Grupa potworów Tarskiego

W dziedzinie współczesnej algebry zwanej teorią grup , grupa potworów Tarskiego , nazwana na cześć Alfreda Tarskiego , jest nieskończoną grupą G , taką że każda właściwa podgrupa H z G , inna niż podgrupa tożsamościowa, jest grupą cykliczną o porządku a ustalona liczba pierwsza str . Grupa potworów Tarskiego jest z konieczności prosta . Pokazał to Alexander Yu. Olshanskii w 1979 r., że grupy Tarskiego istnieją i że istnieje p. Tarskiego -grupa dla każdej liczby pierwszej p > 10 ⁷⁵ . Są źródłem kontrprzykładów do przypuszczeń w teorii grup , przede wszystkim do problemu Burnside'a i hipotezy von Neumanna .

Definicja

Niech będzie $pierwszą$ . Nieskończona grupa $nazywana$ jest grupą potworów Tarskiego, $displaystyle$ nietrywialna podgrupa (tj. każda podgrupa inna niż 1 i sama G) ma elementy $p} .$

Nieruchomości

${\ displaystyle G}$ jest koniecznie generowany w sposób skończony. W rzeczywistości jest generowany przez każde dwa elementy niekomutujące.
${\ Displaystyle G}$ jest proste. Jeśli i $\ Displaystyle N \ trianglelefteq G}$ i ${\ Displaystyle U \ równoważnik G}$ jest jakąkolwiek podgrupą różną od $N},$ $styl wyświetlania p^{2}}$ podgrupa miałaby $\ displaystyle N$ ${$ elementów.
Konstrukcja Olshanskii pokazuje w rzeczywistości, że dla każdej liczby pierwszej istnieje $grup$ wiele Potworów Tarskiego
Grupy potworów Tarskiego są przykładem niepodlegających grupom, które nie zawierają wolnej podgrupy.

A. Yu. Olshanskii , Nieskończona grupa z podgrupami rzędów pierwszych, Math. ZSRR Izw. 16 (1981), 279-289; tłumaczenie Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321.
A. Yu. Olshanskii , Grupy ograniczonego okresu z podgrupami pierwszego rzędu, Algebra and Logic 21 (1983), 369–418; tłumaczenie Algebra i Logika 21 (1982), 553–618.
Ol'shanskiĭ, A. Yu. (1991), Geometria definiowania relacji w grupach , Matematyka i jej zastosowania (seria radziecka), tom. 70, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-1394-6