grupy Chevalley , _{w szczególności}_{wprowadzając wyjątkowe grupy} proste typu F4 , E7 i E8 _.
1956	Halla -Higmana opisuje możliwości minimalnego wielomianu elementu pierwszego rzędu potęgowego dla reprezentacji grupy p -rozwiązywalnej .
1957	Suzuki pokazuje, że wszystkie skończone proste grupy CA nieparzystego rzędu są cykliczne.
1958	Brauera – Suzuki – Walla charakteryzuje rzutowe specjalne grupy liniowe rzędu 1 i klasyfikuje proste grupy CA.
1959	Steinberg wprowadza grupy Steinberga , dając kilka nowych skończonych grup prostych typu ³ D ₄ i ² E ₆ (te ostatnie zostały niezależnie odkryte mniej więcej w tym samym czasie przez Titsa).
1959	Brauera -Suzuki o grupach z uogólnionymi podgrupami kwaternionów Sylowa 2 pokazuje w szczególności, że żadna z nich nie jest prosta.
1960	Thompson udowadnia, że grupa z automorfizmem rzędu pierwszego bez punktów stałych jest nilpotentna.
1960	Feit, Marshall Hall i Thompson pokazują, że wszystkie skończone proste grupy CN nieparzystego rzędu są cykliczne.
1960	Suzuki wprowadza grupy Suzuki z typami ² B ₂ .
1961	Ree wprowadza grupy Ree z typami ² F ₄ i ² G ₂ .
1963	Feit i Thompson dowodzą twierdzenia o nieparzystym porządku .
1964	Cycki wprowadzają pary BN dla grup typu Lie i znajdują grupę cycków
1965	Gorensteina -Waltera klasyfikuje grupy z dwuścienną podgrupą Sylowa 2.
1966	Glauberman udowadnia twierdzenie Z*
1966	Janko przedstawia grupę Janko J1 , pierwszą nową sporadyczną grupę od około wieku.
1968	Glauberman udowadnia twierdzenie ZJ
1968	Higman i Sims przedstawiają grupę Higman-Sims
1968	Conway przedstawia grupy Conwaya
1969	Twierdzenie Waltera klasyfikuje grupy z abelowymi 2-podgrupami Sylowa
1969	Wprowadzenie grupy sporadycznej Suzuki , grupy Janko J2 , grupy Janko J3 , grupy McLaughlin i grupy Held .
1969	Gorenstein wprowadza funktory sygnalizacyjne oparte na pomysłach Thompsona.
1970	MacWilliams pokazuje, że 2-grupy bez normalnej podgrupy abelowej rangi 3 mają przekrój 2-rzędu co najwyżej 4. (Proste grupy z podgrupami Sylowa spełniającymi ten ostatni warunek zostały później sklasyfikowane przez Gorensteina i Haradę).
1970	Bender wprowadził uogólnioną podgrupę Fitting
1970	Alperina – Brauera – Gorensteina klasyfikuje grupy z quasi-dwuściennymi lub splecionymi 2 podgrupami Sylowa, uzupełniając klasyfikację prostych grup 2-rzędowych co najwyżej 2
1971	Fischer przedstawia trzy grupy Fischera
1971	Thompson klasyfikuje pary kwadratowe
1971	Bender klasyfikuje grupę z silnie osadzoną podgrupą
1972	Gorenstein proponuje 16-stopniowy program klasyfikacji skończonych grup prostych; ostateczna klasyfikacja jest dość ściśle zgodna z jego zarysem.
1972	Lyons przedstawia grupę Lyons
1973	Rudvalis przedstawia grupę Rudvalis
1973	Fischer odkrywa grupę małych potworów (niepublikowana), której Fischer i Griess używają do odkrycia grupy potworów , co z kolei prowadzi Thompsona do sporadycznej grupy Thompsona , a Nortona do grupy Harada – Norton (również znalezionej w inny sposób przez Haradę).
1974	Thompson klasyfikuje N-grupy , grupy, których wszystkie lokalne podgrupy są rozwiązywalne.
