Grupa CA

W matematyce , w dziedzinie teorii grup , mówi się, że grupa jest grupą CA lub centralizującą grupą abelową, jeśli centralizatorem dowolnego elementu nietożsamościowego jest podgrupa abelowa . Skończone grupy CA mają znaczenie historyczne jako wczesny przykład typu klasyfikacji, który byłby używany w twierdzeniu Feita – Thompsona i klasyfikacji skończonych grup prostych . Kilka ważnych grup nieskończonych to grupy CA, takie jak grupy wolne , potwory Tarskiego i niektóre grupy Burnside'a , a lokalnie skończone grupy CA zostały wyraźnie sklasyfikowane. Grupy CA są również nazywane grupami przechodnimi (lub w skrócie grupami CT ), ponieważ przemienność jest relacją przechodnią między elementami niebędącymi tożsamościami grupy wtedy i tylko wtedy, gdy grupa jest grupą CA.

Historia

Lokalnie skończone grupy CA zostały sklasyfikowane przez kilku matematyków w latach 1925-1998. Najpierw wykazano, że skończone grupy CA są proste lub rozwiązywalne w ( Weisner 1925 ). Następnie w twierdzeniu Brauera – Suzuki – Walla ( Brauer, Suzuki i Wall 1958 ) wykazano, że skończone grupy CA parzystego rzędu są grupami Frobeniusa , grupami abelowymi lub dwuwymiarowymi rzutowymi specjalnymi grupami liniowymi na skończonym polu parzystego rzędu, PSL(2, 2 ^f ) dla f ≥ 2. Ostatecznie wykazano, że skończone grupy CA nieparzystego rzędu są grupami Frobeniusa lub grupami abelowymi w ( Suzuki 1957 ), a więc w szczególności nigdy nie są nieabelowymi prostymi.

Grupy CA były ważne w kontekście klasyfikacji skończonych grup prostych . Michio Suzuki wykazał, że każda skończona , prosta , nieabelowa grupa CA jest parzystego rzędu . Wynik ten został najpierw rozszerzony na twierdzenie Feita – Halla – Thompsona pokazujące, że skończone, proste, nieabelowe grupy CN mają parzysty porządek, a następnie na twierdzenie Feita – Thompsona , które stwierdza, że każda skończona, prosta, nieabelowa grupa jest równy. Podręcznikowa ekspozycja klasyfikacji skończonych grup CA jest podana jako przykład 1 i 2 w ( Suzuki 1986 , s. 291–305). Bardziej szczegółowy opis pojawiających się grup Frobeniusa znajduje się w ( Wu 1998 ), gdzie pokazano, że skończona, rozwiązywalna grupa CA jest półprostym iloczynem grupy abelowej i automorfizmu bez punktów stałych, i odwrotnie, każdy taki półbezpośredni produkt to skończona, rozwiązywalna grupa CA. Wu rozszerzył również klasyfikację Suzuki i in. do lokalnie skończonych grup .

Przykłady

Każda grupa abelowa jest grupą CA, a grupa z nietrywialnym centrum jest grupą CA wtedy i tylko wtedy, gdy jest abelowa. Skończone grupy CA są klasyfikowane: te, które można rozwiązać, są półprostymi iloczynami grup abelowych przez grupy cykliczne, tak że każdy nietrywialny element działa swobodnie w punkcie stałym i obejmuje grupy takie jak grupy dwuścienne rzędu 4 k + 2 oraz grupa naprzemienna w 4 punktach rzędu 12, podczas gdy wszystkie nierozwiązywalne są proste i są dwuwymiarowymi rzutowymi specjalnymi grupami liniowymi PSL (2, 2 ⁿ ) dla n ≥ 2. Nieskończone grupy CA obejmują grupy swobodne , PSL (2, R ) i grup Burnside'a dużego wykładnika pierwszego ( Lyndon & Schupp 2001 , s. 10). Niektóre nowsze wyniki w przypadku nieskończoności są zawarte w ( Wu 1998 ), w tym klasyfikacja lokalnie skończonych grup CA. Wu zauważa również, że potwory Tarskiego są oczywistymi przykładami nieskończonych prostych grup CA.

Prace cytowane

Brauer, R .; Suzuki, Michio ; Wall, GE (1958), „Charakterystyka jednowymiarowych jednomodułowych grup rzutowych na polach skończonych”, Illinois Journal of Mathematics , 2 : 718–745, ISSN 0019-2082 , MR 0104734
Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001), Kombinatoryczna teoria grup , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1 , MR 0577064
Suzuki, Michio (1957), „Nieistnienie pewnego typu prostych grup nieparzystego rzędu”, Proceedings of the American Mathematical Society , 8 (4): 686–695, doi : 10.2307/2033280 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033280 , MR 0086818
Suzuki, Michio (1986), Teoria grup. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 248, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9 , MR 0815926
Weisner, L. (1925), „Grupy, w których normalizator każdego elementu z wyjątkiem tożsamości jest abelowy”, Bulletin of the American Mathematical Society , 31 : 413–416, doi : 10.1090/S0002-9904-1925-04079-3 , ISSN 0002-9904 , JFM 51.0112.06
Wu, Yu-Fen (1998), „Grupy, w których przemienność jest relacją przechodnią”, Journal of Algebra , 207 (1): 165–181, doi : 10.1006 / jabr.1998.7468 , ISSN 0021-8693 , MR 1643082