1974	Twierdzenie Gorensteina-Harady klasyfikuje proste grupy przekroju 2-rzędowego co najwyżej 4, dzieląc pozostałe skończone grupy proste na grupy typu składowego i typu charakterystycznego 2.
1974	Cyce pokazują, że grupy z parami BN rangi co najmniej 3 są grupami typu Lie
1974	Aschbacher klasyfikuje grupy z właściwym 2-generowanym rdzeniem
1975	Gorenstein i Walter dowodzą twierdzenia L-bilansu
1976	twierdzenie o rozwiązywalnym funktorze sygnalizacyjnym
1976	Aschbacher udowadnia twierdzenie o składnikach , pokazując z grubsza, że grupy typu nieparzystego spełniające pewne warunki mają składnik w postaci standardowej. Grupy ze składową postaci standardowej zostały sklasyfikowane w dużym zbiorze prac wielu autorów.
1976	O'Nan przedstawia grupę O'Nan
1976	Janko przedstawia grupę Janko J4 , ostatnią odkrytą sporadyczną grupę
1977	Aschbacher charakteryzuje grupy nieparzystych cech typu Liego w swoim klasycznym twierdzeniu o inwolucji . Po tym twierdzeniu, które w pewnym sensie dotyczy „większości” grup prostych, powszechnie uważano, że zbliża się koniec klasyfikacji.
1978	Timmesfeld dowodzi specjalnego twierdzenia O ₂ , rozbijając klasyfikację grup typu GF(2) na kilka mniejszych problemów.
1978	Aschbacher klasyfikuje cienkie grupy skończone , które są w większości grupami rangi 1 typu Liego nad polami o parzystej charakterystyce.
1981	Bombieri wykorzystuje teorię eliminacji, aby ukończyć pracę Thompsona nad charakterystyką grup Ree , jednym z najtrudniejszych etapów klasyfikacji.
1982	McBride udowadnia twierdzenie funktora sygnalizacyjnego dla wszystkich grup skończonych.
1982	Griess konstruuje grupę potworów ręcznie
1983	Gilmana -Griessa klasyfikuje grupy charakterystycznego typu 2 i rangi co najmniej 4 ze standardowymi składnikami, jeden z trzech przypadków twierdzenia o trychotomii.
1983	Aschbacher dowodzi, że żadna skończona grupa nie spełnia hipotezy przypadku jednoznaczności , jednego z trzech przypadków podanych przez twierdzenie o trychotomii dla grup charakterystycznych typu 2.
1983	Gorenstein i Lyons dowodzą twierdzenia o trichotomii dla grup charakterystycznych typu 2 i rangi co najmniej 4, podczas gdy Aschbacher dla przypadku rangi 3. To dzieli te grupy na 3 podprzypadki: przypadek jednoznaczności, grupy typu GF (2) i grupy ze standardowym komponentem.
1983	Gorenstein ogłasza, że dowód klasyfikacji jest kompletny, nieco przedwcześnie, ponieważ dowód quasi-thin przypadku był niekompletny.
1994	Gorenstein, Lyons i Solomon rozpoczynają publikację poprawionej klasyfikacji
2004	Aschbacher i Smith publikują swoją pracę na temat grup quasitynowych (będących w większości grupami typu Liego o randze co najwyżej 2 nad polami o parzystej charakterystyce), wypełniając ostatnią lukę w znanej wówczas klasyfikacji.
2008	Harada i Solomon wypełniają niewielką lukę w klasyfikacji, opisując grupy ze standardową składową, która jest pokryciem grupy Mathieu M22 , przypadek przypadkowo pominięty w dowodzie klasyfikacji z powodu błędu w obliczeniu mnożnika Schura z M22.
2012	Gonthier i współpracownicy ogłaszają sprawdzoną komputerowo wersję twierdzenia Feita – Thompsona przy użyciu asystenta dowodu Coq .

Klasyfikacja drugiej generacji

Dowód twierdzenia, jaki obowiązywał około 1985 roku, można nazwać pierwszą generacją . Ze względu na ekstremalną długość dowodu pierwszej generacji, wiele wysiłku poświęcono znalezieniu prostszego dowodu, zwanego dowodem klasyfikacyjnym drugiej generacji . Wysiłek ten, zwany „rewizjonizmem”, był pierwotnie prowadzony przez Daniela Gorensteina .

Od 2021 roku opublikowano dziewięć tomów dowodu drugiej generacji (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021). W 2012 roku Solomon oszacował, że projekt będzie potrzebował kolejnych 5 tomów, ale powiedział, że postępy w ich pracach są powolne. Szacuje się, że nowy dowód ostatecznie wypełni około 5000 stron. (Ta długość wynika częściowo z faktu, że dowód drugiej generacji został napisany w bardziej zrelaksowanym stylu). Jednak wraz z publikacją tomu 9 serii GLS, w tym wkładu Aschbachera-Smitha, oszacowanie to zostało już osiągnięte, z kilkoma więcej tomy wciąż w przygotowaniu (reszta tego, co pierwotnie było przeznaczone dla tomu 9, plus przewidywane tomy 10 i 11). Aschbacher i Smith napisali swoje dwa tomy poświęcone quasi-przypadkowi w taki sposób, że tomy te mogą być częścią dowodu drugiej generacji.

Gorenstein i jego współpracownicy podali kilka powodów, dla których możliwy jest prostszy dowód.

Najważniejsze jest to, że znane jest teraz poprawne, końcowe stwierdzenie twierdzenia. Można zastosować prostsze techniki, o których wiadomo, że są odpowiednie dla typów grup, o których wiemy, że są skończone proste. Z kolei ci, którzy pracowali nad dowodem pierwszej generacji, nie wiedzieli, ile jest grup sporadycznych, i faktycznie niektóre z nich (np. grupy Janko) zostały odkryte podczas udowadniania innych przypadków twierdzenia klasyfikacyjnego. W rezultacie wiele fragmentów twierdzenia zostało udowodnionych przy użyciu zbyt ogólnych technik.
Ponieważ wniosek był nieznany, dowód pierwszej generacji składa się z wielu samodzielnych twierdzeń, zajmujących się ważnymi przypadkami specjalnymi. Wiele prac nad udowodnieniem tych twierdzeń poświęcono analizie wielu przypadków szczególnych. Biorąc pod uwagę większy, zorganizowany dowód, zajęcie się wieloma z tych szczególnych przypadków można odłożyć do czasu zastosowania najpotężniejszych założeń. Ceną zapłaconą w ramach tej zmienionej strategii jest to, że te twierdzenia pierwszej generacji nie mają już stosunkowo krótkich dowodów, ale polegają na pełnej klasyfikacji.
Wiele twierdzeń pierwszej generacji nakłada się na siebie, więc możliwe przypadki dzielą się w nieefektywny sposób. W rezultacie wielokrotnie identyfikowano rodziny i podrodziny skończonych grup prostych. Zmieniony dowód eliminuje te nadmiarowości, opierając się na innym podziale przypadków.
Teoretycy grup skończonych mają większe doświadczenie w tego rodzaju ćwiczeniach i dysponują nowymi technikami.

Aschbacher (2004) nazwał pracę nad problemem klasyfikacji autorstwa Ulricha Meierfrankenfelda, Bernda Stellmachera, Gernota Strotha i kilku innych programami trzeciej generacji . Jednym z celów jest jednolite traktowanie wszystkich grup w charakterystyce 2 przy użyciu metody amalgamatu.

Długość dowodu

Gorenstein omówił niektóre powody, dla których może nie istnieć krótki dowód klasyfikacji podobny do klasyfikacji zwartych grup Liego .

Najbardziej oczywistym powodem jest to, że lista prostych grup jest dość skomplikowana: przy 26 grupach sporadycznych prawdopodobnie istnieje wiele szczególnych przypadków, które należy wziąć pod uwagę w każdym dowodzie. Jak dotąd nikt jeszcze nie znalazł czysto jednolitego opisu skończonych grup prostych, podobnego do parametryzacji zwartych grup Liego za pomocą diagramów Dynkina .
Atiyah i inni zasugerowali, że klasyfikację należy uprościć, konstruując jakiś obiekt geometryczny, na którym działają grupy, a następnie klasyfikując te struktury geometryczne. Problem polega na tym, że nikt nie był w stanie zaproponować łatwego sposobu na znalezienie takiej struktury geometrycznej powiązanej z prostą grupą. W pewnym sensie klasyfikacja działa, znajdując struktury geometryczne, takie jak pary BN , ale następuje to dopiero na końcu bardzo długiej i trudnej analizy struktury skończonej grupy prostej.
Inną propozycją uproszczenia dowodu jest większe wykorzystanie teorii reprezentacji . Problem polega na tym, że teoria reprezentacji wydaje się wymagać bardzo ścisłej kontroli nad podgrupami grupy, aby dobrze działać. Dla grup o małej randze taka teoria kontroli i reprezentacji działa bardzo dobrze, ale dla grup o większej randze nikomu nie udało się jej użyć do uproszczenia klasyfikacji. Na początku klasyfikacji włożono znaczny wysiłek w wykorzystanie teorii reprezentacji, ale nigdy nie osiągnięto większego sukcesu w przypadku wyższego rzędu.

Konsekwencje klasyfikacji

W tej sekcji wymieniono niektóre wyniki, które zostały udowodnione przy użyciu klasyfikacji skończonych grup prostych.

Hipoteza Schreiera
Twierdzenie funktora sygnalizatora
Przypuszczenie B
Twierdzenie Schura – Zassenhausa dla wszystkich grup (chociaż wykorzystuje to tylko twierdzenie Feita – Thompsona ).
Przechodnia grupa permutacji na skończonym zbiorze z więcej niż 1 elementem ma element stały bez punktów o pierwszym rzędzie potęgi.
Klasyfikacja grup permutacji 2-przechodnich .
Klasyfikacja grup permutacji rzędu 3 .
The Sims
Hipoteza Frobeniusa o liczbie rozwiązań x ⁿ = 1 .

Zobacz też

Twierdzenie O'Nan-Scotta

Notatki

^ ^a ^b Nieskończona rodzina grup Ree typu $2 F 4 (2 2 n +1)$ zawiera tylko skończone grupy typu Liego. Są proste dla $n \geq1$ ; dla $n =0$ grupa $2 F 4 (2)$ nie jest prosta, ale zawiera prostą podgrupę komutatora $2 F 4 (2)'$ . Tak więc, jeśli nieskończoną rodzinę grup komutatorów typu $2 F 4 (2 2 n +1)'$ uważa się za systematyczną rodzinę nieskończoną (wszystkie typu Liego z wyjątkiem $n = 0$ ), grupa cycków $T := 2 F 4 ( 2)'$ (jako członek tej nieskończonej rodziny) nie jest sporadyczny.

Cytaty

^ „Twierdzenie Feita – Thompsona zostało całkowicie sprawdzone w Coq” . Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 19.11.2016 . Źródło 2012-09-25 .
Bibliografia _ _ Praeger, CE ; Saxl, J .; Seitz, GM (1983). „O przypuszczeniach Simów i wykresach przechodnich odległości”. Byk. Matematyka Londynu. soc. 15 (5): 499–506. doi : 10.1112/blms/15.5.499 .

Aschbacher, Michael (2004). „Stan klasyfikacji skończonych grup prostych” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . Tom. 51, nr. 7. s. 736–740.
Aschbacher, Michał ; Lyons, Richard; Smith, Stephen D.; Solomon, Ronald (2011), Klasyfikacja prostych grup skończonych: grupy charakterystyczne typu 2 , Ankiety i monografie matematyczne, tom. 172, ISBN 978-0-8218-5336-8
Conway, John Horton ; Curtis, Robert Turner; Norton, Simon Phillips ; Parker, Richard A ; Wilson, Robert Arnott (1985), Atlas skończonych grup: maksymalne podgrupy i zwykłe znaki dla prostych grup , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853199-9
Gorenstein, D. (1979), „Klasyfikacja skończonych grup prostych. I. Proste grupy i analiza lokalna”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090 / S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN 0002-9904 , MR 0513750
Gorenstein, D. (1982), skończone proste grupy , University Series in Mathematics , New York: Plenum Publishing Corp., ISBN 978-0-306-40779-6 , MR 0698782
Gorenstein, D. (1983), Klasyfikacja skończonych grup prostych. Tom. 1. Grupy typu noncharacteristic 2 , The University Series in Mathematics, Plenum Press, ISBN 978-0-306-41305-6 , MR 0746470
Daniel Gorenstein (1985), „The Enormous Theorem”, Scientific American , 1 grudnia 1985, tom. 253, nr. 6, s. 104–115.
Gorenstein, D. (1986), „Klasyfikowanie skończonych grup prostych”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 14 (1): 1–98, doi : 10.1090 / S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN 0002-9904 , MR 0818060
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1994), Klasyfikacja skończonych grup prostych , Mathematical Surveys and Monographs, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0334-9 , MR 1303592
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1996), Klasyfikacja skończonych grup prostych, Numer 2 , Przeglądy i monografie matematyczne, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0390-5 , MR 1358135
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1998), Klasyfikacja skończonych grup prostych, Numer 3 , Przeglądy i monografie matematyczne, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0391-2 , MR 1490581
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (1999), Klasyfikacja skończonych grup prostych, numer 4. Część II, rozdziały 1-4: twierdzenia o wyjątkowości , badania matematyczne i monografie, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1379-9 , MR 1675976
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2002), Klasyfikacja skończonych grup prostych, Numer 5 , Przeglądy matematyczne i monografie, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2776-5 , MR 1923000
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2005), Klasyfikacja skończonych grup prostych, Numer 6: Część IV: Specjalny przypadek dziwny , Badania matematyczne i monografie, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-2777-2 , MR 2104668
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), Klasyfikacja skończonych grup prostych, numer 7: część III, rozdziały 7–11: przypadek ogólny, etapy 3b i 4a , badania matematyczne i monografie, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4069-6 , MR 3752626
Gorenstein, D .; Lyons, Richard; Solomon, Ronald (2018), Klasyfikacja prostych grup skończonych, numer 8: część III, rozdziały 12–17: przypadek ogólny, zakończone , ankiety matematyczne i monografie, tom. 40, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-1-4704-4189-0
Mark Ronan , Symmetry and the Monster , ISBN 978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Zwięzłe wprowadzenie dla laików)
Marcus du Sautoy , Finding Moonshine , Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (kolejne wprowadzenie dla laików)
Ron Solomon (1995) „ O skończonych grupach prostych i ich klasyfikacji ”, Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . (Niezbyt techniczny i dobry z historii)
Solomon, Ronald (2001), „Krótka historia klasyfikacji skończonych grup prostych” (PDF) , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , New Series, 38 (3): 315–352, doi : 10.1090 / S0273-0979 -01-00909-0 , ISSN 0002-9904 , MR 1824893 , zarchiwizowane (PDF) z oryginału w dniu 15.06.2001 - artykuł zdobył nagrodę Levi L. Conant za ekspozycję
Thompson, John G. (1984), „Skończone nierozwiązywalne grupy”, w: Gruenberg, KW; Roseblade, JE (red.), Teoria grup. Eseje dla Philipa Halla , Boston, MA: Academic Press , s. 1–12, ISBN 978-0-12-304880-6 , MR 0780566
Wilson, Robert A. (2009), Skończone proste grupy , Graduate Texts in Mathematics 251, tom. 251, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5 , Zbl 1203.20012

Linki zewnętrzne

ATLAS Reprezentacji Grup Skończonych. Przeszukiwalna baza danych reprezentacji i innych danych dla wielu skończonych prostych grup.
Elwes, Richard, „ Ogromne twierdzenie: klasyfikacja skończonych grup prostych ”, Plus Magazine , wydanie 41, grudzień 2006. Dla laików.
Madore, David (2003) Porządki nieabelowych grup prostych. Zarchiwizowane 2005-04-04 w Wayback Machine Zawiera listę wszystkich nieabelowych grup prostych do rzędu 10 ¹⁰ .
W jakim sensie klasyfikacja wszystkich skończonych grup jest „niemożliwa”?
Ornes, Stephen (2015). „Naukowcy ścigają się, by uratować ogromne twierdzenie, zanim zniknie jego gigantyczny dowód” . Naukowy Amerykanin . 313 (1): 68–75. doi : 10.1038/scientificamerican0715-68 . PMID 26204718 .

[tits-1] Nieskończona rodzina grup Ree typu $2 F 4 (2 2 n +1)$ zawiera tylko skończone grupy typu Liego. Są proste dla $n \geq1$ ; dla $n =0$ grupa $2 F 4 (2)$ nie jest prosta, ale zawiera prostą podgrupę komutatora $2 F 4 (2)'$ . Tak więc, jeśli nieskończoną rodzinę grup komutatorów typu $2 F 4 (2 2 n +1)'$ uważa się za systematyczną rodzinę nieskończoną (wszystkie typu Liego z wyjątkiem $n = 0$ ), grupa cycków $T := 2 F 4 ( 2)'$ (jako członek tej nieskończonej rodziny) nie jest sporadyczny.

[2] „Twierdzenie Feita – Thompsona zostało całkowicie sprawdzone w Coq” . Msr-inria.inria.fr. 2012-09-20. Zarchiwizowane od oryginału w dniu 19.11.2016 . Źródło 2012-09-25 .

[3] Bibliografia _ _ Praeger, CE ; Saxl, J .; Seitz, GM (1983). „O przypuszczeniach Simów i wykresach przechodnich odległości”. Byk. Matematyka Londynu. soc. 15 (5): 499–506. doi : 10.1112/blms/15.5.499 .